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    高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.2 函数与方程、不等式之间的关系评优课ppt课件

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    这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.2 函数与方程、不等式之间的关系评优课ppt课件,文件包含32《函数与方程不等式之间的关系》第1课时课件pptx、32《函数与方程不等式之间的关系》第1课时教案docx等2份课件配套教学资源,其中PPT共28页, 欢迎下载使用。

    (1)本节将要研究哪类问题?
    (2)本节研究的起点是什么?目标是什么?
    问题1 阅读课本第112~114,回答下列问题:
    问题2 已知函数f(x)=x-1,我们知道,这个函数的定义域为______,而且可以求出,方程f(x)=0的解集为______,不等式f(x)>0的解集为_______,不等式f(x)<0的解集为_______,在下图中作出函数f(x)=x-1的图像,总结上述方 程、不等式的解集与函数定义域、函数 图像之间的关系.
    由尝试与发现中的例子可以看出,根据函数值的符号能够把函数的定义域分为几个不相交的集合.具体来说,假设函数f(x)的定义域为D,若
    显然,A,B,C两两的交集都为空集,且D=A∪B∪C.
    A={x∈D|f(x)<0},
    B={x∈D|f(x)=0},
    C={x∈D|f(x)>0},
    一般地,如果函数y=f(x)在实数a处的函数值等于零,即f(a)=0,则称a为函数y=f(x)的零点.上述集合B就是函数所有零点组成的集合.
    不难看出,a是函数f(x)零点的充分必要条件是,(a,0)是函数图像与x轴的公共点.因此,由函数的图像可以方便地看出函数值等于0的方程的解集,以及函数值与0相对大小比较的不等式的解集.
    问题3 如何认识函数零点?
    (1)函数的零点是一个实数,是使函数值为0的自变量的值.函数的零点不是一个二维有序数组,而是一维数轴上的点的坐标.函数的零点可以与函数的最值点进行类比,两者都是一个数.
    (2)函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图像与x轴有交点方程f(x)=0有实数根.
    (4)从函数的图像上能方便地看出函数的零点,但是得到函数的图像并不是一件容易的事.
    (5)知道函数的零点之后,如果可以进一步得到函数在非零点处的符号信息,就能作出这个函数图像的示意图.
    问题4 到目前为止,求函数零点的方法主要有哪些?
    (1)直接从函数解析式所对应的方程中求解;
    (2)直接从函数图像观察;
    (3)如果函数f(x)能够拆成两个函数差的形式,即f(x)=g(x)-h(x ),那么函数f(x)的零点可以利用函数y= g(x )与y= h(x )的图像的交点得到.
    问题5 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系是什么?
    函数的零点就是对应方程的实根,也是相应不等式解集的端点.
    例1 如下图所示是函数y=f(x)的图像,分别写出f(x)=0, f(x)>0,f(x)≤0的解集.
    f(x)>0的解集为(-5,-3)∪(2,4)∪(4,6).
    f(x)≤0的解集为[-6,-5] ∪[-3,2] .
    依照零点的定义可知,求函数y=f(x)的零点,实质上就是要解方程f(x)=0,而且只要得到了这个方程的解集,就可以知道函数图像与x轴的交点,再根据函数的性质等,就能得到类似f(x)>0等不等式的解集.
    注意:写解答时,可以使用集合的并集符号,而且在表示集合时,要选择合适的集合表示方式.
    例2 求下列函数的零点:
    =(x-2)(x2 -1)=(x-2)(x-1)(x+1)
    所以函数的零点为-1,1,2.
    (1)y=x3-2x2-x+2; (2)
    (2)当x<1时,由(x-1)(x+4)=0得x=-4;
    当x≥1时,由-(x-1)(x-3)=0得x=1或x=3.
    由此可知该函数的零点为-4,1,3.
    例3 利用函数求下列不等式的解集:
    即(x-3)(x+2)=0,从而x=3或x=-2.
    (1)x2-x-6<0;(2)x2-x-6≥0.
    因此3和-2都是函数f(x)的零点,从而f(x)的图像与x轴相交于(3,0)和(-2,0),又因为函数图像是开口向上的抛物线,所以可以作出函数图像示意图如下图所示.
    (1)所求解集为(-2,3);
    (2)所求解集为(-∞,-2]∪[3,+∞).
    利用二次函数的图像来求解一元二次不等式,一是为了巩固一元二次不等式的解法,二是为了说明函数与方程、不等式之间的关系.
    注意:(1)二次函数的图像是连续不断的;(2)根据二次函数的图像可以求出多个不等式的解集,还可求出f(x)=3,f(x)<-3等的解集.
    如:用二次函数求关于x的不等式(x -1)(x -3)>8的解集.
    原不等式等价于x 2-4 x +3> 8,所以x 2-4x-5> 0,故(x -5)(x+1)>0.
    因为二次函数y=(x-5)(x +1)的零点是5和-1,根据函数图像的示意图可知,原不等式的解集为f(x)=(-∞,-1)∪(5,+∞).
    例4 利用函数求下列不等式的解集:
    即(x+1)2=-2,该方程无解.
    (1)-x2-2x-3≥0;(2)-x2-2x-3<0.
    因此函数f(x)无零点,从而f(x)的图像与x轴没有交点,又因为函数图像是开口向下的抛物线,所以可以作出函数图像示意图如下图所示.
    例5 利用函数求下列不等式的解集:
    即(x-2)2=0,从而x=2.
    (1)x2-4x+4>0;(2)x2-4x+4≤0.
    因此函数f(x)的零点为2,从而f(x)的图像与x轴相交于(2,0),又因为函数图像是开口向上的抛物线,因此可知:
    (1)所求解集为(-∞,2)∪(2,+∞);
    (2)所求解集为{2}.
    一般地,由一元二次方程解集的情况可知,对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0):
    (1)当Δ=b2-4ac>0时,方程ax2+bx+c=0的解集中有两个元素x1,x2,且x1,x2是f(x)的两个零点,f(x)的图像与x轴有两个公共点(x1,0),(x2,0);
    (2)当Δ=b2-4ac=0时,方程ax2+bx+c=0的解集中只有一个元素x0,且x0是f(x)唯一的零点,f(x)的图像与x轴有一个公共点;
    (3)当Δ=b2-4ac=0<0时,方程ax2+bx+c=0没有实数根,此时 f(x)无零点,f(x)的图像与x轴没有公共点.
    更进一步,可以由二次函数的图像得到对应的不等式的解集:
    (1)把原不等式变形为ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0等,其中a≠0,下同);
    (2)根据方程ax2+bx+c=0的根(即函数f(x)=ax2+bx+c的零点)及a的符号,画出二次函数的草图;
    (3)观察函数图像,写出解集.
    例6 求函数f(x)=(x+2)(x+1)(x-1)的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集.
    函数的定义域被这三个点分成了四部分,每一部分函数值的符号如下
    f(x)>0的解集为(-2,-1)∪(1,+∞);
    f(x)≤0的解集为(-∞,-2]∪[-1,1].
    问题6 回顾本节课,你有什么收获?
    (1)什么叫函数的零点?一般如何求函数的零点?
    (2)函数与方程、不等式之间的关系是什么?
    作业:教科书P119~120练习B 1~3,练习C 2
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