必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质第2课时导学案及答案

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

第2课时　等式性质与不等式性质

【课前预习】

知识点一

b=a　a=c

诊断分析

(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　[解析] (1)等式a=b两边同时乘c2,得ac2=bc2,所以正确.

(2)等式x-1=2y-3移项得x=2y-2,所以正确.

(3)当x=b≠0时,x-y=2a+b才成立,所以错误.

(4)等式x-2=4x+7两边同时加2,得x=4x+9,两边同时加-x,得0=3x+9,两边同时加-9,得-9=3x,即3x=-9,两边同时除以3,得x=-3,所以正确.

知识点二

>　<

诊断分析

(1)√　(2)×　(3)×　[解析] (1)不等式a-c<b-c两边同时加上c,可得a<b,所以此说法正确.

(2)取a=4,c=5,b=7,d=1,满足a+c>b+d,但不满足a>b,所以此说法错误.

(3)取a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b,c>d,但>不成立,所以此说法错误.

【课中探究】

探究点

探索 证明:(1)∵a>b,∴a-b>0①,∵c>d,∴c-d>0②,①+②得a-b+c-d>0,即(a+c)-(b+d)>0,∴a+c>b+d.

(2)∵a>b>0,c>0,∴ac>bc>0,又c>d>0,b>0,∴bc>bd>0,∴ac>bd.

例1　(1)C　(2)B　(3)ABD　[解析] (1)∵b<0<a,d<c<0,∴bd>0,ac<0,则bd>ac,A选项错误;<0,>0,则<,B选项错误;∵a>b,c>d,∴a+c>b+d,C选项正确;取a=1,b=-2,c=-1,d=-5,则a-c=2,b-d=3,a-c>b-d不成立,D选项错误.故选C.

(2)∵a<b<0,∴-a>-b>0,即|a|>|b|,∴A选项中不等式成立;a<a-b<0,即<,∴B选项中不等式不成立;>,∴C选项中不等式成立;-a>-b>0,即a2>b2,∴D选项中不等式成立.故选B.

(3)对于选项A,当a=-2,b=-1时,a<b,==2>1,此时<1不成立;对于选项B,当a=-1,b=1时,a<b,+=-2,此时+≥2不成立;对于选项C,-=,∵a<b,∴-<0,∴<一定成立;对于选项D,当a=-2,b=-1时,a<b,a2+a=2,b2+b=0,此时a2+a<b2+b不成立.故选ABD.

变式　(1)②④　(2)①②④　[解析] (1)对于①,∵c2≥0,∴ac2≥bc2,∴①不正确;对于②,a<b<0⇒a2>ab,a<b<0⇒ab>b2,∴②正确;对于③,若0>a>b,则a2<b2,如-1>-2,但(-1)2<(-2)2,∴③不正确;对于④,∵a<b<0,∴-a>-b>0,∴(-a)2>(-b)2,即a2>b2,又ab>0,∴>0,∴a2·>b2·,∴>,∴④正确.

(2)易知a>b,ab>0⇒<,所以②④正确;因为正数大于负数,所以①正确.

例2　证明:∵a>b,c>0,∴ac>bc,∴-ac<-bc.

∵f<e,∴f-ac<e-bc.

变式　证明:∵bc-ad≥0,∴bc≥ad,

∴bc+bd≥ad+bd,即b(c+d)≥d(a+b),

又bd>0,∴≥,即≤.

例3　解:∵3<b<4,∴-4<-b<-3,

∴1-4<a-b<6-3,即-3<a-b<3.

∵<<,∴<<,即<<2.

变式　解:令a+b=x,a-b=y,则2≤x≤4,1≤y≤2.

由解得

所以4a-2b=4×-2×=x+3y.

而2≤x≤4,3≤3y≤6,则5≤x+3y≤10,所以5≤4a-2b≤10.

【课堂评价】

1.A　[解析] 当m≠0时,由ma=mb得a=b;当m=0时,a=b不一定成立.故选A.

2.B　[解析] ∵x<a<0,∴x2>a2.∵x2-ax=x(x-a)>0,∴x2>ax.∵ax-a2=a(x-a)>0,∴ax>a2.故x2>ax>a2.

3.C　[解析] 对于A,当a<0,b>0时,a2<b2不一定成立; 对于B,因为ab2-a2b=ab(b-a),b-a>0,ab的符号不确定,所以ab2<a2b不一定成立;对于C,-=<0,所以<一定成立;对于D,与的大小关系不能确定,所以<不一定成立.

4.A　[解析] 由a>b>0可得a2>b2,①一定成立;∵a>b>0,∴>,∴()2-(-)2=2-2b=2(-)>0,∴>-,②一定成立;若a=3,b=2,则a3+b3=35,2a2b=36,a3+b3<2a2b,③不一定成立.故选A.

5.-3≤a-b≤2　[解析] ∵-1≤a≤3,-2≤-b≤-1,∴-3≤a-b≤2.