高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.2 函数与方程、不等式之间的关系精品第1课时教案及反思

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第1课时 函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系








1．函数的零点


(1)函数零点的概念：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称实数α为函数y＝f(x)的零点．


(2)三者之间的关系：


函数f(x)的零点⇔函数f(x)的图像与x轴有交点⇔方程f(x)＝0有实数根．


2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系


(1)ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点．


(2)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合．


3．图像法解一元二次不等式的步骤


(1)解一元二次不等式对应的一元二次方程；


(2)求出其对应的二次函数的零点；


(3)画出二次函数的图像；


(4)结合图像写出一元二次不等式的解集．





1．函数y＝1＋eq \f(1,x)的零点是( )


A．(－1,0) B．x＝－1


C．x＝1 D．x＝0


B [令1＋eq \f(1,x)＝0解得x＝－1，


故选B.]


2．根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是( )


A.(－1,0) B．(0,1)


C．(1,2) D．(2,3)


C [令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内．]


3．若f(x)＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是( )


A．m＜－2或m＞2 B．－2＜m＜2


C．m≠±2 D．1＜m＜3


A [∵f(x)＝－x2＋mx－1有正值， ∴Δ＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2.]


4．不等式eq \f(1＋x,1－x)≥0的解集为________．


[－1,1) [原不等式等价于(x＋1)(x－1)≤0，且x－1≠0，∴－1≤x＜1.]





【例1】 求函数f(x)＝x3－7x＋6的零点．


[解] 令f(x)＝0，即x3－7x＋6＝0，


∴(x3－x)－(6x－6)＝0，


∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝(x－1)·(x2＋x－6)＝(x－1)(x－2)(x＋3)＝0，


解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，


∴函数f(x)＝x3－7x＋6的零点是1,2，－3.





求函数y＝fx的零点通常有两种方法：一是令y＝0，根据解方程fx＝0的根求得函数的零点；二是画出函数y＝fx的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.








1．如图所示是一个二次函数y＝f(x)的图像．





(1)写出这个二次函数的零点；


(2)试比较f(－4)·f(－1)，f(0)·f(2)与0的大小关系．


[解] (1)由图像可知，函数f(x)的两个零点分别是－3,1.


(2)根据图像可知，f(－4)·f(－1)＜0，f(0)·f(2)＜0.





【例2】 利用函数求下列不等式的解集：


(1)x2－5x－6＞0；(2)(2－x)(x＋3)＜0；


(3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)．


[解] (1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.


结合二次函数y＝x2－5x－6的图像知，


原不等式的解集为(－∞，－1)∪(6，＋∞)．


(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)＞0.


方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.


结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图像知，


原不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)．


(3)由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2，


即9x2－12x＋4＞0.


解方程9x2－12x＋4＝0，解得x1＝x2＝eq \f(2,3).


结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图像知，


原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(2,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞)).





利用函数求不等式解集的基本步骤


1把一元二次不等式化成一般形式，并把a的符号化为正；


2计算其对应一元二次方程的根的判别式Δ；


3求其对应一元二次方程的根；


4写出解集大于取两边，小于取中间.








2．利用函数求下列不等式的解集：


(1)2x2＋7x＋3＞0；


(2)－x2＋8x－3＞0；


(3)x2－4x－5＜0；


(4)－4x2＋18x－eq \f(81,4)＞0.


[解] (1)对于方程2x2＋7x＋3＝0，因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，


所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不相等的实数根，x1＝－3，x2＝－eq \f(1,2).


又因为二次函数y＝2x2＋7x＋3的图像开口向上，


所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).


(2)对于方程－x2＋8x－3＝0，因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0，


所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实数根，x1＝4－eq \r(13)，x2＝4＋eq \r(13).


又因为二次函数y＝－x2＋8x－3的图像开口向下，


所以原不等式的解集为(4－eq \r(13)，4＋eq \r(13))．


(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)＜0，


所以原不等式的解集为(－1,5)．


(4)原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(9,2)))2＜0，


所以原不等式的解集为∅.





【例3】 求函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x＋3)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)≥0和f(x)＜0的解集．


[解] 函数的零点为－3,1,2.


函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如下表所示．


由此可以画出此函数的示意图如图．





由图可知，f(x)≥0的解集为[－3,1]∪[2，＋∞)，f(x)＜0的解集为(－∞，－3)∪(1,2)．





解题步骤：1求出零点；2拆分定义域；3判断符号；4写出解集.注意判断符号的方法，将最高项的系数化为正数，最右边的区间内为正，然后往左依次负正相间.








3．求函数f(x)＝(1－x)(x－2)(x＋2)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)≥0和f(x)＜0的解集．


[解] 函数的零点为－2,1,2.


函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如下表所示．


由此可以画出此函数的示意图如图．





由图可知，f(x)≥0的解集为(－∞，－2]∪[1,2]，f(x)＜0的解集为(－2,1)∪(2，＋∞)．





1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图像与x轴交点的横坐标．


2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系


(1)ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点．


(2)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合．


3．图像法解一元二次不等式的步骤


(1)解一元二次不等式对应的一元二次方程；


(2)求出其对应的二次函数的零点；


(3)画出二次函数的图像；


(4)结合图像写出一元二次不等式的解集．





1．下列图像表示的函数中没有零点的是( )





A [B，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点．]


2．方程5x2－7x－1＝0的根所在的区间是( )


A．(－1,0)


B．(1,2)


C．一个根在(－1,0)上，另一个根在(1,2)上


D．一个根在(0,1)上，另一个根在(－2，－1)上


C [∵ f(－1)· f(0)＜0, f(1)· f(2)＜0，∴选C.]


3．函数f(x)＝x－eq \f(1,x)零点的个数是( )


A．0 B．1 C．2 D．3


C [令x－eq \f(1,x)＝0，即x2－1＝0，∴x＝±1.∴f(x)＝x－eq \f(1,x)的零点有两个. ]


4．函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________．


4 [f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1)


＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3)．


可知零点为±1，－2,3，共4个．]





学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系．(难点)


2．会求函数的零点．(重点)


3．掌握函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零点法求不等式的解集．(重点、难点)
1.借助函数零点概念的理解，培养数学抽象的素养．


2．通过函数与方程、不等式之间的关系的学习，提升逻辑推理的素养．


3．利用零点法求不等式的解集，培养数学运算的素养.
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.40
20.12
x＋2
1
2
3
4
5
函数的零点及求法
二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系
用函数零点法求一元高次不等式的解集
x
(－∞，－3)
(－3,1)
(1,2)
(2，＋∞)
f(x)
－
＋
－
＋
x
(－∞，－2)
(－2,1)
(1,2)
(2，＋∞)
f(x)
＋
－
＋
－