人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）导学案，共6页。

4.5.1《函数的零点与方程的解》


、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 二次函数f(x)=ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：





不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c=0的两根所在区间是( )


A.(－3，－1)和(2,4)


B.(－3，－1)和(－1,1)


C.(－1,1)和(1,2)


D.(－∞，－3)和(4，＋∞)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 方程x3－x－1=0在[1,1.5]上实数解有( )


A.3个 B.2个 C.至少一个 D.0个





LISTNUM OutlineDefault \l 3 方程lg3x＋x=3的解所在的区间为( )


A.(0,2) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数f(x)=2x2－2x的零点所在的区间是( )


A.(－3，－2) B.(－1，0) C.(2，3) D.(4，5)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 y=f(x)的大体图象如下图所示,则函数y=f(|x|)的零点的个数为( )





A.4 B.5 C.6 D.7





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若函数y=x2+(m-2)x+(5-m)有2个大于2的零点,则m的取值范围是( )


A.(-5,-4) B.（-∞,-4） C.（-∞,-2） D.（-∞,-5）∪（-5,-4）





LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数f(x)=4x－2x－2的零点是( )


A.(1,0) B.1 C.0.5 D.－1





LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数f(x)=ln x－eq \f(1,x－1)的零点的个数是( )


A.0 B.1 C.2 D.3





、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知函数f(x)=x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)=bx2－ax－1的零点是________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 方程3x=x＋2解的个数是________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若f(x)=x＋b的零点在区间(0，1)内，则b的取值范围为________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数f(x)=ln x－x＋2的零点个数是________.


、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 求下列函数的零点：


(1)f(x)=2x＋b；


(2)f(x)=－x2＋2x＋3；


(3)f(x)=lg3(x＋2)；


(4)f(x)=2x－2.












































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知二次函数f(x)=x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围.


(1)零点均大于1；


(2)一个零点大于1，一个零点小于1；


(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内.



















































































LISTNUM OutlineDefault \l 3 关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14=0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围.
























































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)=x2－2x.


(1)写出函数y=f(x)的解析式；


(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解， 求a的取值范围.





























答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：A；


解析：因为f(－3)=6＞0，f(－1)=－4＜0，所以在(－3，－1)内必有根.


又f(2)=－4＜0，f(4)=6＞0，所以在(2,4)内必有根.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C;


解析：令f(x)=x3－x－1，则f(1)=－1<0，f(1.5)=1.53－1.5－1=1.53－2.5>0，故选C.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：令f(x)=lg3x＋x－3，则f(2)=lg32＋2－3=lg3eq \f(2,3)＜0，f(3)=lg33＋3－3=1＞0，


所以方程lg3x＋x=3的解所在的区间为(2,3).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：因为f(－1)=2×(－1)2－2－1=2－eq \f(1,2)=eq \f(3,2)>0，f(0)=0－20=－1<0，


所以f(－1)f(0)<0，所以函数f(x)=2x2－2x的零点所在的区间是(－1，0).故选B.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：∵y=f(|x|)是偶函数，∴其图象关于y轴对称.


y=f(x)当x＞0时，有三个零点.


∴当x＜0时也有三个零点.又0是y=f(|x|)的一个零点.共7个.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


解析：-5＜m≤-4.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：由f(x)=4x－2x－2=(2x－2)(2x＋1)=0得2x=2，解得x=1.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：如图画出y=ln x与y=eq \f(1,x－1)的图象，


由图知y=ln x与y=eq \f(1,x－1)(x>0，且x≠1)的图象有两个交点.


故函数f(x)=ln x－eq \f(1,x－1)的零点有2个.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：－eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)；


解析：由题意知，方程x2－ax－b=0的两根为2,3，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋3＝a，,2×3＝－b，))即a=5，b=－6，


∴方程bx2－ax－1=－6x2－5x－1=0的根为－eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)，即为函数g(x)的零点.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：2；


解析：分别作出函数y=3x和y=x＋2的图象，可知，这两个函数图象有两个交点，


所以方程3x=x＋2有两个解.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：(－1，0)；


解析：因为f(x)=x＋b是增函数，又f(x)=x＋b的零点在区间(0，1)内，


所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（0）<0，,f（1）>0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b<0，,1＋b>0，))得－1




LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：2；


解析：作出函数g(x)=ln x和h(x)=x－2的图象，由图可知，这两个图象有2个交点，


所以函数f(x)有2个零点.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)令2x＋b=0，解得x=－eq \f(b,2)，即函数f(x)=2x＋b的零点是x=－eq \f(b,2).


(2)令－x2＋2x＋3=0，解得x=－1或x=3，即函数f(x)=－x2＋2x＋3的零点是x1=－1，x2=3.


(3)令lg3(x＋2)=0，解得x=－1，即函数f(x)=lg3(x＋2)的零点是x=－1.


(4)令2x－2=0，解得x=1，即函数f(x)=2x－2的零点是x=1.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)因为方程x2－2ax＋4=0的两根均大于1，


结合二次函数的单调性与零点存在性定理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2a2－16≥0，,f1＝5－2a>0，,a>1，))


解得2≤a＜2.5，即a的取值范围是[2,2.5).


(2)因为方程x2－2ax＋4=0的一个根大于1，一个根小于1，


结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)=5－2a<0，


解得a>2.5，即a的取值范围是(2.5,+∞).


(3)因为方程x2－2ax＋4=0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，


结合二次函数的单调性与零点存在性定理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝4>0，,f1＝5－2a<0，,f6＝40－12a<0，,f8＝68－16a>0，))


解得eq \f(10,3)



















LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：令f(x)=mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.


依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m>0，,f（4）<0，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m<0，,f（4）>0，))


即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m>0，,26m＋38<0，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m<0，,26m＋38>0.))


解得－eq \f(19,13)







LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，


∵y=f(x)是奇函数，


∴f(x)=－f(－x)=－[(－x)2－2(－x)]=－x2－2x，


∴f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0.))


(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)=x2－2x=(x－1)2－1，最小值为－1；


∴当x∈(－∞，0)时，f(x)=－x2－2x=1－(x＋1)2，最大值为1.


∴据此可作出函数y=f(x)的图象，如图所示，





根据图象得，若方程f(x)=a恰有3个不同的解，


则a的取值范围是(－1,1).