人教B版 (2019)必修 第一册3.2 函数与方程、不等式之间的关系当堂检测题

六　等　　式

(25分钟　50分)

一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1．二元二次方程组的解是(　　)

A．      B．

C.      D．

【解析】选C.由题意可知：x，y是一元二次方程a2－3a－10＝0的两个根，

因为a2－3a－10＝(a－5)(a＋2)＝0，所以a1＝5，

a2＝－2，

则不等式组的解为

2．已知a，b，c是△ABC的三条边，且满足a2＋bc＝b2＋ac，则△ABC一定是(　　)

A．等腰三角形    B．等边三角形

C．直角三角形    D．等腰直角三角形

【解析】选A.等式变形为－c＝0，

即＝0，因为a＋b－c≠0，所以a－b＝0，即a＝b，所以△ABC为等腰三角形．

3．(2021·北京高一检测)关于x的一元二次方程2x2＋ax－2a＋1＝0的两个实根的平方和为4，则实数a的值为(　　)

A．4    B．－10

C．2    D．－10或2

【解析】选C.方程有实根，则Δ＝a2－8(－2a＋1)≥0，解得a≤－8－6或a≥－8＋6，设方程的两根为x1，x2，

则x1＋x2＝－，x1x2＝，

所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋2a－1＝4，解得a＝2(a＝－10舍去).

4．(多选题)关于x的方程mx2－4x－m＋5＝0，以下说法正确的是(　　)

A．当m＝0时，方程只有一个实数根

B．当m＝1时，方程有两个相等的实数根

C．当m＝－1时，方程没有实数根

D．当m＝2时，方程有两个不相等的实数根

【解析】选AB.当m＝0时方程化为－4x＋5＝0，解得x＝，此时方程只有一个实数根，A正确；

当m＝1时，方程化为x2－4x＋4＝0，因为Δ＝2－4×1×4＝0，所以此时方程有两个相等的实数根，B正确；当m＝－1时，方程化为－x2－4x＋6＝0，因为Δ＝2－4××6>0，所以此时方程有两个不相等的实数根，C错误；当m＝2时，方程化为2x2－4x＋3＝0，因为Δ＝2－4×2×3＝－8<0，所以此时方程无实数根，D错误．

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．(2021·大连高一检测)已知x1，x2是方程3x2－2x－2＝0的两个根，那么＝________.

【解析】因为x1，x2是方程3x2－2x－2＝0的两个根，所以x1＋x2＝，x1x2＝－，

＝x1x2＋x1＋x2＋1

＝－＋＋1＝1.

答案：1

6．我国古代数学著作《九章算术》中记载“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”设人数、物价分别为x、y，满足则x＝________，y＝________．

【解析】设人数、物价分别为x、y，满足

解得x＝7，y＝53.

答案：7　53

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．已知关于x的方程(k－1)x2＋(2k－3)x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.

(1)求k的取值范围；

(2)是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

【解析】(1)由题意知

⇒所以k<且k≠1.

(2)若x1＋x2＝0，即－＝0，k＝，由(1)可知：这样的k不存在．

8．解方程组：(1)

(2)

【解析】(1)由xy－x－y＋1＝0得(x－1)(y－1)＝0，即x＝1或y＝1.

当x＝1时，4y2＝－2无解；当y＝1时，3x2＝－3无解，所以原方程组的解集为.

(2)由3x2－xy－4y2－3x＋4y＝0

得(3x－4y)(x＋y)－(3x－4y)＝0，

(3x－4y)(x＋y－1)＝0，

即3x－4y＝0或x＋y－1＝0.

由得或

由得或

所以原方程组的解集为{(4，3)，(－4，－3)，(4，－3)，(－3，4)}．