高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.2 函数与方程、不等式之间的关系课时作业

微专题强化练(一)　不等式恒成立、能成立问题

[教师用书独具]

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．当0≤x≤2时，若a＜x2－2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1]　　　 B．(－∞，0]

C．(－∞，0) D．(－∞，－1)

D　[当0≤x≤2时，x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以a＜－1，故选D．]

2．若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)

A．{k|－3＜k＜0} B．{k|－3≤k≤0}

C．{k|－3≤k＜0} D．{k|－3＜k≤0}

D　[当k＝0时，－＜0显然成立；当k≠0时，由题意可得

解得－3＜k＜0.

即k的取值范围为{k|－3＜k≤0}]

3．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是(　　)

A．[－4,1] B．[－4,3]

C．[1,3] D．[－1,3]

B　[由x2－(a＋1)x＋a≤0得(x－a)(x－1)≤0，

若a＝1，不等式的解集为{1}符合题意，

若a＜1，不等式的解集为[a,1]，若满足[a,1]⊆[－4,3]，则－4≤a＜1，

若a＞1，不等式的解集为[1，a]，若满足[1，a]⊆[－4,3]，则1＜a≤3，

综上，－4≤a≤3，即实数a的取值范围是[－4,3]．]

4．(多选题)不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立的充分不必要条件是(　　)

A．m＞ B．m＞1

C．m＞2 D．m＜

BC　[∵不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立，∴Δ＝(－1)2－4m＜0，解得m＞，故应在选项中寻求范围比m＞小的即可，故选BC．]

5．若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意0<x≤1恒成立，则m的最大值为(　　)

A．1 B．－1

C．－3 D．3

C　[令y＝x2－4x－m，则只需满足在x＝1处的函数值非负即可，解得m≤－3.]

二、填空题

6．若不等式2x＞x2＋a对于一切x∈[－2,3]恒成立，则实数a的取值范围为________．

(－∞，－8)　[∵2x＞x2＋a，∴a＜2x－x2，

∵2x－x2＝－(x－1)2＋1在x∈[－2,3]的最小值为－8，

∴实数a的取值范围为(－∞，－8)．]

7．若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．

(－∞，－6]∪[2，＋∞)　[不等式x2－ax－a≤－3变形为x2－ax＋3－a≤0，

∵不等式有解，∴方程x2－ax＋3－a＝0的判别式Δ≥0，即a2－4(3－a)≥0，解得a≤－6或a≥2，故实数a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．]

8．ax2＋bx＋c＞0(a≠0)在R上恒成立，须使

＞　＜　[要使ax2＋bx＋c＞0(a≠0)在R上恒成立，须使y＝ax2＋bx＋c开口方向向上，与x轴无交点．]

三、解答题

9．要使函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负值，求m的取值范围．

[解]　函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负值，即不等式mx2＋mx＋(m－1)＜0对一切实数x恒成立，于是当m＝0时，－1＜0恒成立；当m≠0时，要使其恒成立，则有解得m＜0.综上，m的取值范围为{m|m≤0}．

10．对任意－1≤x≤1，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于0，求a的取值范围．

[解]　∵x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，

即x2＋ax－4x＋4－2a＞0恒成立．

∴(x－2)·a＞－x2＋4x－4.

∵－1≤x≤1，∴x－2＜0.

∴a＜＝＝2－x.

令y＝2－x，则当－1≤x≤1时，y的最小值为1，∴a＜1．

故a的取值范围为{a|a＜1}．

1．关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是R，则实数a的取值范围是(　　)

A．{2}　　　　　　　 B．

C．∅ D．

C　[当a2－4＝0时，显然不满足题意．

关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是R，

所以

解得此不等式组无解．故选C．]

2．若不等式x2－m(4xy－y2)＋4m2y2≥0对一切非负的x，y恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．∪[0，＋∞)

B．[2，＋∞)

C．∪[2，＋∞)

D．

A　[若y＝0，则原不等式恒成立；

若y≠0，则原不等式可化为

－m＋4m2≥0.

令t＝，则t≥0，t2－4mt＋m＋4m2≥0.

问题转化为关于t的二次函数在t≥0上的最小值非负，故有或

解得实数m的取值范围为

.]

3．已知命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1＞0为真命题，则实数a的取值范围是________．

[0,4)　[当a＝0时，1＞0为真命题，符合题意；

当a≠0时，要使∀x∈R，ax2＋ax＋1＞0为真命题，

则对应的抛物线开口向上且与x轴没有交点，

可得⇒0＜a＜4，

综上可得，实数a的取值范围是[0,4)．]

4．已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围．

[解]　法一：y<0⇔mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m－6<0.

∵1≤m≤3，

∴x2－x＋1<恒成立，只需x2－x＋1小于的最小值，

即x2－x＋1<⇔x2－x－1<0⇔<x<.

∴x的取值范围为.

法二：设关于m的函数y＝mx2－mx－6＋m＝(x2－x＋1)m－6.

由题意知y<0对1≤m≤3恒成立．

∵x2－x＋1>0，∴y是关于m的一次函数，且在1≤m≤3上随x的增大而增大，

∴y<0对1≤m≤3恒成立等价于y的最大值小于0，

即(x2－x＋1)·3－6<0⇔x2－x－1<0⇔<x<，

∴x的取值范围为.

已知函数y＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使y＞0成立，求实数p的取值范围．

[解]　二次函数y＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使y＞0的否定是：对于－1≤x≤1中任意一个x都有y≤0，即

整理得

解得p≥或p≤－3.

故二次函数在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使y＞0成立的实数p的取值范围是.