人教B版 (2019)必修 第一册3.2 函数与方程、不等式之间的关系教案

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册3.2 函数与方程、不等式之间的关系教案，共14页。教案主要包含了第1课时，教学过程，第2课时，教学目标，核心素养等内容，欢迎下载使用。

函数与方程、不等式之间的关系

【第1课时】
函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
【教学目标】
【核心素养】
1．理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系．（难点）
2．会求函数的零点．（重点）
3．掌握函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零点法求不等式的解集．（重点、难点）
1．借助函数零点概念的理解，培养数学抽象的素养．
2．通过函数与方程、不等式之间的关系的学习，提升逻辑推理的素养．
3．利用零点法求不等式的解集，培养数学运算的素养．
【教学过程】
一、新知初探
1．函数的零点
（1）函数零点的概念：一般地，如果函数y＝f（x）在实数α处的函数值等于零，即f（α）＝0，则称实数α为函数y＝f（x）的零点．
（2）三者之间的关系：
函数f（x）的零点⇔函数f（x）的图像与x轴有交点⇔方程f（x）＝0有实数根．
2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系
（1）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是函数f（x）＝ax2＋bx＋c的零点．
（2）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合．
3．图像法解一元二次不等式的步骤
（1）解一元二次不等式对应的一元二次方程；
（2）求出其对应的二次函数的零点；
（3）画出二次函数的图像；
（4）结合图像写出一元二次不等式的解集．
二、初试身手
1．函数y＝1＋的零点是（ ）
A．（－1，0） B．x＝－1
C．x＝1 D．x＝0
答案：B
解析：令1＋＝0解得x＝－1，
故选B．
2．根据表格中的数据，可以断定方程ex－（x＋2）＝0（e≈2．72）的一个根所在的区间是（ ）
x
－1
0
1
2
3
ex
0．37
1
2．72
7．40
20．12
x＋2
1
2
3
4
5
A．（－1，0） B．（0，1）
C．（1，2） D．（2，3）
答案：C
解析：令f（x）＝ex－（x＋2），则f（－1）＝0．37－1<0，f（0）＝1－2<0，f（1）＝2．72－3<0，f（2）＝7．40－4＝3．40>0．由于f（1）·f（2）<0，∴方程ex－（x＋2）＝0的一个根在（1，2）内．
3．若f（x）＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是（ ）
A．m＜－2或m＞2 B．－2＜m＜2
C．m≠±2 D．1＜m＜3
答案：A
解析：∵f（x）＝－x2＋mx－1有正值， ∴Δ＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2．
4．不等式≥0的解集为________．
答案：[－1，1）
解析：原不等式等价于（x＋1）（x－1）≤0，且x－1≠0，∴－1≤x＜1．
三、合作探究
类型1：函数的零点及求法
例1：求函数f（x）＝x3－7x＋6的零点．
解：令f（x）＝0，即x3－7x＋6＝0，
∴（x3－x）－（6x－6）＝0，
∴x（x－1）（x＋1）－6（x－1）＝（x－1）·（x2＋x－6）＝（x－1）（x－2）（x＋3）＝0，
解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，
∴函数f（x）＝x3－7x＋6的零点是1，2，－3．
规律方法
求函数y＝f（x）的零点通常有两种方法：一是令y＝0，根据解方程f（x）＝0的根求得函数的零点；二是画出函数y＝f（x）的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
跟踪训练
1．如图所示是一个二次函数y＝f（x）的图像．

（1）写出这个二次函数的零点；
（2）试比较f（－4）·f（－1），f（0）·f（2）与0的大小关系．
解：（1）由图像可知，函数f（x）的两个零点分别是－3，1．
（2）根据图像可知，f（－4）·f（－1）＜0，f（0）·f（2）＜0．
类型2：二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系
例2：利用函数求下列不等式的解集：
（1）x2－5x－6＞0；（2）（2－x）（x＋3）＜0；
（3）4（2x2－2x＋1）＞x（4－x）．
解：（1）方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6．
结合二次函数y＝x2－5x－6的图像知，
原不等式的解集为（－∞，－1）∪（6，＋∞）．
（2）原不等式可化为（x－2）（x＋3）＞0．
方程（x－2）（x＋3）＝0的两根为x1＝2，x2＝－3．
结合二次函数y＝（x－2）（x＋3）的图像知，
原不等式的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）．
（3）由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2，
即9x2－12x＋4＞0．
解方程9x2－12x＋4＝0，解得x1＝x2＝．
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图像知，
原不等式的解集为∪．
规律方法
利用函数求不等式解集的基本步骤
1．把一元二次不等式化成一般形式，并把a的符号化为正；
2．计算其对应一元二次方程的根的判别式Δ；
3．求其对应一元二次方程的根；
4．写出解集(大于取两边，小于取中间．
跟踪训练
2．利用函数求下列不等式的解集：
（1）2x2＋7x＋3＞0；
（2）－x2＋8x－3＞0；
（3）x2－4x－5＜0；
（4）－4x2＋18x－＞0．
解：（1）对于方程2x2＋7x＋3＝0，因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，
所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不相等的实数根，x1＝－3，x2＝－．
又因为二次函数y＝2x2＋7x＋3的图像开口向上，
所以原不等式的解集为（－∞，－3）∪．
（2）对于方程－x2＋8x－3＝0，因为Δ＝82－4×（－1）×（－3）＝52＞0，
所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实数根，x1＝4－，x2＝4＋．
又因为二次函数y＝－x2＋8x－3的图像开口向下，
所以原不等式的解集为（4－，4＋）．
（3）原不等式可化为（x－5）（x＋1）＜0，
所以原不等式的解集为（－1，5）．
（4）原不等式可化为2＜0，
所以原不等式的解集为∅．
类型3：用函数零点法求一元高次不等式的解集
例3：求函数f（x）＝（x－1）（x－2）（x＋3）的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f（x）≥0和f（x）＜0的解集．
解：函数的零点为－3，1，2．
函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如下表所示．
x
（－∞，－3）
（－3，1）
（1，2）
（2，＋∞）
f（x）
－
＋
－
＋
由此可以画出此函数的示意图如图．

由图可知，f（x）≥0的解集为[－3，1]∪[2，＋∞），f（x）＜0的解集为（－∞，－3）∪（1，2）．
规律方法
解题步骤：1．求出零点；2．拆分定义域；3．判断符号；4．写出解集．注意判断符号的方法，将最高项的系数化为正数，最右边的区间内为正，然后往左依次负正相间．
跟踪训练
3．求函数f（x）＝（1－x）（x－2）（x＋2）的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f（x）≥0和f（x）＜0的解集．
解：函数的零点为－2，1，2．
函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如下表所示．
x
（－∞，－2）
（－2，1）
（1，2）
（2，＋∞）
f（x）
＋
－
＋
－
由此可以画出此函数的示意图如图．

由图可知，f（x）≥0的解集为（－∞，－2]∪[1，2]，f（x）＜0的解集为（－2，1）∪（2，＋∞）．
四、课堂小结
1．方程f（x）＝g（x）的根是函数f（x）与g（x）的图像交点的横坐标，也是函数y＝f（x）－g（x）的图像与x轴交点的横坐标．
2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系
（1）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是函数f（x）＝ax2＋bx＋c的零点．
（2）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集是f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合．
3．图像法解一元二次不等式的步骤
（1）解一元二次不等式对应的一元二次方程；
（2）求出其对应的二次函数的零点；
（3）画出二次函数的图像；
（4）结合图像写出一元二次不等式的解集．
五、当堂达标
1．下列图像表示的函数中没有零点的是（ ）

答案：A
解析：B，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点．
2．方程5x2－7x－1＝0的根所在的区间是（ ）
A．（－1，0）
B．（1，2）
C．一个根在（－1，0）上，另一个根在（1，2）上
D．一个根在（0，1）上，另一个根在（－2，－1）上
答案：C
解析：∵f（－1）·f（0）＜0，f（1）·f（2）＜0，∴选C．
3．函数f（x）＝x－零点的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：C
解析：令x－＝0，即x2－1＝0，∴x＝±1．∴f（x）＝x－的零点有两个．
4．函数f（x）＝（x2－1）（x＋2）2（x2－2x－3）的零点个数是________．
答案：4
解析：f（x）＝（x＋1）（x－1）（x＋2）2（x－3）（x＋1）
＝（x＋1）2（x－1）（x＋2）2（x－3）．
可知零点为±1，－2，3，共4个．
【第2课时】
零点的存在性及其近似值的求法
【教学目标】
【核心素养】
1．掌握函数零点的存在性定理，并会判断函数零点的个数．（重点）
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法是求函数零点近似解的步骤．（难点）
3．理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题．（重点、难点）
1．通过存在性定理的学习，培养逻辑推理的素养．
2．通过二分法的学习，提升数据分析，数学建模的学科素养．
3．理解函数与方程之间的联系，提升数学抽象的学科素养．
【教学过程】
一、新知初探
1．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f（a）f（b）＜0（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数y＝f（x）在区间[a，b]中至少有一个零点，即∃x0∈[a，b]，f（x0）＝0．
2．二分法的定义
（1）二分法的条件：函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续不断且f（a）f（b）＜0．
（2）二分法的过程：通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法，称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，也可以用二分法求方程的近似解．
3．用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f（x）在[a，b]上的零点近似值的步骤是：
第一步：检查|b－a|＜2ε是否成立，如果成立，取x1＝，计算结束；如果不成立，转到第二步．
第二步：计算区间[a，b]的中点对应的函数值，若f＝0，取x1＝，计算结束；若f≠0，转到第三步．
第三步　若f（a）f＜0，将的值赋给b，回到第一步；若ff（b）＜0，将的值赋给a，回到第一步．
二、初试身手
1．下列函数不宜用二分法求零点的是（ ）
A．f（x）＝x3－1 B．f（x）＝lnx＋3
C．f（x）＝x2＋2x＋2 D．f（x）＝－x2＋4x－1
答案：C
解析：因为f（x）＝x2＋2x＋2＝（x＋）2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．
2．若函数f（x）在区间[a，b]上为单调函数，且图像是连续不断的曲线，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数f（x）在区间[a，b]上不可能有零点
B．函数f（x）在区间[a，b]上一定有零点
C．若函数f（x）在区间[a，b]上有零点，则必有f（a）·f（b）＜0
D．若函数f（x）在区间[a，b]上没有零点，则必有f（a）·f（b）＞0
答案：D
解析：函数f（x）在区间[a，b]上为单调函数，如果f（a）·f（b）＜0，可知函数在（a，b）上有一个零点，
如果f（a）·f（b）＞0，可知函数在[a，b]上没有零点，
所以函数f（x）在区间[a，b]上可能没有零点，也可能有零点，所以A不正确；
函数f（x）在区间[a，b]上可能有零点，也可能没有零点；所以B不正确；
若函数f（x）在区间[a，b]上有零点，则可能f（a）·f（b）＜0，也可能f（a）·f（b）＝0所以C不正确；
若函数f（x）在区间[a，b]上没有零点，则必有f（a）·f（b）＞0，正确；故选D．]
3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是（ ）
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
答案：B
解析：依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．
4．若函数f（x）的图像是连续不断的，且f（0）>0，f（1）·f（2）·f（4）<0，则下列命题正确的是________．
①函数f（x）在区间（0，1）内有零点；
②函数f（x）在区间（1，2）内有零点；
③函数f（x）在区间（0，2）内有零点；
④函数f（x）在区间（0，4）内有零点．
答案：④
解析：∵f（0）>0，而由f（1）·f（2）·f（4）<0，知f（1），f（2），f（4）中至少有一个小于0．∴（0，4）上有零点．
三、合作探究
类型1：判断函数零点所在的区间
例1：求证：方程x4－4x－2＝0在区间[－1，2]内至少有两个实数解．
证明：设f（x）＝x4－4x－2，其图像是连续曲线．
因为f（－1）＝3＞0，f（0）＝－2＜0，f（2）＝6＞0，
所以方程在（－1，0），（0，2）内都有实数解．
从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．
规律方法
一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．
跟踪训练
1．若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若f（a）f（b）＞0，则不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0
B．若f（a）f（b）＜0，则存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）＝0
C．若f（a）f（b）＞0，则有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0
D．若f（a）f（b）＜0，则有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0
答案：C
解析：对于A选项，可能存在，如y＝x2；对于B选项，必存在但不一定唯一，选项D一定存在．
类型2：对二分法概念的理解
例2：下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是（ ）

答案：B
解析：利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点．由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
规律方法
二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是：函数零点的存在性．对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图像是连续的即可．
跟踪训练
2．如图是函数f（x）的图像，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f（x）的零点近似值的是（ ）

A．（－2．1，－1） B．（1．9，2．3）
C．（4．1，5） D．（5，6．1）
答案：B
解析：只有B中的区间所含零点是不变号零点．
类型3：用二分法求函数零点
例3：求函数f（x）＝x2－5的负零点．（精确度为0．1）
解：由于f（－2）＝－1<0，f（－3）＝4>0，
故取区间（－3，－2）作为计算的初始区间，
用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数近似值
（－3，－2）
－2．5
1．25
（－2．5，－2）
－2．25
0．0625
（－2．25，－2）
－2．125
－0．4844
（－2．25，－2．125）
－2．1875
－0．2148
（－2．25，－2．1875）
－2．21875
－0．0771
由于|－2．25－（－2．1875）|＝0．0625<0．1，
所以函数的一个近似负零点可取－2．25．
规律方法
利用二分法求函数零点应关注三点
1．要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小．
2．用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间．
3．根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算．
跟踪训练
3．证明函数f（x）＝2x＋3x－6在区间[1，2]内有唯一零点，并求出这个零点（精确度为0．1）．
解：由于f（1）＝－1<0，f（2）＝4>0，又函数f（x）在[1，2]内是增函数，所以函数在区间[1，2]内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈[1，2]．下面用二分法求解．
（a，b）
（a，b）的中点
f（a）
f（b）
f
（1，2）
1．5
f（1）<0
f（2）>0
f（1．5）>0
（1，1．5）
1．25
f（1）<0
f（1．5）>0
f（1．25）>0
（1，1．25）
1．125
f（1）<0
f（1．25）>0
f（1．125）<0
（1．125，1．25）
1．1875
f（1．125）<0
f（1．25）>0
f（1．1875）<0
因为|1．1875－1．25|＝0．0625<0．1，所以函数f（x）＝2x＋3x－6的精确度为0．1的近似零点可取为1．25．
类型4：用二分法求方程的近似解
例4：用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解（精确度为0．1）．
解：令f（x）＝2x3＋3x－3，
经计算，f（0）＝－3<0，f（1）＝2>0，f（0）·f（1）<0，
所以函数f（x）在（0，1）内存在零点，
即方程2x3＋3x－3＝0在（0，1）内有解．
取（0，1）的中点0．5，经计算f（0．5）<0，又f（1）>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在（0．5，1）内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
（a，b）
中点c
f（a）
f（b）
f
（0，1）
0．5
f（0）<0
f（1）>0
f（0．5）<0
（0．5，1）
0．75
f（0．5）<0
f（1）>0
f（0．75）>0
（0．5，0．75）
0．625
f（0．5）<0
f（0．75）>0
f（0．625）<0
（0．625，0．75）
0．6875
f（0．625）<0
f（0．75）>0
f（0．6875）<0
（0．6875，0．75）
|0．6875－0．75|＝0．0625<0．1
由于|0．6875－0．75|＝0．0625<0．1，所以0．75可作为方程的一个正实数近似解．
规律方法
用二分法求方程的近似解应明确两点
（1）根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f（x）＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
（2）对于求形如f（x）＝g（x）的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F（x）＝f（x）－g（x）＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
跟踪训练
4．求方程x2＝2x＋1的一个近似解．（精确度0．1）
解：设f（x）＝x2－2x－1．
∵f（2）＝－1<0，f（3）＝2>0．
∴在区间（2，3）内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0．
取2与3的平均数2．5，
∵f（2．5）＝0．25>0，∴2 再取2与2．5的平均数2．25，
∵f（2．25）＝－0．4375<0，
∴2．25 如此继续下去，有
f（2．375）<0，f（2．5）>0⇒x0∈（2．375，2．5）；
f（2．375）<0，f（2．4375）>0⇒x0∈（2．375，2．4375）．
∵|2．375－2．4375|＝0．0625<0．1，
∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0．1的近似解可取为2．4375．
四、课堂小结
1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
（1）在区间[a，b]上连续不断；
（2）f（a）·f（b）<0，
上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．
五、当堂达标
1．函数y＝－x2＋8x－16在区间[3，5]上（ ）
A．没有零点 B．有一个零点
C．有两个零点 D．有无数个零点
答案：B
解析：令－x2＋8x－16＝0，得x＝4，故函数y＝－x2＋8x－16在[3，5]上有一个零点．
2．用二分法求函数f（x）＝x3＋x2－2x－2的一个正零点的近似值（精确到0．1）时，依次计算得到如下数据：f（1）＝－2，f（1．5）＝0．625，f（1．25）≈－0．984，f（1．375）≈－0．260，关于下一步的说法正确的是（ ）
A．已经达到精确度的要求，可以取1．4作为近似值
B．已经达到精确度的要求，可以取1．375作为近似
C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1．4375）
D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1．3125）
答案：C
解析：由二分法知，方程x3＋x2－2x－2＝0的根在区间（1．375，1．5），没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1．4375）．故选C．
3．函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（ ）

答案：B
4．用二分法求函数零点，函数的零点总位于区间[an，bn]上，
当|an－bn|＜ε时，函数的近似零点与真正零点的误差不超过
A．ε B．ε
C．2ε D．ε
答案：B
解析：根据用“二分法”求函数近似零点的步骤知，当|an－bn|＜ε时，区间[an，bn]的中点xn＝（an＋bn）就是函数的近似零点，这时计算终止，从而函数的近似零点与真正零点的误差不超过ε．故选B．