数学必修第一册第三章函数本章综合与测试优质导学案

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这是一份数学必修第一册第三章函数本章综合与测试优质导学案，共8页。

一.求函数的定义域

求函数定义域的类型与方法

(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.

(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义.

(3)复合函数问题：

①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；

②若f(g(x))的定义域为[a, b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域.

提醒：①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；②定义域所指永远是x的范围.

[训练1] 函数y＝eq \r(2x＋1)＋eq \r(3－4x)的定义域为( )

A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,4)))

C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))∪(0，＋∞)

B [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1≥0，,3－4x≥0，))解得－eq \f(1,2)≤x≤eq \f(3,4)，所以函数y＝eq \r(2x＋1)＋eq \r(3－4x)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,4))).]

[训练2] 函数f(x)＝eq \f(2x2,\r(1－x))＋(2x－1)0的定义域为( )

A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))

C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))

D [由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x≥0，,2x－1≠0.))解得x<1，且x≠eq \f(1,2).]

[训练3] 已知函数y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则y＝f(1－3x)的定义域为( )

A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，3))

C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，1))

C [由－1≤x≤2，得－2≤x－1≤1，所以－2≤1－3x≤1，解得0≤x≤1.]

二.函数图像

1.若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则描出图像上的几个关键点，直接画出图像即可，有些可能需要根据定义域进行取舍.

2.若y＝f(x)不是所学过的基本初等函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线.三个基本步骤作出y＝f(x)的图像.

[训练4] 已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图像是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为( )

A.3 B.2

C.1 D.0

B [由函数g(x)的图像知，g(2)＝1，则f (g(2))＝f(1)＝2.]

[训练5] 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x，x≤0，,－x2＋2x，x＞0，))方程f2(x)－bf(x)＝0，b∈(0, 1)，则方程的根的个数是( )

A.2 B.3

C.4 D.5

D [因为f2(x)－bf(x)＝0，所以f(x)＝0或f(x)＝b，

作函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x，x≤0，,－x2＋2x，x＞0，))的图像如图，

结合图像可知，f(x)＝0有两个不同的根，f(x)＝b，(0

三、函数性质及应用

函数单调性与奇偶性应用的常见题型[来源:]

(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性.[来源:]

(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.

(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式.

(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.

提醒：判断函数的奇偶性时要特别注意定义域是否关于原点对称.

[训练6] 若函数f(x)＝x＋eq \f(2a＋1x＋1,x)＋1为奇函数，则a＝________.

－1 [若函数f(x)＝x＋eq \f(2a＋1x＋1,x)＋1为奇函数，

则f(－x)＝－x－eq \f(1,x)＋2a＋1＋1＝－f(x)＝－x－eq \f(1,x)－(2a＋1)－1，

所以2(2a＋1)＋2＝0，则a＝－1.]

[训练7] 已知定义在R上的函数f(x)是增函数，则满足f(x)＜f(2x－3)的x的取值范围是________.

(3，＋∞) [依题意得，不等式f(x)＜f(2x－3)等价于x＜2x－3，由此解得x＞3，即满足f(x)＜f(2x－3)的x的取值范围是(3，＋∞).]

[训练8] 函数f(x)＝eq \f(x＋b,1＋x2)是定义在(－1,1)上的奇函数.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)用单调性定义证明函数f(x)在(0,1)上是增函数.

(1)解因为函数f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，

所以f(0)＝0，即eq \f(b,1)＝0，

所以b＝0，所以f(x)＝eq \f(x,1＋x2).

(2)证明设0

＝eq \f(x2－x11－x1x2,1＋x\\al(2,1)1＋x\\al(2,2))，

因为00,1－x1x2>0，

1＋xeq \\al(2,1)>0,1＋xeq \\al(2,2)>0，

所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)＞f(x1)

所以f(x)在(0,1)上是增函数.

四、函数模型的建立

1．建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤

(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x，y分别表示．

(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域．

(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解．

2．建模的三个原则

(1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．

(2)可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果．

(3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题．

[训练9] 据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )

A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000，x∈N*)[来源:Z*xx*k.Cm]

B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*)

C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000，x∈N*)

D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*)

D [由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次，则总收入

y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8＝0.5x＋1 600－0.8x＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*)．]

[训练10] 如图所示，A, B两城相距100 km，某天然气公司计划在两地之间建一天然气站D给A，B两城供气．已知D地距A城xkm，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10 km.已知建设费用y(万元)与A，B两地的供气距离(km)的平方和成正比．当天然气站D距A城的距离为40 km时，建设费用为1 300万元(供气距离指天然气站到城市的距离)．

(1)把建设费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域；

(2)天然气供气站建在距A城多远，才能使建设费用最小，最小费用是多少？

解 (1)由题意知D地距B地(100－x)km，

则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10≤100－x，,x≥10，))所以10≤x≤90.

设比例系数为k，则y＝k[x2＋(100－x)2](10≤x≤90)，

又x＝40时，y＝1 300，所以1 300＝k(402＋602)，即k＝eq \f(1,4)，

所以y＝eq \f(1,4)[x2＋(100－x)2]＝eq \f(1,2)(x2－100x＋5 000)(10≤x≤90)．

(2)由于y＝eq \f(1,2)(x2－100x＋5 000)＝eq \f(1,2)(x－50)2＋1 250，所以当x＝50时，y有最小值为1 250万元．

所以当供气站建在距A城50 km处，能使建设费用最小，最小费用是1 250万元．

[训练11] 某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如表所示：

(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；

(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；

(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少．

解 (1)P＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,5)t＋2，0

(2)设Q＝at＋b(a，b为常数)，把(4,36)，(10,30)代入得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＋b＝36，,10a＋b＝30.))解得a＝－1，b＝40，

所以日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为Q＝－t＋40,0

(3)由(1)(2)可得

y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)t＋2))×40－t，0

即y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)t－152＋125，0

当0

当20

所以，在30天中的第15天，日交易额取得最大值125万元．

1.函数f(x)＝eq \f(x,|x|)的图像是( )

C [由于f(x)＝eq \f(x,|x|)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x＞0，,－1，x＜0，))所以其图像为C.]

2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )

A.y＝x＋1 B.y＝－x2

C.y＝eq \f(1,x) D.y＝x|x|

D [函数y＝x＋1为非奇非偶函数；函数y＝－x2为偶函数；函数y＝eq \f(1,x)和y＝x|x|是奇函数，但y＝eq \f(1,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数.]

3.定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有eq \f(fx2－fx1,x2－x1)＜0，则( )

A.f(3)＜f(－2)＜f(1) B.f(1)＜f(－2)＜f(3)

C.f(－2)＜f(1)＜f(3) D.f(3)＜f(1)＜f(－2)

A [f(x)为偶函数，故f(2)＝f(－2).又由题意知，当x∈[0，＋∞)时，f(x)为减函数，且3＞2＞1，

所以f(3)＜f(2)＜f(1)，即f(3)＜f(－2)＜f(1).]

4.设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋a，x≤0,x＋\f(1,x)，x>0))，若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围是( )

A.(－∞，2] B.(－∞，2)

C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)

A [由题意，当x>0时，f(x)的最小值为f(1)＝2，当x≤0时，f(x)的最小值为f(0)＝a.若f(0)是f(x)的最小值，则a≤2.]

5.若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法正确的是( )

A.f(x)为奇函数

B.f(x)为偶函数

C.g(x)＝f(x)＋1为奇函数

D.g(x)＝f(x)＋1为偶函数

C [因为对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，所以令x1＝x2＝0，得f(0)＝－1；令x1＝x，x2＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＋1，所以g(x)＝f(x)＋1＝－f(－x)－1＝－[f(－x)＋1]＝－g(－x)，所以g(x)＝f(x)＋1为奇函数.]

6.设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x＜0，,gx，x＞0，))若f(x)是奇函数，则g(2)的值是________.

4 [因为f(x)是奇函数，所以g(2)＝f(2)＝－f(－2)＝4.]

7.已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________.

eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2) [因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，两式联立得f(x)＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2).]

8.已知f(x)，g(x)均为奇函数，F(x)＝af(x)＋bg(x)－2，且F(－3)＝5，则F(3)的值为________.

－9 [设G(x)＝af(x)＋bg(x).

因为f(x)，g(x)为奇函数，所以G(x)为奇函数.

因为F(－3)＝G(－3)－2＝5，所以G(－3)＝7.

所以G(3)＝－G(－3)＝－7，

所以F(3)＝G(3)－2＝－7－2＝－9.]

9.已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时， f(x)＝－x2＋2x＋2.

(1)求f(－1)；[来源:ZXXK]

(2)求f(x)的解析式；

(3)画出f(x)的图像，并指出f(x)的单调区间.

解 (1)由于函数f(x)是R上的奇函数，所以对任意的x都有f(－x)＝－ f(x)，所以f(－1)＝－f(1)＝－(－1＋2＋2)＝－3.

(2)设x<0，则－x>0，于是f(－x)＝－(－x)2－2x＋2＝－x2－2x＋2.

又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x).

因此， f(x)＝x2＋2x－2.

又因为f(0)＝0，所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－2，x＜0，,0，x＝0，,－x2＋2x＋2，x＞0.))

(3)先画出y＝f(x)(x>0)的图像，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f(x)(x<0)的图像，其图像如图所示.

由图可知，其增区间为[－1,0)和(0,1]，减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞).

10.已知函数f(x)＝2x－eq \f(a,x)(a＞0).

(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；

(2)求证：函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数.

证明 (1)函数f(x)＝2x－eq \f(a,x)为奇函数.证明如下：f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝2(－x)－eq \f(a,－x)＝－2x＋eq \f(a,x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数.

(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1

因为x1＞x2＞0，所以x1－x2＞0.因为a＞0，所以2＋eq \f(a,x1x2)＞0.所以(x1－x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(a,x1x2)))＞0.所以f(x1)－f(x2)＞0.即f(x1)＞f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数.

x
1
2
3
f(x)
2
3
0
第t天
4
10
16
22
Q/万股
36
30
24
18