人教B版 (2019)第三章 函数3.2 函数与方程、不等式之间的关系精品学案设计

这是一份人教B版 (2019)第三章 函数3.2 函数与方程、不等式之间的关系精品学案设计，共7页。










一.数或式比较大小问题


数或式比较大小的方法


(1)作差或作商比较法.


(2)找中间量来比较， 往往找1或0.


(3)特值法，对相关的式子赋值计算得出结果.


(4)数形结合法，画出相应的图形， 直观比较大小.


[训练1] 若A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，则A，B的大小关系为________.


A＜B [因为A－B＝(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6)＝x2＋10x＋21－(x2＋10x＋24)＝－3＜0，所以A＜B.]


[训练2] 已知a＜b＜c，试比较a2b＋b2c＋c2a与ab2＋bc2＋ca2的大小.


解 a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2)


＝(a2b－ab2)＋(b2c－bc2)＋(c2a－ca2)


＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a)


＝ab(a－b)＋bc[(b－a)＋(a－c)]＋ca(c－a)


＝ab(a－b)＋bc(b－a)＋bc(a－c)＋ca(c－a)


＝b(a－b)(a－c)＋c(a－c)(b－a)


＝(a－b)(a－c)(b－c).


因为a＜b＜c，所以a－b＜0，a－c＜0，b－c＜0，


所以(a－b)(a－c)(b－c)＜0.


所以a2b＋b2c＋c2a＜ab2＋bc2＋ca2.


二.不等式的性质及应用


应用时容易出错的不等式的性质


(1)同向不等式可以相加；异向不等式可以相减；


若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d，


若a＞b，c＜d则a－c＞b－d，


但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减.


(2)左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘.


若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；


若a＞b＞0,0＜c＜d，则eq \f(a,c)＞eq \f(b,d).


(3)左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方.


若a＞b＞0，则an＞bn或eq \r(n,a)＞eq \r(n,b).


(4)若ab＞0，a＞b，则eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)，若ab＜0，a＞b，则eq \f(1,a)＞eq \f(1,b).


[训练3] 若a＞b, x＞y，下列不等式正确的是( )


A.a＋x＜b＋y B.ax＞by


C.|a|x≥|a|y D.(a－b)x＜(a－b)y


C [因为当a≠0时， |a|＞0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等号方向不变；当a＝0时，|a|x＝|a|y，故|a|x≥|a|y.]


[训练4] 已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是( )


A.xy＞yz B.xz＞yz


C.xy＞xz D.x|y|＞z|y|


C [因为x＞y＞z，且x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，又y＞z，所以xy＞xz.]


[训练5] 下列命题中，正确的是( )


A.若a＞b，c＞d，则ac＞bd


B.若ac＞bc，则a＞b


C.若eq \f(a,c2)＜eq \f(b,c2)，则a＜b


D.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d


C [取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；当c＜0时，ac＞bc，则a＜b，所以B错误；因为eq \f(a,c2)＜eq \f(b,c2)，所以c≠0，又c2＞0，所以a＜b，C正确；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D错误.]


三. 一元二次不等式的解法[来源:]


(1)一元二次不等式常与集合运算相结合.


(2)三个二次之间的关系是解决一元二次不等式问题的关键.


(3)含参数的一元二次不等式恒成立问题是常见题型，关键是等价转化与合理分类.构造函数法与判别式、根与系数的关系是常见思考方向.


[训练6] 若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________.


2 [因为ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m>1，


则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>1，,1＋m＝\f(6,a)，,1·m＝a，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,a＝2.))]


[训练7] 解关于x的不等式ax2－2ax＋a＋3＞0.


解 当a＝0时，解集为R；


当a＞0时，Δ＝－12a＜0，所以解集为R；


当a＜0时，Δ＝－12a＞0，


方程ax2－2ax＋a＋3＝0的两根分别为eq \f(a＋\r(－3a),a)，eq \f(a－\r(－3a),a)，所以此时不等式的解集为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a＋\r(－3a),a)＜x＜\f(a－\r(－3a),a))))).


综上所述，当a≥0时，原不等式的解集为R；当a＜0时，原不等式的解集为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a＋\r(－3a),a)＜x＜\f(a－\r(－3a),a))))).


四、利用基本不等式求最值问题


基本不等式通常用来求最值问题


一般用a＋b≥2eq \r(ab)(a>0，b>0)解“积定求和，和最小”问题，用ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2解“和定求积，积最大”问题.


[训练8] 设a，b，c为正实数，且满足a－3b＋2c＝0，则eq \f(b2,ac)的最小值是________.


eq \f(8,9) [因为a，b，c为正实数，a－3b＋2c＝0，所以b＝eq \f(a＋2c,3). 则eq \f(b2,ac)＝eq \f(a＋2c2,9ac)≥eq \f(8ac,9ac)＝eq \f(8,9)，当且仅当a＝2c，b＝eq \f(4c,3)时取等号，所以eq \f(b2,ac)的最小值是eq \f(8,9).]


[训练9] 设x，y都是正数，且eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝3，求2x＋y的最小值.


解 因为eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝3，所以eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(2,y)))＝1.


所以2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(2,y)))


＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋\f(y,x)＋\f(4x,y)))≥eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋2\r(\f(y,x)·\f(4x,y))))＝eq \f(4,3)＋eq \f(4,3)＝eq \f(8,3).


当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(4x,y)，即y＝2x时，取等号.[来源:]


又因为eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝3，所以x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(4,3).[来源:]


所以2x＋y的最小值为eq \f(8,3).


五．利用基本不等式求解实际问题


在实际应用中，经常涉及函数y＝x＋eq \f(k,x)(k>0)．一定要注意基本不等式适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证．


[训练10] 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位m/s)、平均车长l(单位：m)的值有关，其公式为F＝eq \f(76 000v,v2＋18v＋20l).


(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为____辆/小时；


(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．


(1)1 900 (2)100 [(1)l＝6.05，则F＝eq \f(76 000v,v2＋18v＋121)＝eq \f(76 000,v＋18＋\f(121,v))，由基本不等式v＋eq \f(121,v)≥2eq \r(121)＝22，得F≤eq \f(76 000,22＋18)＝1 900(辆/小时)，故答案为1 900.


(2)l＝5，F＝eq \f(76 000v,v2＋18v＋100)＝eq \f(76 000,v＋18＋\f(100,v))，由基本不等式v＋eq \f(100,v)≥2eq \r(100)＝20，得F≤eq \f(76 000,20＋18)＝2 000(辆/小时)，增加2 000－1 900＝100(辆/小时)，故答案为100.]


[训练11] 某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)为50

解 设销售价格为每件x元(50

则y＝(x－50)·P＝eq \f(105x－50,x－402)，


令x－50＝t，则x＝50＋t，


∴y＝eq \f(105t,t＋102)＝eq \f(105t,t2＋20t＋100)＝eq \f(105,t＋\f(100,t)＋20)


≤eq \f(105,20＋20)＝2 500.


当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2 500.


所以销售价格每件应定为60元．




















1.设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝( )


A.{x|－1＜x＜3} B.{x|－1＜x＜1}


C.{x|1＜x＜2} D.{x|2＜x＜3}


A [A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}.]


2.若a，b∈R，则下列命题正确的是( )


A.若a＞b，则a2＞b2 B.若|a|＞b，则a2＞b2


C.若a＞|b|，则a2＞b2 D.若a≠|b|，则a2≠b2


C [因为a＝1＞b＝－1, a2＝b2，所以A错；因为|a|＝1＞b＝－1, a2＝b2，所以B错；若a＞|b|，则a2＞|b|2＝b2，所以C对；因为a＝－1，b＝1, a≠|b|, a2＝b2，所以D错.]


3.若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于( )


A.eq \f(5,2) B.eq \f(7,2)


C.eq \f(15,4) D.eq \f(15,2)


A [由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0(a＞0)的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝eq \f(5,2).]


4.若eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)＜0，有下面四个不等式：①|a|＞|b|，②a＜b，③a＋b＜ab，④a3＞b3，则不正确的不等式的个数是( )


A.0 B.1


C.2 D.3


C [由eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)＜0可得b＜a＜0，从而|a|＜|b|，①②均不正确；a＋b＜0，ab＞0，则a＋b＜ab成立，③正确；a3＞b3，④正确. ]


5.已知a＞0，b＞0，eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,6)，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为( )


A.8 B.7


C.6 D.5


C [因为2a＋b＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))·(2a＋b)＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(2a,b)＋\f(2b,a)))≥6×(5＋4)＝54(当且仅当a＝b时，取等号).所以9m≤54，即m≤6.]


6.(多空题)一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写出不等式为______________________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________________.


8(x＋19)＞2 200 eq \f(8x,x－12)＞9 [由题意知，汽车原来每天行驶x km,8天内它的行程超过2 200 km，则8(x＋19)＞2 200.若每天行驶的路程比原来少12 km, 则原来行驶8天的路程就要用9天多， 即eq \f(8x,x－12)＞9.]


7.已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是______________.


(－∞，2]∪[4，＋∞) [x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.]


8.若实数a、b满足eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，则ab的最小值为________.


2eq \r(2) [因为eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，所以a＞0，b＞0，所以eq \r(ab)＝eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)≥2 eq \r(\f(1,a)×\f(2,b))＝2eq \r(\f(2,ab))，所以ab≥2eq \r(2)，(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2eq \r(2).]


9.当x＞3时，求eq \f(2x2,x－3)的取值范围.


解 因为x＞3，所以x－3＞0.


所以eq \f(2x2,x－3)＝eq \f(2x－32＋12x－3＋18,x－3)＝2(x－3)＋eq \f(18,x－3)＋12≥2 eq \r(2x－3·\f(18,x－3))＋12＝24.


当且仅当2(x－3)＝eq \f(18,x－3)，即x＝6时，等号成立.


10.已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a＋b＋c＞eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca).


证明 因为a＞0，b＞0，c＞0，


所以a＋b≥2eq \r(ab)＞0，b＋c≥2eq \r(bc)＞0，c＋a≥2eq \r(ca)＞0.


所以2(a＋b＋c)≥2(eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca))，


即a＋b＋c≥eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca).


由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立.


所以a＋b＋c＞eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca).


11.已知：a，b，c∈(0，＋∞).


求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,a＋b)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,b＋c)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,c＋a)))≤eq \f(1,8).


证明 因为a，b，c∈(0，＋∞)，


所以a＋b≥2eq \r(ab)＞0，b＋c≥2eq \r(bc)＞0，c＋a≥2eq \r(ac)＞0，


所以(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc＞0.


所以eq \f(abc,a＋bb＋cc＋a)≤eq \f(1,8)，


即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,a＋b)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,b＋c)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,c＋a)))≤eq \f(1,8).


当且仅当a＝b＝c时，等号成立.


12.某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件.


(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？


(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入eq \f(1,6)(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入eq \f(1,5)x万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.


解 (1)设每件定价为t元，依题意，有[8－(t－25)×0.2]t≥25×8，


整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.


因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.


(2)依题意，当x＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋eq \f(1,6)(x2－600)＋eq \f(1,5)x有解，等价于x＞25时，a≥eq \f(150,x)＋eq \f(1,6)x＋eq \f(1,5)有解.


因为eq \f(150,x)＋eq \f(1,6)x≥2 eq \r(\f(150,x)·\f(1,6)x)＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，


所以a≥10.2.


因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元.