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高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法优秀第1课时导学案及答案
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法优秀第1课时导学案及答案，共8页。
3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第一课时 函数的概念
知识点 函数的概念
1.函数定义：一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，按照对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y＝f(x)与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2.相关概念：x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为函数的定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域.
注意：对应关系也可以用其他小写英文字母如g，h等表示.
3.同一个函数：如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数.
4.一个约定：在表示函数时，如果不产生歧义，函数的定义域通常省略不写，此时约定：函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合.
[微思考]
1.任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？
提示 不一定，两个集合必须是非空的数集.
2.什么样的对应可以构成函数关系？
提示 两个非空数集之间是一一对应关系或多对一可构成函数关系.
[来源:Z|xx|k.Cm]
探究一 函数关系的判断
判断下列对应中是否是A到B的函数.
(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f为“取绝对值”；
(2)A＝Z，B＝Z，f为“取平方”；
(3)A＝{1,2,3}，B＝{a，b}，对应关系如下图所示：
(4)A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如下图所示：
解 (1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；
(3)集合B不是确定的数集，故不是A到B的函数；
(4)集合A中的元素3在B中没有对应元素，且A中元素2在B中有两个元素5和6与之对应，故不是A到B的函数.
[方法总结]
判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断
(1)A，B必须是非空实数集；
(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；
(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一. ,
[跟踪训练1] 对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有( )
①y是x的函数；②对于不同的x值，y的值也不同；③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
B [①③正确，②是错误的，对于不同的x值，y的值可以相同，这符合函数的定义，④是错误的，f(x)表示的是函数，而函数并不是都能用具体的式子表示出来.]
探究二 求函数定义域问题
求下列函数的定义域：
(1)y＝eq \f(x＋12,x＋1)－eq \r(1－x)；(2)y＝eq \f(\r(5－x),|x|－3).
解 (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≠0，,1－x≥0，))解得x≤1，且x≠－1，
即函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}.
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－x≥0，,|x|－3≠0，))解得x≤5，且x≠±3，
即函数的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}.
[方法总结]
求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；[来源:学_科_网Z_X_X_K]
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合；
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.
[跟踪训练2] (1)设全集为R，函数f(x)＝eq \r(2－x)的定义域为M，则∁RM为( )
A.(2，＋∞) B.(－∞，2)
C.(－∞，2] D.[2，＋∞)
A [由2－x≥0，解得x≤2，所以M＝(－∞， 2]，所以∁RM＝(2，＋∞).]
(2)函数f(x)＝eq \f(\r(x),x－1)的定义域为________.
{x|x≥0，且x≠1} [要使eq \f(\r(x),x－1)有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,x－1≠0，))
解得x≥0，且x≠1，
故函数f(x)的定义域为{x|x≥0，且x≠1}.]
探究三 求函数值和函数值域问题
已知f(x)＝eq \f(1,1＋x)(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值；
(3)求f(x)，g(x)的值域.
解 (1)因为f(x)＝eq \f(1,1＋x)，所以f(2)＝eq \f(1,1＋2)＝eq \f(1,3).
又因为g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6.[来源:学&科&网]
(2)f(g(2))＝f(6)＝eq \f(1,1＋6)＝eq \f(1,7).
(3)f(x)＝eq \f(1,1＋x)的定义域为{x|x≠－1}，
所以值域是(－∞，0)∪(0，＋∞).
g(x)＝x2＋2的定义域为R，最小值为2，
所以值域是[2，＋∞).
[方法总结]
求函数值域的原则及常用方法
(1)原则：①先确定相应的定义域；[来源:学#科#网]
②再根据函数的具体形式及运算确定其值域.
(2)常用方法：
①逐个求法：当定义域为有限集时，常用此法；
②观察法：如y＝x2，可观察出y≥0；
③配方法：对于求二次函数值域的问题常用此法；
④换元法：对于形如y＝ax＋b＋eq \r(cx＋d)的函数，求值域时常用换元法，令t＝eq \r(cx＋d)，将原函数转化为关于t的二次函数；
⑤分离常数法：对于形如y＝eq \f(cx＋d,ax＋b)的函数，常用分离常数法求值域；
⑥图像法：对于易作图像的函数，可用此法，如y＝eq \f(1,x－1).
[跟踪训练3] 求下列函数的值域：
(1)y＝3x－1，x∈{1,3,5,7}；
(2)y＝－x2＋2x＋1，x∈R；
(3)y＝x＋eq \r(1－2x).
解 (1)(逐个求法)将x＝1,3,5,7依次代入解析式，得y＝2,8,14,20.所以函数的值域是{2,8,14,20}.
(2)(配方法)因为y＝－x2＋2x＋1＝－(x－1)2＋2≤2，所以函数的值域是(－∞，2].
(3)(换元法或配方法)令eq \r(1－2x)＝t，则x＝eq \f(1－t2,2)，且t≥0，
所以原函数化为y＝eq \f(1－t2,2)＋t＝－eq \f(1,2)t2＋t＋eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)(t－1)2＋1≤1.
所以所求函数的值域是(－∞，1].
1.对函数概念的五点说明
(1)对数集的要求：集合A，B为非空数集.
(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性.
(3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样.
(4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值.
(5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可.
2.求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围，列不等式(组)是求函数定义域的基本方法.
3.求函数的值域常用的方法有：观察法、配方法、换元法、分离常数法、图像法等.
课时作业(十六) 函数的概念
1.设f为“取平方”是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A不可能是( )
A.{1} B.{－1}
C.{－1,1} D.{－1,0}
D [若集合A＝{－1,0}，则0∈A，但02＝0∉B.]
2.下列各个图形中，不可能是函数y＝f(x)的图像的是( )
A [垂直x轴的直线与函数y＝f(x)的图像至多有一个交点.]
3.下列各组函数表示同一个函数的是( )
A.y＝eq \f(x2－3,x－3)与y＝x＋3(x≠3)
B.y＝eq \r(x2)－1与y＝x－1
C.y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)
D.y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z
C [选项A，B及D中对应关系都不同，故都不是同一个函数.]
4.设f(x)＝eq \f(1,1－x)，则f(f(a))＝________.
eq \f(a－1,a)(a≠0，且a≠1) [f(f(a))＝eq \f(1,1－\f(1,1－a))＝eq \f(1,\f(1－a－1,1－a))＝eq \f(a－1,a).]
5.函数y＝eq \f(\r(x＋2),\r(6－2x)－1)的定义域为________.
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2， \f(5,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，3)) [要使函数解析式有意义，需满足
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2≥0，,6－2x≥0，,6－2x≠1))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥－2，,x≤3，,x≠\f(5,2)))⇒－2≤x≤3，且x≠eq \f(5,2).
所以函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2， \f(5,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，3)).]
6.已知函数f(x)＝x＋eq \f(1,x).
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值.
解 (1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，
所以f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞).
(2)f(－1)＝－1＋eq \f(1,－1)＝－2，f(2)＝2＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2).
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，
所以f(a＋1)＝a＋1＋eq \f(1,a＋1).
7.若f(x)＝ax2－eq \r(2)，且f(f(eq \r(2)))＝－eq \r(2)，求a的值.
解 因为f(eq \r(2))＝a(eq \r(2))2－eq \r(2)＝2a－eq \r(2)，所以
f(f(eq \r(2)))＝a(2a－eq \r(2))2－eq \r(2)＝－eq \r(2).于是a(2a－eq \r(2))2＝0，即2a－eq \r(2)＝0或a＝0.所以a＝eq \f(\r(2),2)或a＝0.
1.某校有一个班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量ω是该班同学某一门课程的考试成绩，则下列选项中一定正确的是( )
A.y是x的函数 B.z是y的函数
C.ω是z的函数 D.x是z的函数
B [姓名不是数集，故A，D不成立，成绩ω可能与多个身高z对应，不能构成函数. 学号集合到身高集合的对应是数集间的对应，且任一个学号都对应唯一一个身高，因此z是y的函数.]
2.下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A.y＝eq \r(x) B.y＝eq \f(100,\r(x＋2))
C.y＝eq \f(16,x) D.y＝x2＋x＋1
B [A中，y＝eq \r(x)的值域为[0，＋∞)；C中，y＝eq \f(16,x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；D中，y＝x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞))；B中，函数的值域为(0，＋∞).]
3.已知集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，则从A到B的函数f(x)有________个.
8 [抓住函数的“取元任意性，取值唯一性”，利用列表方法确定函数的个数.
由表可知，这样的函数有8个.]
4.给出定义：若m－eq \f(1,2)＜x≤m＋eq \f(1,2)(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}＝m. 在此基础上给出下列关于函数f(x)＝|x－{x}|的四个结论.
①feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \f(1,2)；②f(3.4)＝－0.4；③feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))；
④y＝f(x)的定义域为R，值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)， \f(1,2))).
则其中正确的序号是____________.
①③ [由题意得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－－1))＝eq \f(1,2)，①正确；f(3.4)＝|3.4－{3.4}|＝|3.4－3|＝0.4，②错误；feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)－\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)－0))＝eq \f(1,4)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－0))＝eq \f(1,4)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))，③正确；y＝f(x)的定义域为R，值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0， \f(1,2)))，④错误.]
5.若函数f(x)＝eq \f(\r(3,x－1),mx2＋x＋3)的定义域为R，求m的取值范围.
解 要使函数f(x)有意义，必须mx2＋x＋3≠0.
又因为函数的定义域为R，故mx2＋x＋3≠0对一切实数x恒成立.
当m＝0时，x＋3≠0，即x≠－3，与f(x)定义域为R矛盾，所以m＝0不合题意.
当m≠0时，有Δ＝12－12m<0，得m>eq \f(1,12).
综上可知m的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>\f(1,12))))).
6.(拓广探索)已知函数f(x)＝eq \f(x2,1＋x2).
(1)求f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的值；
(2)求证：f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))是定值；
(3)求f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2 017)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 017)))的值.
(1)解 因为f(x)＝eq \f(x2,1＋x2)，
所以f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(22,1＋22)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝1.
f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝eq \f(32,1＋32)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝1.
(2)证明 f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2)
＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(1,x2＋1)＝eq \f(x2＋1,x2＋1)＝1.
(3)解 由(2)知f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1，
所以f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1，
f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1，f(4)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1，…，f(2 017)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 017)))＝1.
所以f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2 017)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 017)))＝2 016.
课程标准
学科素养
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
通过对函数概念的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.
f(1)
4
4
4
4
5
5
5
5
f(2)
4
4
5
5
4
4
5
5
f(3)
4
5
4
5
4
5
4
5
3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第一课时 函数的概念
知识点 函数的概念
1.函数定义：一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，按照对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y＝f(x)与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2.相关概念：x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为函数的定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域.
注意：对应关系也可以用其他小写英文字母如g，h等表示.
3.同一个函数：如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数.
4.一个约定：在表示函数时，如果不产生歧义，函数的定义域通常省略不写，此时约定：函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合.
[微思考]
1.任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？
提示 不一定，两个集合必须是非空的数集.
2.什么样的对应可以构成函数关系？
提示 两个非空数集之间是一一对应关系或多对一可构成函数关系.
[来源:Z|xx|k.Cm]
探究一 函数关系的判断
判断下列对应中是否是A到B的函数.
(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f为“取绝对值”；
(2)A＝Z，B＝Z，f为“取平方”；
(3)A＝{1,2,3}，B＝{a，b}，对应关系如下图所示：
(4)A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如下图所示：
解 (1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；
(3)集合B不是确定的数集，故不是A到B的函数；
(4)集合A中的元素3在B中没有对应元素，且A中元素2在B中有两个元素5和6与之对应，故不是A到B的函数.
[方法总结]
判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断
(1)A，B必须是非空实数集；
(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；
(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一. ,
[跟踪训练1] 对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有( )
①y是x的函数；②对于不同的x值，y的值也不同；③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
B [①③正确，②是错误的，对于不同的x值，y的值可以相同，这符合函数的定义，④是错误的，f(x)表示的是函数，而函数并不是都能用具体的式子表示出来.]
探究二 求函数定义域问题
求下列函数的定义域：
(1)y＝eq \f(x＋12,x＋1)－eq \r(1－x)；(2)y＝eq \f(\r(5－x),|x|－3).
解 (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≠0，,1－x≥0，))解得x≤1，且x≠－1，
即函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}.
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－x≥0，,|x|－3≠0，))解得x≤5，且x≠±3，
即函数的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}.
[方法总结]
求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；[来源:学_科_网Z_X_X_K]
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合；
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.
[跟踪训练2] (1)设全集为R，函数f(x)＝eq \r(2－x)的定义域为M，则∁RM为( )
A.(2，＋∞) B.(－∞，2)
C.(－∞，2] D.[2，＋∞)
A [由2－x≥0，解得x≤2，所以M＝(－∞， 2]，所以∁RM＝(2，＋∞).]
(2)函数f(x)＝eq \f(\r(x),x－1)的定义域为________.
{x|x≥0，且x≠1} [要使eq \f(\r(x),x－1)有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,x－1≠0，))
解得x≥0，且x≠1，
故函数f(x)的定义域为{x|x≥0，且x≠1}.]
探究三 求函数值和函数值域问题
已知f(x)＝eq \f(1,1＋x)(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值；
(3)求f(x)，g(x)的值域.
解 (1)因为f(x)＝eq \f(1,1＋x)，所以f(2)＝eq \f(1,1＋2)＝eq \f(1,3).
又因为g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6.[来源:学&科&网]
(2)f(g(2))＝f(6)＝eq \f(1,1＋6)＝eq \f(1,7).
(3)f(x)＝eq \f(1,1＋x)的定义域为{x|x≠－1}，
所以值域是(－∞，0)∪(0，＋∞).
g(x)＝x2＋2的定义域为R，最小值为2，
所以值域是[2，＋∞).
[方法总结]
求函数值域的原则及常用方法
(1)原则：①先确定相应的定义域；[来源:学#科#网]
②再根据函数的具体形式及运算确定其值域.
(2)常用方法：
①逐个求法：当定义域为有限集时，常用此法；
②观察法：如y＝x2，可观察出y≥0；
③配方法：对于求二次函数值域的问题常用此法；
④换元法：对于形如y＝ax＋b＋eq \r(cx＋d)的函数，求值域时常用换元法，令t＝eq \r(cx＋d)，将原函数转化为关于t的二次函数；
⑤分离常数法：对于形如y＝eq \f(cx＋d,ax＋b)的函数，常用分离常数法求值域；
⑥图像法：对于易作图像的函数，可用此法，如y＝eq \f(1,x－1).
[跟踪训练3] 求下列函数的值域：
(1)y＝3x－1，x∈{1,3,5,7}；
(2)y＝－x2＋2x＋1，x∈R；
(3)y＝x＋eq \r(1－2x).
解 (1)(逐个求法)将x＝1,3,5,7依次代入解析式，得y＝2,8,14,20.所以函数的值域是{2,8,14,20}.
(2)(配方法)因为y＝－x2＋2x＋1＝－(x－1)2＋2≤2，所以函数的值域是(－∞，2].
(3)(换元法或配方法)令eq \r(1－2x)＝t，则x＝eq \f(1－t2,2)，且t≥0，
所以原函数化为y＝eq \f(1－t2,2)＋t＝－eq \f(1,2)t2＋t＋eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)(t－1)2＋1≤1.
所以所求函数的值域是(－∞，1].
1.对函数概念的五点说明
(1)对数集的要求：集合A，B为非空数集.
(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性.
(3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样.
(4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值.
(5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可.
2.求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围，列不等式(组)是求函数定义域的基本方法.
3.求函数的值域常用的方法有：观察法、配方法、换元法、分离常数法、图像法等.
课时作业(十六) 函数的概念
1.设f为“取平方”是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A不可能是( )
A.{1} B.{－1}
C.{－1,1} D.{－1,0}
D [若集合A＝{－1,0}，则0∈A，但02＝0∉B.]
2.下列各个图形中，不可能是函数y＝f(x)的图像的是( )
A [垂直x轴的直线与函数y＝f(x)的图像至多有一个交点.]
3.下列各组函数表示同一个函数的是( )
A.y＝eq \f(x2－3,x－3)与y＝x＋3(x≠3)
B.y＝eq \r(x2)－1与y＝x－1
C.y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)
D.y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z
C [选项A，B及D中对应关系都不同，故都不是同一个函数.]
4.设f(x)＝eq \f(1,1－x)，则f(f(a))＝________.
eq \f(a－1,a)(a≠0，且a≠1) [f(f(a))＝eq \f(1,1－\f(1,1－a))＝eq \f(1,\f(1－a－1,1－a))＝eq \f(a－1,a).]
5.函数y＝eq \f(\r(x＋2),\r(6－2x)－1)的定义域为________.
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2， \f(5,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，3)) [要使函数解析式有意义，需满足
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2≥0，,6－2x≥0，,6－2x≠1))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥－2，,x≤3，,x≠\f(5,2)))⇒－2≤x≤3，且x≠eq \f(5,2).
所以函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2， \f(5,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，3)).]
6.已知函数f(x)＝x＋eq \f(1,x).
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值.
解 (1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，
所以f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞).
(2)f(－1)＝－1＋eq \f(1,－1)＝－2，f(2)＝2＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2).
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，
所以f(a＋1)＝a＋1＋eq \f(1,a＋1).
7.若f(x)＝ax2－eq \r(2)，且f(f(eq \r(2)))＝－eq \r(2)，求a的值.
解 因为f(eq \r(2))＝a(eq \r(2))2－eq \r(2)＝2a－eq \r(2)，所以
f(f(eq \r(2)))＝a(2a－eq \r(2))2－eq \r(2)＝－eq \r(2).于是a(2a－eq \r(2))2＝0，即2a－eq \r(2)＝0或a＝0.所以a＝eq \f(\r(2),2)或a＝0.
1.某校有一个班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量ω是该班同学某一门课程的考试成绩，则下列选项中一定正确的是( )
A.y是x的函数 B.z是y的函数
C.ω是z的函数 D.x是z的函数
B [姓名不是数集，故A，D不成立，成绩ω可能与多个身高z对应，不能构成函数. 学号集合到身高集合的对应是数集间的对应，且任一个学号都对应唯一一个身高，因此z是y的函数.]
2.下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A.y＝eq \r(x) B.y＝eq \f(100,\r(x＋2))
C.y＝eq \f(16,x) D.y＝x2＋x＋1
B [A中，y＝eq \r(x)的值域为[0，＋∞)；C中，y＝eq \f(16,x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；D中，y＝x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞))；B中，函数的值域为(0，＋∞).]
3.已知集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，则从A到B的函数f(x)有________个.
8 [抓住函数的“取元任意性，取值唯一性”，利用列表方法确定函数的个数.
由表可知，这样的函数有8个.]
4.给出定义：若m－eq \f(1,2)＜x≤m＋eq \f(1,2)(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}＝m. 在此基础上给出下列关于函数f(x)＝|x－{x}|的四个结论.
①feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \f(1,2)；②f(3.4)＝－0.4；③feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))；
④y＝f(x)的定义域为R，值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)， \f(1,2))).
则其中正确的序号是____________.
①③ [由题意得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－－1))＝eq \f(1,2)，①正确；f(3.4)＝|3.4－{3.4}|＝|3.4－3|＝0.4，②错误；feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)－\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)－0))＝eq \f(1,4)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－0))＝eq \f(1,4)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))，③正确；y＝f(x)的定义域为R，值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0， \f(1,2)))，④错误.]
5.若函数f(x)＝eq \f(\r(3,x－1),mx2＋x＋3)的定义域为R，求m的取值范围.
解 要使函数f(x)有意义，必须mx2＋x＋3≠0.
又因为函数的定义域为R，故mx2＋x＋3≠0对一切实数x恒成立.
当m＝0时，x＋3≠0，即x≠－3，与f(x)定义域为R矛盾，所以m＝0不合题意.
当m≠0时，有Δ＝12－12m<0，得m>eq \f(1,12).
综上可知m的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>\f(1,12))))).
6.(拓广探索)已知函数f(x)＝eq \f(x2,1＋x2).
(1)求f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的值；
(2)求证：f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))是定值；
(3)求f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2 017)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 017)))的值.
(1)解 因为f(x)＝eq \f(x2,1＋x2)，
所以f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(22,1＋22)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝1.
f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝eq \f(32,1＋32)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝1.
(2)证明 f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2)
＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(1,x2＋1)＝eq \f(x2＋1,x2＋1)＝1.
(3)解 由(2)知f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1，
所以f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1，
f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1，f(4)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1，…，f(2 017)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 017)))＝1.
所以f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2 017)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 017)))＝2 016.
课程标准
学科素养
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
通过对函数概念的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.
f(1)
4
4
4
4
5
5
5
5
f(2)
4
4
5
5
4
4
5
5
f(3)
4
5
4
5
4
5
4
5
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