人教B版 (2019)必修 第一册3.2 函数与方程、不等式之间的关系教学课件ppt

课题名

3．2　函数与方程、不等式之间的关系

课标要求

1.了解函数零点的定义,会求简单函数的零点.(数学运算)

2.掌握判断一元二次方程根的存在及个数的方法.(数学运算)

3.了解函数的零点与方程根的联系,能利用具体函数的图像,借助计算器用二分法求相应方程的近似解.(直观想象)

核心目标

1.了解函数零点的定义,会求简单函数的零点.

2.掌握判断一元二次方程根的存在及个数的方法.（重点）

3.了解函数的零点与方程根的联系,能利用具体函数的图像,借助计算器用二分法求相应方程的近似解.(难点)

教学

准备

教师准备：教案、课件

学生准备：教材、学案

教学过程

情景引入

某电视台有一个节目叫“价格猜猜猜”，就是主持人给大家展示一件新式产品，让竞猜者去猜物品的价格，主持人会提示价格“高了”

还是“低了”，然后继续猜……

[问题]　怎样用最少的次数猜出物品的价格呢？

新知探究

知识点一　函数的零点

1．函数零点的概念

一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于___，即f(α)＝___，则称α为函数y＝f(x)的零点．

函数的零点是点吗？

提示：不是，是使f(x)＝0的实数x，是方程f(x)＝0的根．

核心目标检验

1．函数f(x)＝2－3x＋1的零点是 (　　)

A．－1/2，－1        B．1/2，1

C．1/2，－1          D．－1/2，1

解析：方程2－3x＋1＝0的两根分别为＝1，＝1/2，所以函数f(x)＝2－3x＋1的零点是1/2，1.

新知探究

知识点一　函数的零点

2．二次函数的零点及其与方程、不等式解集之间的关系

一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数f(x)＝a＋bx＋c(a≠0)：

(1)当Δ＝－4ac___时，方程a＋bx＋c＝0的解集中有两个元素，，且，是f(x)的两个零点，f(x)的图像与x轴有______公共点________，__________；

(2)当Δ＝－4ac______时，方程a＋bx＋c＝0的解集中只有一个元素，且是f(x)唯一的零点，f(x)的图像与x轴有______公共点；

(3)当Δ＝－4ac______时，方程a＋bx＋c＝0没有实数根，此时f(x)无零点，f(x)的图像与x轴______公共点．

当a>0时，一元二次方程a＋bx＋c＝0的实数根、一元二次不等式a＋bx＋c>0(<0)的解集、二次函数y＝a＋bx＋c的图像与二次函数y＝a＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示：

要点笔记

(1)函数的零点可以理解为一个函数的图像与x轴的交点的横坐标.

(2)方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.

新知探究

知识点二  零点存在定理及分类

(1)函数零点存在定理:

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的,并且 f(a)f(b)<0 (即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间(a,b)中至少有一个零点,即∃∈(a,b), f()=0 .

两个条件缺一不可.

只能判断零点是否存在,不能确定零点的个数.

(2)分类:

核心目标检验

2．方程x^2－4x－5＝0的解集为________，

    不等式x^2－4x－5<0的解集为________．

新知探究

知识点三  求函数零点的近似值的计算方法——二分法

(1)二分法的定义:

对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

(2)“二分法”求函数零点的一般步骤:

在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的,且f(a)f(b)<0),给定近似的精度ε,用二分法求零点的近似值,使得|-|<ε的一般步骤如下:

步骤可用如图所示的框图表示.

第一步：检查|b－a|<2ε是否成立，如果成立，取＝，计算结束；如果不成立，转到第二步．

第二步：计算区间(a，b)的中点对应的函数值，若f()＝0，取＝，计算结束；若f()≠0，转到第三步．

第三步：若f(a)f()<0，将的值赋给b(用→b表示，下同），回到第一步；否则必有f()f(b)<0，将的值赋给a，回到第一步．

是否所有的函数都可以用二分法求函数的零点？

提示：不是，只有满足函数图像在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点．

核心目标检验

3. 观察下列函数的图像，判断能用二分法求其零点的是 (　　)

4. 下列函数中不能用二分法求零点近似值的________．

①f(x)＝3x; ②f(x)＝＋1；③f(x)＝＋2x－3; ④f(x)＝|x|.

5. 用二分法研究函数f(x)＝＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点∈________，第二次应计算________．

课堂总结

1.了解函数零点的定义,会求简单函数的零点.(数学运算)

2.掌握判断一元二次方程根的存在及个数的方法.(数学运算)

3.了解函数的零点与方程根的联系,能利用具体函数的图像,借助计算器用二分法求相应方程的近似解.(直观想象)

命题讲练

命题方向1：求函数的零点

例题1:判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出：

(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝＋2x＋4.

[解]　(1)令＝0，解得x＝－3，

所以函数f(x)的零点是x＝－3.

(2)令＋2x＋4＝0，

由于Δ＝－4×1×4＝－12<0，

所以方程＋2x＋4＝0无实数解，

所以函数f(x)＝＋2x＋4不存在零点．

求函数y＝f(x)的零点的方法

(1)求函数f(x)的零点就是求方程f(x)＝0的解，求解时注意函数的定义域；

(2)已知是函数f(x)的零点，则必有f()＝0.　

跟踪练习1:1．函数f(x)＝的零点为________．

解析：当x＜0时，x＋2＝0，则x＝－2.

当x＞0时，－1＝0，则x＝1，x＝－1(舍)．

所以函数f(x)的零点为－2和1.

2．已知函数f(x)＝＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，则＝________．

解析：因为f(x)＝＋3(m＋1)x＋n的零点为1和2，

所以1和2是方程＋3(m＋1)x＋n＝0的两个实数解，

所以解得

所以＝＝4.

命题方向2:二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系

例题2:分别画出下列函数的图像，并指出函数值y＞0，y＝0，y＜0时自变量x的取值．

(1)y＝＋x－2；

(2)y＝＋6x＋9；

(3)y＝2－4x＋4.

[解]　(1)作出函数的图像，如图①所示，由图可知：

当y＞0时，x＜－2或x＞1；

当y＝0时，x＝－2或x＝1；

当y＜0时，－2＜x＜1.

(2)  作出函数的图像，如图②所示，由图可知：

当y＞0时，x≠－3；

当y＝0时，x＝－3；

当y＜0时，符合题意的x不存在．

(3)作出函数的图像，如图③所示，由图可知：当y＞0时，x∈R；

当y＝0时，符合题意的x不存在；当y＜0时，符合题意的x不存在．

一元二次方程a＋bx＋c＝0(a＞0)的根就是二次函数的图像与x轴交点的横坐标．

   一元二次不等式a＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，即二次函数y＝a＋bx＋c(a＞0)中满足y＞0时的自变量x组成的集合，即二次函数y＝a＋bx＋c(a＞0)的图像在x轴上方时点的横坐标x的集合．　

跟踪练习2：1．若不等式f(x)＝ax^2－x－c＞0的解集为(－2，1)，则函数y＝f(x)的图像为 (　　)

解析：因为不等式f(x)的解集为(－2，1)，所以a＜0，排除C、D，又与坐标轴交点的横坐标为－2，1.

2．不等式组的解集为                      ．

解析：由得

所以0＜x≤1或2≤x＜3.

命题方向3:用函数零点法求一元高次不等式的解集

例题3:求函数f(x)＝2(x^2－3x＋2)(x＋1)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)≥0和f(x)<0的解集．

[解]　令f(x)＝0，即2(x－1)(x－2)(x＋1)＝0，得函数的零点为－1，1，2.函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如表所示：　

f(x)的示意图如图：

∴f(x)≥0的解集为[－1,1]∪[2,＋∞)，f(x)<0的解集为(－∞,－1)∪(1,2)．

解高次不等式的基本方法

(1)  将高次不等式f(x)<0(>0)中的多项式f(x)分解成若干个不可约因式的积，根据符号法则，把它等价转化为两个或多个不等式(组)，于是原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集．

(2)穿针引线法：

①将不等式转化为一端为零的形式，如f(x)>0或f(x)<0等；

②对f(x)进行因式分解，使各因式为一次因式或二次不可约因式；

③求出各因式对应方程的根，在数轴上依次标出，注意虚实；

④若最高次项的系数为正，自右端上方起依次穿过各根画出曲线；若最高次项的系数为负，则自右端下方起依次穿过各根画出曲线，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过(即奇过偶不过)；

⑤记数轴上方为正，下方为负，根据不等式符号写出解集．

概述为：首正右上翘,首负右下掉；奇过偶不过,引线解知道．

跟踪练习3:已知函数f(x)＝x(x－2)(x＋3)．

(1)求f(x)的零点并画出其图像示意图；

(2)写出f(x)<0的解集．

解：(1)令f(x)＝0，即x(x－2)(x＋3)＝0，得函数的零点是－3,0,2.

f(x)的示意图如图．

(2)函数的定义域被零点分成四部分，每部分函数值的符号如表所示：

∴f(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0，2)．

命题方向4:一元二次方程根的分布问题

例题4:已知关于x的一元二次方程x^2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围．

[解]　令f(x)＝x^2＋2mx＋2m＋1，依题意得函数f(x)

＝x^2＋2mx＋2m＋1的图像与x轴的交点分别在区间

(－1，0)和(1，2)内，画出图像如图所示：

由图像得即m的取值范围是(−5/6,−1/2).

解一元二次方程根的分布问题一般从四个方面考虑：

(1)抛物线开口方向；

(2)一元二次方程根的判别式；

(3)对应区间端点函数值的符号；

(4)抛物线的对称轴与区间端点的位置关系．　

跟踪练习4:设二次函数f(x)＝x^2＋ax＋a，方程f(x)－x＝0的两根和满足0＜＜＜1，求实数a的取值范围．

解：令g(x)＝f(x)－x＝x^2＋(a－1)x＋a，

则由题意可得解得0＜a＜3－2√2.

故实数a的取值范围是(0，3－2√2)．

命题方向5: 判断函数零点个数或所在区间

例题5:(1)已知函数y＝f(x)的图像是连续不断的一条曲线，有如下的对应值表：

则下列说法正确的是 (　　)

A．函数y＝f(x)在区间[1，6]上有3个零点

B．函数y＝f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点

C．函数y＝f(x)在区间[1，6]上至多有3个零点

D．函数y＝f(x)在区间[1，2]上无零点

(2)函数f(x)＝x^3＋x－5的零点所在区间为 (　　)

A．(0，1)　　  B．(1，2)     

C．(2，3)      D．(3，4)

[解析]　(2)由函数f(x)＝x^3＋x－5

可得f(1)＝1＋1－5＝－3＜0，f(2)＝8＋2－5＝5＞0，

故有f(1)f(2)＜0，

根据零点存在定理可得，函数f(x)的零点所在区间为(1，2).

1．判断函数零点所在区间的三个步骤

(1)代入：将区间端点值代入函数求出相应的函数值；

(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断；

(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点。　 　

2．判断函数存在零点的2种方法

(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数．可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数；

(2)图像法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系内作出＝g(x)和＝h(x)的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数．　　　

命题方向6: 根据函数零点求参数

例题6:已知a是实数，函数f(x)＝2|x－1|＋x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，求实数a的取值范围．

[解]　函数f(x)＝2|x－1|＋x－a有且仅有两个零点，

即函数y＝2|x－1|＋x与y＝a有且仅有两个交点．

分别作出函数y＝2|x－1|＋x与y＝a的图像，

如图所示．

由图易知，当a＞1时，两函数的图像有两个不同的交点，故实数a的取值范围是(1，＋∞)．

根据函数零点个数求参数值(范围)的方法

已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法：

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．　　　

命题方向7: 用二分法求方程的近似解

例题7:用二分法求方程2x^3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度为0.1)

[解]　令f(x)＝2x^3＋3x－3，

经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，

所以函数f(x)在(0，1)内存在零点，

即方程2x^3＋3x＝3在(0，1)内有解．

取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，

又f(1)>0，所以方程2x^3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解．

如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：

由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．

用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则

(1)需依据图像估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)；

(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．　　　　

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