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高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用精品学案
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用精品学案，共8页。
知识点1 算术平均值与几何平均值[来源:ZXXK]
1.给定两个正数a，b，数eq \f(a＋b,2)称为a，b的算术平均值；数eq \r(ab)称为a，b的几何平均值.
2.均值不等式(基本不等式)
如果a，b都是正数，那么eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立.
3.均值不等式也称为基本不等式，其实质是：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均值.
4.均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大.
[微思考]
eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≥ab是等价的吗？
提示 不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R.
知识点2 两个结论
(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
(2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.
探究一 利用均值不等式证明不等式
已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，
证明：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)≥9.
证明 eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(a＋b＋c,a)＋eq \f(a＋b＋c,b)＋eq \f(a＋b＋c,c)
＝3＋(eq \f(b,a)＋eq \f(a,b))＋(eq \f(c,a)＋eq \f(a,c))＋(eq \f(c,b)＋eq \f(b,c))≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时，等号成立.
[方法总结]
用均值不等式证明不等式的解题策略
在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式.
[跟踪训练1] 已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，
求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.
证明 (1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)
≥2eq \r(bc)·2eq \r(ac)·2eq \r(ab)＝8abc.
当且仅当b＝c＝a＝eq \f(1,3)时，等号成立.
探究二 利用均值不等式求最值
已知x＞0，y＞0，且eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，求x＋y的最小值.
解 方法一：(1的代换)因为eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，
所以x＋y＝(x＋y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝10＋eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y).
因为x＞0，y＞0，所以eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)≥2 eq \r(\f(y,x)·\f(9x,y))＝6.
当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(9x,y)，即y＝3x时，取等号.
又eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，所以x＝4，y＝12，所以x＋y≥16.
所以当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
方法二：(消元法)由eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，得x＝eq \f(y,y－9).
因为x＞0，y＞0，所以y＞9.
x＋y＝eq \f(y,y－9)＋y＝y＋eq \f(y－9＋9,y－9)＝y＋eq \f(9,y－9)＋1
＝(y－9)＋eq \f(9,y－9)＋10.
因为y＞9，所以y－9＞0，
所以y－9＋eq \f(9,y－9)≥2eq \r(y－9·\f(9,y－9))＝6.
当且仅当y－9＝eq \f(9,y－9)，即y＝12时取等号，此时，x＝4，所以当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
方法三：(配凑法)由eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1得，y＋9x＝xy，
所以(x－1)(y－9)＝9.
所以x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9)≥
10＋2eq \r(x－1y－9)＝16.
当且仅当x－1＝y－9时取等号.
又因为eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，所以x＝4，y＝12.
所以当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
[方法总结]
1.利用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即
(1)一正：符合均值不等式eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的前提条件，a＞0，b＞0；
(2)二定：化不等式的一边为定值；
(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立.
提醒：以上三点缺一不可.
2.若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分或配凑因式.
[跟踪训练2] (1)已知eq \f(2,x)＋eq \f(3,y)＝2(x＞0，y＞0)，则x·y的最小值是________；
(2)设x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，则x＋y的最小值为________.
(1)6 (2)18 [(1)方法一：因为2＝eq \f(2,x)＋eq \f(3,y)≥2 eq \r(\f(6,xy))，
所以 eq \r(\f(6,xy))≤1，所以eq \f(6,xy)≤1，所以xy≥6，
当且仅当eq \f(2,x)＝eq \f(3,y)，即x＝2，y＝3时等号.
所以xy的最小值为6.
方法二：由eq \f(2,x)＋eq \f(3,y)＝2得，3x＋2y＝2xy，
因为x＞0，y＞0，所以3x＋2y≥2eq \r(6xy)，等号在3x＝2y时成立，[来源:学§科§网]
所以2xy≥2eq \r(6xy)，所以xy≥6.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＝2y,xy＝6))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝3)).
所以xy的最小值为6.
(2)由2x＋8y－xy＝0及x＞0，y＞0，得eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)＝1.
所以x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(2,y)))
＝eq \f(8y,x)＋eq \f(2x,y)＋10≥2eq \r(\f(8y,x)·\f(2x,y))＋10＝18.
当且仅当eq \f(8y,x)＝eq \f(2x,y)，即x＝2y＝12时等号成立.
所以x＋y的最小值是18.]
探究三 利用均值不等式解实际问题
某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
解 设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨. 由题意可知，面粉的保管等其他费用为
3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1).
设平均每天所支付的总费用为y1元，
则y1＝eq \f(1,x)[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋eq \f(900,x)＋10 809≥2eq \r(9x·\f(900,x))＋10 809＝10 989(元)，
当且仅当9x＝eq \f(900,x)，即x＝10时，等号成立.
所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.
[方法总结]
求解应用题的方法与步骤
(1)审题； (2)建模(列式)； (3)解模； (4)作答. [来源:Z|xx|k.Cm]
[跟踪训练3] 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元.求：
(1)仓库面积S的最大允许值是多少；
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长.
解 设铁栅长为x m，一堵砖墙长为y m，则顶部面积为S＝xy(m2).
(1)由题意，得40x＋2×45y＋20xy＝3 200.
由均值不等式得
3 200≥2eq \r(40x·90y)＋20xy＝120eq \r(xy)＋20xy＝120eq \r(S)＋20S.
所以S＋6eq \r(S)－160≤0，即(eq \r(S)－10)(eq \r(S)＋16)≤0，
故0＜eq \r(S)≤10，从而0＜S≤100.
所以S的最大允许值是100 m2.
(2)S取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，
所以求得x＝15，即正面铁栅的长是15 m.
1.两个不等式a2＋b2≥2ab与eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解. 一方面：当a＝b时，eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)；另一方面：当eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)时，也有a＝b.
2.在利用均值不等式证明和求最值的过程中，常需要把数、式合理的拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式.
3.利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.
课时作业(十五) 均值不等式及其应用
1.不等式(x－2y)＋eq \f(1,x－2y)≥2成立的条件为( )
A.x≥2y，x－2y＝1 B.x＞2y，x－2y＝1
C.x≤2y，x－2y＝1 D.x＜2y，x－2y＝1
B [因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y＞0，即x＞2y，且等号成立时(x－2y)2＝1，即x－2y＝1.]
2.已知x＞0，若x＋eq \f(81,x)的值最小，则x为( )
A.81 B.9
C.3 D.16
B [因为x＞0，所以x＋eq \f(81,x)≥2eq \r(x·\f(81,x))＝18，当且仅当x＝eq \f(81,x)，即x＝9时等号成立.]
3.小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a
A.a
C.eq \r(ab)
A [设甲、乙两地之间的距离为s.因为aeq \f(a2－a2,a＋b)＝0，所以v>a.]
4.某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A.5 km处 B.4 km处
C.3 km处 D.2 km处
A [设仓库建在离车站x km处，则土地费用y1＝eq \f(k1,x)(k1≠0)，运输费用y2＝k2x(k2≠0)，把x＝10，y1＝2代入得k1＝20，把x＝10，y2＝8代入得k2＝eq \f(4,5)，故总费用y＝eq \f(20,x)＋eq \f(4,5)x≥2eq \r(\f(20,x)·\f(4,5)x)＝8，当且仅当eq \f(20,x)＝eq \f(4,5)x，即x＝5时等号成立.]
5.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A.6.5 m B.6.8 m
C.7 m D.7.2 m
C [设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则eq \f(1,2)ab＝2，所以ab＝4，l＝a＋b＋eq \r(a2＋b2)≥2eq \r(ab)＋eq \r(2ab)＝4＋2eq \r(2)≈6.828(m)(当且仅当a＝b时，取等号). 因为要求够用且浪费最少，故选C.]
6.已知a＞b＞c，则 eq \r(a－bb－c)与eq \f(a－c,2)的大小关系是________________.
eq \r(a－bb－c)≤eq \f(a－c,2) [因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0.所以eq \f(a－c,2)＝eq \f(a－b＋b－c,2)≥eq \r(a－bb－c).]
7.若x>0，y>0，则2x＋eq \f(1,x)＋y＋eq \f(1,2y)的最小值是________.
3eq \r(2) [2x＋eq \f(1,x)＋y＋eq \f(1,2y)≥2eq \r(2x·\f(1,x))＋2eq \r(y·\f(1,2y))＝2eq \r(2)＋eq \r(2)＝3eq \r(2)，当且仅当x＝eq \f(\r(2),2)，y＝eq \f(\r(2),2)时等号成立.]
8.已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1.
求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))≥8.
证明 因为a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1，
所以eq \f(1,a)－1＝eq \f(1－a,a)＝eq \f(b＋c,a)≥eq \f(2\r(bc),a)，
同理eq \f(1,b)－1≥eq \f(2\r(ac),b)，eq \f(1,c)－1≥eq \f(2\r(ab),c).
由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘得
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))≥eq \f(2\r(bc),a)·eq \f(2\r(ac),b)·eq \f(2\r(ab),c)＝8.
当且仅当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时，等号成立.
9.某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部销售完，每一万件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝eq \f(4 400,x)－eq \f(40 000,x2)(10＜x＜100)，该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W(万元)，(注：利润＝销售收入－成本)
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式，并求年利润的最大值；
(2)为了让年利润W不低于2 360万元，求年产量x的取值范围.[来源:学*科*网]
解 (1)W＝xR(x)－(16x＋40)＝－eq \f(40 000,x)－16x＋4 360
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(40 000,x)＋16x))＋4 360(10＜x＜100)，
因为eq \f(40 000,x)＋16x≥2 eq \r(\f(40 000,x)·16x)＝1 600.
当且仅当x＝50时，等号成立，
所以W≤－1 600＋4 360＝2 760，即年利润的最大值为2 760万元.
(2)W＝－eq \f(40 000,x)－16x＋4 360≥2 360，
整理得x2－125x＋2 500≤0.
解得：25≤x≤100.又10＜x＜100.所以25≤x＜100.
故为了让年利润W不低于2 360万元，年产量x的范围是[25,100).
1.已知a＞0，b＞0，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋2eq \r(ab)的最小值是( )
A.2 B.2eq \r(2)
C.4 D.5
C [因为a＞0，b＞0，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋2eq \r(ab)≥2eq \r(\f(1,ab))＋2eq \r(ab)≥4eq \r(\f(1,\r(ab))·\r(ab))＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立.]
2.若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，则a＋b,2eq \r(ab)，2ab，a2＋b2中最大的一个是( )
A.a2＋b2 B.2eq \r(ab)
C.2ab D.a＋b
D [方法一：因为0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，所以a2＋b2＞2ab，a＋b＞2eq \r(ab)，a＞a2，b＞b2，所以a＋b＞a2＋b2.
方法二：取a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,3)，则a2＋b2＝eq \f(13,36)，2eq \r(ab)＝eq \f(\r(6),3)，2ab＝eq \f(1,3)，a＋b＝eq \f(5,6)，显然eq \f(5,6)最大.]
3.若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.
[9，＋∞) [因为a＞0，b＞0，所以ab＝a＋b＋3≥2eq \r(ab)＋3，即ab－2eq \r(ab)－3≥0，解得eq \r(ab)≥3，即ab≥9.]
4.森林失火，火势以每分钟100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防员前去，在失火5分钟到达现场开始救火，已知消防员在现场平均每人每分钟可灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用平均每人每分钟125元，所消耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而每烧毁1 m2的森林损失费为60元，设消防队派x名消防队员前去救火，从到达现场开始救火到把火完全扑灭用n分钟.
(1)求出x与n的关系式；
(2)求x为何值时，才能使总损失最少.
解 (1)由已知可得50nx＝100(n＋5)，
所以n＝eq \f(10,x－2)(x＞2).
(2)设总损失为y元，则
y＝6 000(n＋5)＋100x＋125nx
＝6 000eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,x－2)＋5))＋100x＋eq \f(1 250x,x－2)
＝eq \f(62 500,x－2)＋100(x－2)＋31 450≥2eq \r(6 250 000)＋31 450＝36 450，
当且仅当eq \f(62 500,x－2)＝100(x－2)，即x＝27时，y取最小值.
即需派27名消防员，才能使总损失最小，最小值为36 450元.
5.(拓广探索)若0＜x＜1，a＞0，b＞0.
求证：eq \f(a2,x)＋eq \f(b2,1－x)≥(a＋b)2.
证明 左边＝(x＋1－x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,x)＋\f(b2,1－x)))
＝a2＋b2＋eq \f(x,1－x)b2＋eq \f(1－x,x)a2
≥a2＋b2＋2eq \r(\f(x,1－x)b2·\f(1－x,x)a2)
＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝右边，[来源:]
当且仅当eq \f(x,1－x)b2＝eq \f(1－x,x)a2，即x＝eq \f(a,a＋b)时等号成立，
所以eq \f(a2,x)＋eq \f(b2,1－x)≥(a＋b)2.
课程标准
学科素养
1.掌握基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a>0，b>0).
2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
通过对基本不等式和求最值的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
知识点1 算术平均值与几何平均值[来源:ZXXK]
1.给定两个正数a，b，数eq \f(a＋b,2)称为a，b的算术平均值；数eq \r(ab)称为a，b的几何平均值.
2.均值不等式(基本不等式)
如果a，b都是正数，那么eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立.
3.均值不等式也称为基本不等式，其实质是：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均值.
4.均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大.
[微思考]
eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≥ab是等价的吗？
提示 不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R.
知识点2 两个结论
(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
(2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.
探究一 利用均值不等式证明不等式
已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，
证明：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)≥9.
证明 eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(a＋b＋c,a)＋eq \f(a＋b＋c,b)＋eq \f(a＋b＋c,c)
＝3＋(eq \f(b,a)＋eq \f(a,b))＋(eq \f(c,a)＋eq \f(a,c))＋(eq \f(c,b)＋eq \f(b,c))≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时，等号成立.
[方法总结]
用均值不等式证明不等式的解题策略
在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式.
[跟踪训练1] 已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，
求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.
证明 (1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)
≥2eq \r(bc)·2eq \r(ac)·2eq \r(ab)＝8abc.
当且仅当b＝c＝a＝eq \f(1,3)时，等号成立.
探究二 利用均值不等式求最值
已知x＞0，y＞0，且eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，求x＋y的最小值.
解 方法一：(1的代换)因为eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，
所以x＋y＝(x＋y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝10＋eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y).
因为x＞0，y＞0，所以eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)≥2 eq \r(\f(y,x)·\f(9x,y))＝6.
当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(9x,y)，即y＝3x时，取等号.
又eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，所以x＝4，y＝12，所以x＋y≥16.
所以当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
方法二：(消元法)由eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，得x＝eq \f(y,y－9).
因为x＞0，y＞0，所以y＞9.
x＋y＝eq \f(y,y－9)＋y＝y＋eq \f(y－9＋9,y－9)＝y＋eq \f(9,y－9)＋1
＝(y－9)＋eq \f(9,y－9)＋10.
因为y＞9，所以y－9＞0，
所以y－9＋eq \f(9,y－9)≥2eq \r(y－9·\f(9,y－9))＝6.
当且仅当y－9＝eq \f(9,y－9)，即y＝12时取等号，此时，x＝4，所以当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
方法三：(配凑法)由eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1得，y＋9x＝xy，
所以(x－1)(y－9)＝9.
所以x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9)≥
10＋2eq \r(x－1y－9)＝16.
当且仅当x－1＝y－9时取等号.
又因为eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，所以x＝4，y＝12.
所以当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
[方法总结]
1.利用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即
(1)一正：符合均值不等式eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的前提条件，a＞0，b＞0；
(2)二定：化不等式的一边为定值；
(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立.
提醒：以上三点缺一不可.
2.若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分或配凑因式.
[跟踪训练2] (1)已知eq \f(2,x)＋eq \f(3,y)＝2(x＞0，y＞0)，则x·y的最小值是________；
(2)设x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，则x＋y的最小值为________.
(1)6 (2)18 [(1)方法一：因为2＝eq \f(2,x)＋eq \f(3,y)≥2 eq \r(\f(6,xy))，
所以 eq \r(\f(6,xy))≤1，所以eq \f(6,xy)≤1，所以xy≥6，
当且仅当eq \f(2,x)＝eq \f(3,y)，即x＝2，y＝3时等号.
所以xy的最小值为6.
方法二：由eq \f(2,x)＋eq \f(3,y)＝2得，3x＋2y＝2xy，
因为x＞0，y＞0，所以3x＋2y≥2eq \r(6xy)，等号在3x＝2y时成立，[来源:学§科§网]
所以2xy≥2eq \r(6xy)，所以xy≥6.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＝2y,xy＝6))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝3)).
所以xy的最小值为6.
(2)由2x＋8y－xy＝0及x＞0，y＞0，得eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)＝1.
所以x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(2,y)))
＝eq \f(8y,x)＋eq \f(2x,y)＋10≥2eq \r(\f(8y,x)·\f(2x,y))＋10＝18.
当且仅当eq \f(8y,x)＝eq \f(2x,y)，即x＝2y＝12时等号成立.
所以x＋y的最小值是18.]
探究三 利用均值不等式解实际问题
某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
解 设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨. 由题意可知，面粉的保管等其他费用为
3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1).
设平均每天所支付的总费用为y1元，
则y1＝eq \f(1,x)[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋eq \f(900,x)＋10 809≥2eq \r(9x·\f(900,x))＋10 809＝10 989(元)，
当且仅当9x＝eq \f(900,x)，即x＝10时，等号成立.
所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.
[方法总结]
求解应用题的方法与步骤
(1)审题； (2)建模(列式)； (3)解模； (4)作答. [来源:Z|xx|k.Cm]
[跟踪训练3] 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元.求：
(1)仓库面积S的最大允许值是多少；
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长.
解 设铁栅长为x m，一堵砖墙长为y m，则顶部面积为S＝xy(m2).
(1)由题意，得40x＋2×45y＋20xy＝3 200.
由均值不等式得
3 200≥2eq \r(40x·90y)＋20xy＝120eq \r(xy)＋20xy＝120eq \r(S)＋20S.
所以S＋6eq \r(S)－160≤0，即(eq \r(S)－10)(eq \r(S)＋16)≤0，
故0＜eq \r(S)≤10，从而0＜S≤100.
所以S的最大允许值是100 m2.
(2)S取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，
所以求得x＝15，即正面铁栅的长是15 m.
1.两个不等式a2＋b2≥2ab与eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解. 一方面：当a＝b时，eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)；另一方面：当eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)时，也有a＝b.
2.在利用均值不等式证明和求最值的过程中，常需要把数、式合理的拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式.
3.利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.
课时作业(十五) 均值不等式及其应用
1.不等式(x－2y)＋eq \f(1,x－2y)≥2成立的条件为( )
A.x≥2y，x－2y＝1 B.x＞2y，x－2y＝1
C.x≤2y，x－2y＝1 D.x＜2y，x－2y＝1
B [因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y＞0，即x＞2y，且等号成立时(x－2y)2＝1，即x－2y＝1.]
2.已知x＞0，若x＋eq \f(81,x)的值最小，则x为( )
A.81 B.9
C.3 D.16
B [因为x＞0，所以x＋eq \f(81,x)≥2eq \r(x·\f(81,x))＝18，当且仅当x＝eq \f(81,x)，即x＝9时等号成立.]
3.小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a
A.a
C.eq \r(ab)
A [设甲、乙两地之间的距离为s.因为a
4.某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A.5 km处 B.4 km处
C.3 km处 D.2 km处
A [设仓库建在离车站x km处，则土地费用y1＝eq \f(k1,x)(k1≠0)，运输费用y2＝k2x(k2≠0)，把x＝10，y1＝2代入得k1＝20，把x＝10，y2＝8代入得k2＝eq \f(4,5)，故总费用y＝eq \f(20,x)＋eq \f(4,5)x≥2eq \r(\f(20,x)·\f(4,5)x)＝8，当且仅当eq \f(20,x)＝eq \f(4,5)x，即x＝5时等号成立.]
5.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A.6.5 m B.6.8 m
C.7 m D.7.2 m
C [设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则eq \f(1,2)ab＝2，所以ab＝4，l＝a＋b＋eq \r(a2＋b2)≥2eq \r(ab)＋eq \r(2ab)＝4＋2eq \r(2)≈6.828(m)(当且仅当a＝b时，取等号). 因为要求够用且浪费最少，故选C.]
6.已知a＞b＞c，则 eq \r(a－bb－c)与eq \f(a－c,2)的大小关系是________________.
eq \r(a－bb－c)≤eq \f(a－c,2) [因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0.所以eq \f(a－c,2)＝eq \f(a－b＋b－c,2)≥eq \r(a－bb－c).]
7.若x>0，y>0，则2x＋eq \f(1,x)＋y＋eq \f(1,2y)的最小值是________.
3eq \r(2) [2x＋eq \f(1,x)＋y＋eq \f(1,2y)≥2eq \r(2x·\f(1,x))＋2eq \r(y·\f(1,2y))＝2eq \r(2)＋eq \r(2)＝3eq \r(2)，当且仅当x＝eq \f(\r(2),2)，y＝eq \f(\r(2),2)时等号成立.]
8.已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1.
求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))≥8.
证明 因为a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1，
所以eq \f(1,a)－1＝eq \f(1－a,a)＝eq \f(b＋c,a)≥eq \f(2\r(bc),a)，
同理eq \f(1,b)－1≥eq \f(2\r(ac),b)，eq \f(1,c)－1≥eq \f(2\r(ab),c).
由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘得
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))≥eq \f(2\r(bc),a)·eq \f(2\r(ac),b)·eq \f(2\r(ab),c)＝8.
当且仅当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时，等号成立.
9.某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部销售完，每一万件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝eq \f(4 400,x)－eq \f(40 000,x2)(10＜x＜100)，该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W(万元)，(注：利润＝销售收入－成本)
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式，并求年利润的最大值；
(2)为了让年利润W不低于2 360万元，求年产量x的取值范围.[来源:学*科*网]
解 (1)W＝xR(x)－(16x＋40)＝－eq \f(40 000,x)－16x＋4 360
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(40 000,x)＋16x))＋4 360(10＜x＜100)，
因为eq \f(40 000,x)＋16x≥2 eq \r(\f(40 000,x)·16x)＝1 600.
当且仅当x＝50时，等号成立，
所以W≤－1 600＋4 360＝2 760，即年利润的最大值为2 760万元.
(2)W＝－eq \f(40 000,x)－16x＋4 360≥2 360，
整理得x2－125x＋2 500≤0.
解得：25≤x≤100.又10＜x＜100.所以25≤x＜100.
故为了让年利润W不低于2 360万元，年产量x的范围是[25,100).
1.已知a＞0，b＞0，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋2eq \r(ab)的最小值是( )
A.2 B.2eq \r(2)
C.4 D.5
C [因为a＞0，b＞0，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋2eq \r(ab)≥2eq \r(\f(1,ab))＋2eq \r(ab)≥4eq \r(\f(1,\r(ab))·\r(ab))＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立.]
2.若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，则a＋b,2eq \r(ab)，2ab，a2＋b2中最大的一个是( )
A.a2＋b2 B.2eq \r(ab)
C.2ab D.a＋b
D [方法一：因为0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，所以a2＋b2＞2ab，a＋b＞2eq \r(ab)，a＞a2，b＞b2，所以a＋b＞a2＋b2.
方法二：取a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,3)，则a2＋b2＝eq \f(13,36)，2eq \r(ab)＝eq \f(\r(6),3)，2ab＝eq \f(1,3)，a＋b＝eq \f(5,6)，显然eq \f(5,6)最大.]
3.若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.
[9，＋∞) [因为a＞0，b＞0，所以ab＝a＋b＋3≥2eq \r(ab)＋3，即ab－2eq \r(ab)－3≥0，解得eq \r(ab)≥3，即ab≥9.]
4.森林失火，火势以每分钟100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防员前去，在失火5分钟到达现场开始救火，已知消防员在现场平均每人每分钟可灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用平均每人每分钟125元，所消耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而每烧毁1 m2的森林损失费为60元，设消防队派x名消防队员前去救火，从到达现场开始救火到把火完全扑灭用n分钟.
(1)求出x与n的关系式；
(2)求x为何值时，才能使总损失最少.
解 (1)由已知可得50nx＝100(n＋5)，
所以n＝eq \f(10,x－2)(x＞2).
(2)设总损失为y元，则
y＝6 000(n＋5)＋100x＋125nx
＝6 000eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,x－2)＋5))＋100x＋eq \f(1 250x,x－2)
＝eq \f(62 500,x－2)＋100(x－2)＋31 450≥2eq \r(6 250 000)＋31 450＝36 450，
当且仅当eq \f(62 500,x－2)＝100(x－2)，即x＝27时，y取最小值.
即需派27名消防员，才能使总损失最小，最小值为36 450元.
5.(拓广探索)若0＜x＜1，a＞0，b＞0.
求证：eq \f(a2,x)＋eq \f(b2,1－x)≥(a＋b)2.
证明 左边＝(x＋1－x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,x)＋\f(b2,1－x)))
＝a2＋b2＋eq \f(x,1－x)b2＋eq \f(1－x,x)a2
≥a2＋b2＋2eq \r(\f(x,1－x)b2·\f(1－x,x)a2)
＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝右边，[来源:]
当且仅当eq \f(x,1－x)b2＝eq \f(1－x,x)a2，即x＝eq \f(a,a＋b)时等号成立，
所以eq \f(a2,x)＋eq \f(b2,1－x)≥(a＋b)2.
课程标准
学科素养
1.掌握基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a>0，b>0).
2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
通过对基本不等式和求最值的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
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