高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.2 函数与方程、不等式之间的关系导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.2 函数与方程、不等式之间的关系导学案，共11页。

知识点一 函数的零点
1．零点的定义
一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．
2．方程的根与函数零点的关系
状元随笔 函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
知识点二 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
知识点三 函数零点的判定
函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)＜0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈[a，b]，f(x0)＝0.
状元随笔 定理要求具备两条：
①函数在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.
基础自测
1.函数y＝3x－2的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是( )
A．23；23 B．23，0；23
C．－23；－23D．-23，0；－23
2．函数f(x)＝3x-x2的定义域为( )
A．[0，3] B．(0，3)
C．(－∞，0]∪3，+∞ D.-∞，0∪3，+∞
3．函数f(x)＝x3－x的零点个数是( )
A．0B．1
C．2D．3
4．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 函数零点的概念及求法
例1 (1)下列图像表示的函数中没有零点的是( )
(2)不等式－x2－3x＋4＞0的解集为________．
状元随笔 1.由函数图像判断函数是否有零点是看函数的图像与x轴是否有交点．
2．求函数对应方程的根即为函数的零点．
方法归纳
函数零点的求法
求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：其一是令f(x)＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f(x)的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
跟踪训练1 若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．
由函数f(x)的零点是－3，得f(－3)＝0，求a.
题型2 确定函数零点的个数[教材P111例6]
例2 求证：函数f(x)＝x3－2x＋2至少有一个零点．
【证明】 因为f(0)＝2＞0，f(－2)＝－8＋4＋2＝－2＜0，
所以f(－2)f(0)＜0，因此∃x0∈[－2，0]，f(x0)＝0，
即结论成立．
教材反思
判断函数零点个数的三种方法
(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．
(2)图像法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像．根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数．
(3)定理法：函数y＝f(x)的图像在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．
跟踪训练2 (1)函数f(x)＝x－x－2的零点个数为( )
A．0B．1
C．2D．3
(2)判断函数f(x)＝x－3＋lnx的零点个数．
状元随笔 思路一：解方程求零点，方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数；
思路二：画出函数图像，依据图像与x轴的交点的个数来判断函数的零点个数．
题型3 判断函数的零点所在的大致区间
例3 设x0是函数f(x)＝lnx＋x－4的零点，则x0所在的区间为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
状元随笔 根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图像分析．
方法归纳
判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
跟踪训练3 函数f(x)＝2x－1＋x－5的零点所在的区间为( )
A.(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
利用f(a)·f(b)＜0求零点区间．
题型4 函数零点的应用[经典例题]
例4 已知函数f(x)＝x，x≤m，x2-2mx+4m，x＞m，其中m＞0.
若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
方法归纳
已知函数零点情况求参数的步骤及方法
(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围．
(2)方法：常利用数形结合法．
跟踪训练4 已知关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三个不相等的实数根，则实数a的值是________．
状元随笔 求解这类问题可先将原式变形为f(x)＝g(x)，则方程f(x)＝g(x)的不同解的个数等于函数f(x)与g(x)图像交点的个数，分别画出两个函数的图像，利用数形结合的思想使问题得解．
3．2 函数与方程、不等式之间的关系
新知初探·自主学习
知识点一
2．交点的横坐标 零点
知识点二
{x|xx2} {x|x≠-b2a} {x|x1[基础自测]
1．解析：令3x－2＝0，则x＝23，∴函数y＝3x－2的图像与x轴的交点坐标为23，0，函数零点为23.
答案：B
2．解析：要使函数f(x)＝3x-x2有意义，则3x－x2≥0，即x2－3x≤0，解得0≤x≤3.
答案：A
3．解析：f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0，x＝1，x＝－1，即函数的零点为－1，0，1，共3个．
答案：D
4．解析：由22-2a-b=0，32-3a-b=0，得a=5，b=-6
∴g(x)＝－6x2－5x－1的零点是－12，－13.
答案：－12，－13
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)由图观察，A中图像与x轴没有交点，所以A中函数没有零点．
(2)由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得：－4所以不等式－x2－3x＋4>0的解集为(－4，1)．
【答案】 (1)A (2)(－4，1)
跟踪训练1 解析：由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6.所以f(x)＝x2＋x－6.
解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.
所以函数f(x)其余的零点是2.
跟踪训练2 解析：(1)令f(x)＝0得x－x－2＝0，设t＝x(t≥0)，则t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1(舍)．
故x＝2即x＝4，因此方程f(x)＝0有一个根4，所以函数f(x)有一个零点．
(2)令f(x)＝x－3＋lnx＝0，则lnx＝－x＋3，在同一平面直角坐标系内画出函数y＝lnx与y＝－x＋3的图像，如图所示：由图可知函数y＝lnx，y＝－x＋3的图像只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋lnx只有一个零点．
答案：(1)B (2)一个
例3 【解析】 因为f(2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3－1＞ln e－1＝0，f(2)·f(3)＜0.由零点存在性定理，得x0所在的区间为(2，3)．
【答案】 C
跟踪训练3 解析：f(2)＝22－1＋2－5＜0，f(3)＝23－1＋3－5＞0，故f(2)·f(3)＜0，又f(x)在定义域内是增函数，则函数f(x)＝2x－1＋x－5只有一个零点，且零点所在的区间为(2，3)．
答案：C
例4 【解析】 作出f(x)的图像如图所示．
当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，
∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，
则4m－m20.
又m>0，解得m>3.
【答案】 (3，＋∞)
跟踪训练4
解析：如图，由图像知直线y＝1与y＝|x2－4x＋3|的图像有三个交点，
则方程|x2－4x＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a＝1.
答案：1
运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法．
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图像
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根
x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－b2a
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
__________
__________
R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
__________
__________
__________