高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数学案设计，共12页。学案主要包含了几个函数模型增长差异的比较，函数模型的选择问题，指数函数等内容，欢迎下载使用。

4．4.3　不同函数增长的差异
学习目标　1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.3.能根据具体问题选择合适函数模型．

知识点　三种常见函数模型的增长差异
函数 性质
y＝a
x(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝kx
(k>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
图象的变化
随x的增大逐渐变“陡”
随x的增大逐渐趋于稳定
随x的增大匀速上升
增长速度
y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝logax的增长
增长后果
会存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax

思考　在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有logax 答案　不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，logax
1．当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值(不为0)，则y是x的一次函数．(　√　)
2．函数y＝log2x增长的速度越来越慢．(　√　)
3．不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.(　×　)
4．由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有ax>2x(a>1)．(　×　)

一、几个函数模型增长差异的比较
例1　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)
A．y＝2 020x B．y＝x2 020
C．y＝log2 020x D．y＝2 020x
答案　A
解析　比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快．
(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
32 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907

则关于x呈指数型函数变化的变量是________．
答案　y2
解析　以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．
反思感悟　常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变．
(2)指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．可称为“对数增长”．
跟踪训练1　下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　)
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x2 D．y＝6x
答案　B
解析　D中一次函数的增长速度不变，A，C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．
二、函数模型的选择问题
例2　某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t,120 t,130 t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
解　根据题意可列方程组
解得
所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①
同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.②
再将x＝4分别代入①式与②式得
f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，
g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t)．
与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．
反思感悟　建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．
跟踪训练2　某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y万公顷关于年数x的函数关系式大致可以是(　　)
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
答案　C
解析　对于A，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.6，与0.76相差0.16；
对于B，x＝1时，y＝0.3；x＝2时，y＝0.8；x＝3时，y＝1.5，相差较大，不符合题意；
对于C，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.8，与0.76相差0.04，与A比较，更符合题意；
对于D，x＝1时，y＝0.2；x＝2时，y＝0.45；x＝3时，y≈0.6<0.7，相差较大，不符合题意．
三、指数函数、对数函数与幂函数模型的比较
例3　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f(6)，
g(6)，f(2 020)，g(2 020)的大小．
解　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，
所以1 所以x1<6x2，
从图象上可以看出，当x1 所以f(6) 当x>x2时，f(x)>g(x)，
所以f(2 020)>g(2 020)．
又因为g(2 020)>g(6)，
所以f(2 020)>g(2 020)>g(6)>f(6)．
反思感悟　指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法
(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断．
(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．
跟踪训练3　甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)．有以下结论：
①当x>1时，甲走在最前面；
②当x>1时，乙走在最前面；
③当01时，丁走在最后面；
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．
其中，正确结论的序号为________．
答案　③④⑤
解析　四个函数的大致图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确．


1．下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是(　　)
A．y＝x2 B．y＝log2x
C．y＝2x D．y＝2x
答案　D
2．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02

则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)(　　)
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝ax2＋b D．y＝a＋
答案　B
解析　在坐标系中描出各点，知模拟函数为y＝a＋bx.
3．甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1
答案　B
4．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型：甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．
答案　甲
解析　把x＝1,2,3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．
5．随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入约为________元．(精确到个位)
(附：1.066≈1.42,1.067≈1.50,1.068≈1.59)
答案　4 500
解析　根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y＝3 000×1.06x，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把x＝7代入，即可求得y＝3 000×1.067≈4 500.

1．知识清单：
三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：不理解三种函数增长的差异．


1．(多选)当a>1时，下列结论正确的有(　　)
A．指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值增长越快
B．指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值增长越快
C．对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值增长越快
D．对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值增长越快
答案　AD
解析　结合指数函数及对数函数的图象可知AD正确．
2．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
25
45
65
85
105
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5
6.10
6.61
6.95
7.2
7.4

则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变化的变量依次为(　　)
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2
答案　C
解析　通过指数型函数、对数型函数、直线型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；直线型函数的增长速度稳定不变，y1随x的变化符合此规律．
3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)


答案　C
解析　小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.
4.如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是(　　)


答案　B
解析　开始的一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后水槽中水面上升速度先快后慢，与B图象相吻合．
5．渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼很快地失去新鲜度(以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度．三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的．三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败)．已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t(分)满足的函数关系式为h(t)＝m·at.若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知lg 2≈0.3，结果取整数)(　　)
A．33分钟 B．40分钟
C．43分钟 D．50分钟
答案　C
解析　由题意得
解得a＝，m＝0.05，
故h(t)＝0.05×，
令h(t)＝0.05×＝1，得＝20，
故t＝＝≈≈43(分钟)．
6．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________．
答案　y＝x2
解析　当x增加时，x比ln x增长要快，
∴x2要比xln x增长的要快．
7．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．
答案　f(x)>g(x)
解析　在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝x的图象，如图所示，

由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝x图象的上方，则f(x)>g(x)．
8．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．


答案　(4)　(1)　(3)　(2)
解析　A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．
9．同一坐标系中，画出函数y＝x＋5(x≥0)和y＝2x(x≥0)的图象，并比较当x≥0时，x＋5与2x的大小．
解　函数图象如图所示，

根据函数y＝x＋5与y＝2x的图象增长差异得：
当0≤x<3时，x＋5>2x，
当x＝3时，x＋5＝2x，
当x>3时，x＋5<2x.
10．某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？
解　A种债券的收益是每100元一年到期收益3元；B种债券的半年利率为，所以100元一年到期的本息和为1002≈105.68(元)，收益为5.68元；C种债券的利率为，100元一年到期的本息和为100≈103.09(元)，收益为3.09元．通过以上分析，应购买B种债券．

11．函数y＝2x－x2的图象大致是(　　)

答案　A
解析　分别画出y＝2x，y＝x2的图象，
由图象可知(图略)，有3个交点，
∴函数y＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，故排除B，C；
当x<－1时，y<0，故排除D.
12．近几年由于北京房价的上涨，引起二手房市场交易火爆，房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2013年以180万的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2023年，这套房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是______________．
答案　y＝180(1＋x)10
解析　1年后的价格为180＋180·x＝180(1＋x)(万元)，
2年后的价格为180(1＋x)＋180(1＋x)·x＝180(1＋x)·(1＋x)＝180(1＋x)2(万元)，
由此可推得10年后的价格为180(1＋x)10万元．
13．若已知16 答案　>log2x
解析　作出f(x)＝和g(x)＝log2x的图象，如图所示：

由图象可知，在(0,4)内，>log2x；
x＝4或x＝16时，＝log2x；
在(4,16)内，log2x.
14．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent，假设5秒后甲桶和乙桶的水量相等，则n＝________；若再过m秒甲桶中的水量只有升，则m＝________.
答案　－ln 2　5
解析　∵5秒后两桶的水量相等，
则ae5n＝⇒e5n＝⇒n＝ln ＝－ln 2，
若k秒后甲桶水量为，
则aenk＝，enk＝⇒nk＝ln ⇒－ln 2·k＝－2ln 2，
∴k＝10，∴m＝10－5＝5.

15．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．

(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
解　(1)由题图知，C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x) 当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．
16．已知函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数．
(1)求y＝f(x)的解析式；
(2)若x∈(0，＋∞)，试分别写出使不等式成立的自变量x的取值范围：
①log2x<2x ②log2x 解　(1)∵函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数，
∴f(x)＝2x.
(2)作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x在同一直角坐标系中的图象，可得：22＝4,24＝42＝16，下面借助图象解决问题．

①∵log2x<2x ②∵log2x4，
即x的取值范围为(0,2)∪(4，＋∞)．