高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.2 函数与方程、不等式之间的关系评优课ppt课件

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（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
问题1　阅读课本第112~114，回答下列问题：
问题2　已知函数f（x）＝x－1，我们知道，这个函数的定义域为______，而且可以求出，方程f（x）＝0的解集为______，不等式f（x）＞0的解集为_______，不等式f（x）＜0的解集为_______，在下图中作出函数f（x）＝x－1的图像，总结上述方 程、不等式的解集与函数定义域、函数 图像之间的关系．
由尝试与发现中的例子可以看出，根据函数值的符号能够把函数的定义域分为几个不相交的集合．具体来说，假设函数f（x）的定义域为D，若
显然，A，B，C两两的交集都为空集，且D＝A∪B∪C．
A＝{x∈D|f（x）＜0}，
B＝{x∈D|f（x）＝0}，
C＝{x∈D|f（x）＞0}，
一般地，如果函数y＝f（x）在实数a处的函数值等于零，即f（a）＝0，则称a为函数y＝f（x）的零点．上述集合B就是函数所有零点组成的集合．
不难看出，a是函数f（x）零点的充分必要条件是，（a，0）是函数图像与x轴的公共点．因此，由函数的图像可以方便地看出函数值等于0的方程的解集，以及函数值与0相对大小比较的不等式的解集．
问题3　如何认识函数零点？
（1）函数的零点是一个实数，是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个二维有序数组，而是一维数轴上的点的坐标．函数的零点可以与函数的最值点进行类比，两者都是一个数．
（2）函数y＝f（x）有零点函数y＝f（x）的图像与x轴有交点方程f（x）＝0有实数根．
（4）从函数的图像上能方便地看出函数的零点，但是得到函数的图像并不是一件容易的事．
（5）知道函数的零点之后，如果可以进一步得到函数在非零点处的符号信息，就能作出这个函数图像的示意图．
问题4　到目前为止，求函数零点的方法主要有哪些？
（1）直接从函数解析式所对应的方程中求解；
（2）直接从函数图像观察；
（3）如果函数f（x）能够拆成两个函数差的形式，即f（x）＝g（x）－h（x ），那么函数f（x）的零点可以利用函数y＝ g（x ）与y＝ h（x ）的图像的交点得到．
问题5　二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系是什么？
函数的零点就是对应方程的实根，也是相应不等式解集的端点．
例1　如下图所示是函数y＝f（x）的图像，分别写出f（x）＝0， f（x）＞0，f（x）≤0的解集．
f（x）＞0的解集为（－5，－3）∪（2，4）∪（4，6）．
f（x）≤0的解集为[－6，－5] ∪[－3，2] ．
依照零点的定义可知，求函数y＝f（x）的零点，实质上就是要解方程f（x）＝0，而且只要得到了这个方程的解集，就可以知道函数图像与x轴的交点，再根据函数的性质等，就能得到类似f（x）＞0等不等式的解集．
注意：写解答时，可以使用集合的并集符号，而且在表示集合时，要选择合适的集合表示方式．
例2　求下列函数的零点：
＝（x－2）（x2 －1）＝（x－2）（x－1）（x＋1）
所以函数的零点为－1，1，2．
（1）y＝x3－2x2－x＋2；　（2）
（2）当x＜1时，由（x－1）（x＋4）＝0得x＝－4；
当x≥1时，由－（x－1）（x－3）＝0得x＝1或x＝3．
由此可知该函数的零点为－4，1，3．
例3　利用函数求下列不等式的解集：
即（x－3）（x＋2）＝0，从而x＝3或x＝－2．
（1）x2－x－6＜0；（2）x2－x－6≥0．
因此3和－2都是函数f（x）的零点，从而f（x）的图像与x轴相交于（3，0）和（－2，0），又因为函数图像是开口向上的抛物线，所以可以作出函数图像示意图如下图所示．
（1）所求解集为（－2，3）；
（2）所求解集为（－∞，－2］∪［3，＋∞）．
利用二次函数的图像来求解一元二次不等式，一是为了巩固一元二次不等式的解法，二是为了说明函数与方程、不等式之间的关系．
注意：（1）二次函数的图像是连续不断的；（2）根据二次函数的图像可以求出多个不等式的解集，还可求出f（x）＝3，f（x）＜－3等的解集．
如：用二次函数求关于x的不等式（x －1）（x －3）＞8的解集．
原不等式等价于x 2－4 x ＋3＞ 8，所以x 2－4x－5＞ 0，故（x －5）（x＋1）＞0．
因为二次函数y＝（x－5）（x ＋1）的零点是5和－1，根据函数图像的示意图可知，原不等式的解集为f（x）＝（－∞，－1）∪（5，＋∞）．
例4　利用函数求下列不等式的解集：
即（x＋1）2＝－2，该方程无解．
（1）－x2－2x－3≥0；（2）－x2－2x－3＜0．
因此函数f（x）无零点，从而f（x）的图像与x轴没有交点，又因为函数图像是开口向下的抛物线，所以可以作出函数图像示意图如下图所示．
例5　利用函数求下列不等式的解集：
即（x－2）2＝0，从而x＝2．
（1）x2－4x＋4＞0；（2）x2－4x＋4≤0．
因此函数f（x）的零点为2，从而f（x）的图像与x轴相交于（2，0），又因为函数图像是开口向上的抛物线，因此可知：
（1）所求解集为（－∞，2）∪（2，＋∞）；
（2）所求解集为{2}．
一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）：
（1）当Δ＝b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中有两个元素x1，x2，且x1，x2是f（x）的两个零点，f（x）的图像与x轴有两个公共点（x1，0），（x2，0）；
（2）当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中只有一个元素x0，且x0是f（x）唯一的零点，f（x）的图像与x轴有一个公共点；
（3）当Δ＝b2－4ac＝0＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，此时 f（x）无零点，f（x）的图像与x轴没有公共点．
更进一步，可以由二次函数的图像得到对应的不等式的解集：
（1）把原不等式变形为ax2＋bx＋c＞0（或ax2＋bx＋c＜0等，其中a≠0，下同）；
（2）根据方程ax2＋bx＋c＝0的根（即函数f（x）＝ax2＋bx＋c的零点）及a的符号，画出二次函数的草图；
（3）观察函数图像，写出解集．
例6　求函数f（x）＝（x＋2）（x＋1）（x－1）的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f（x）＞0和f（x）≤0的解集．
函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下
f（x）＞0的解集为（－2，－1）∪（1，＋∞）；
f（x）≤0的解集为（－∞，－2]∪[－1，1]．
问题6　回顾本节课，你有什么收获？
（1）什么叫函数的零点？一般如何求函数的零点？
（2）函数与方程、不等式之间的关系是什么？
作业：教科书P119~120练习B 1~3，练习C 2