人教B版 (2019)必修 第一册3.2 函数与方程、不等式之间的关系优质第2课时2课时教学设计及反思

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1．函数零点的存在性定理


如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且 f(a)f(b)＜0 (即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间[a，b]中至少有一个零点，即∃x0∈[a，b]，f(x0)＝0.


2．二分法的定义


(1)二分法的条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断且 f(a)f(b)＜0.


(2)二分法的过程：通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法，称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，也可以用二分法求方程的近似解．


3．用二分法求函数零点近似值的步骤


给定精确度ε，用二分法求函数f(x)在[a，b]上的零点近似值的步骤是：


第一步 检查|b－a|＜2ε是否成立，如果成立，取x1＝eq \f(a＋b,2)，计算结束；如果不成立，转到第二步．


第二步 计算区间[a，b]的中点eq \f(a＋b,2)对应的函数值，若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))＝0，取x1＝eq \f(a＋b,2)，计算结束；若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))≠0，转到第三步．


第三步 若f(a)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))＜0，将eq \f(a＋b,2)的值赋给beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(用\f(a＋b,2)→b表示，下同))，回到第一步；若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))f(b)＜0，将eq \f(a＋b,2)的值赋给a，回到第一步．





1．下列函数不宜用二分法求零点的是( )


A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝ln x＋3


C．f(x)＝x2＋2eq \r(2)x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1


C [因为f(x)＝x2＋2eq \r(2)x＋2＝(x＋eq \r(2))2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．]


2．若函数f(x)在区间[a，b]上为单调函数，且图像是连续不断的曲线，则下列说法中正确的是( )


A．函数f(x)在区间[a，b]上不可能有零点


B．函数f(x)在区间[a，b]上一定有零点


C．若函数f(x)在区间[a，b]上有零点，则必有f(a)·f(b)＜0


D．若函数f(x)在区间[a，b]上没有零点，则必有f(a)·f(b)＞0


D [函数f(x)在区间[a，b]上为单调函数，如果f(a)·f(b)＜0，可知函数在(a，b)上有一个零点，


如果f(a)·f(b)＞0，可知函数在[a，b]上没有零点，


所以函数f(x)在区间[a，b]上可能没有零点，也可能有零点，所以A不正确；


函数f(x)在区间[a，b]上可能有零点，也可能没有零点；所以B不正确；


若函数f(x)在区间[a，b]上有零点，则可能f(a)·f(b)＜0，也可能f(a)·f(b)＝0所以C不正确；


若函数f(x)在区间[a，b]上没有零点，则必有f(a)·f(b)＞0，正确；故选D.]


3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )


A．ε越大，零点的精确度越高


B．ε越大，零点的精确度越低


C．重复计算次数就是ε


D．重复计算次数与ε无关


B [依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]


4．若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是________．


①函数f(x)在区间(0,1)内有零点；


②函数f(x)在区间(1,2)内有零点；


③函数f(x)在区间(0,2)内有零点；


④函数f(x)在区间(0,4)内有零点．


④ [∵f(0)>0，而由f(1)·f(2)·f(4)<0，知f(1)，f(2)，f(4)中至少有一个小于0.∴(0,4)上有零点．]





【例1】 求证：方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．


[证明] 设f(x)＝x4－4x－2，其图像是连续曲线．


因为f(－1)＝3＞0，f(0)＝－2＜0，f(2)＝6＞0，


所以方程在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．


从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．





一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．








1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )


A．若f(a)f(b)＞0，则不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0


B．若f(a)f(b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0


C．若f(a)f(b)＞0，则有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0


D．若f(a)f(b)＜0，则有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0


C [对于A选项，可能存在，如y＝x2；对于B选项，必存在但不一定唯一，选项D一定存在．]





【例2】 下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )





B [利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点．由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．]





二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是：函数零点的存在性.对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图像是连续的即可.








2．如图是函数f(x)的图像，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f(x)的零点近似值的是( )





A．(－2.1，－1) B．(1.9,2.3)


C．(4.1,5) D．(5,6.1)


B [只有B中的区间所含零点是不变号零点．]





【例3】 求函数f(x)＝x2－5的负零点．(精确度为0.1)


[解] 由于f(－2)＝－1<0，f(－3)＝4>0，


故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，


用二分法逐次计算，列表如下：


由于|－2.25－(－2.187 5)|＝0.062 5<0.1，


所以函数的一个近似负零点可取－2.25.





利用二分法求函数零点应关注三点


1要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小.


2用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间.


3根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算.








3．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一零点，并求出这个零点(精确度为0.1)．


[解] 由于f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又函数f(x)在[1,2]内是增函数，所以函数在区间[1,2]内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈[1,2]．下面用二分法求解．


因为|1.187 5－1.25|＝0.062 5<0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25.





【例4】 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度为0.1)．


[解] 令f(x)＝2x3＋3x－3，


经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，


所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，


即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．


取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，


所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．


如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：


由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．





用二分法求方程的近似解应明确两点


(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．


(2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．








4.求方程x2＝2x＋1的一个近似解．(精确度0.1)


[解] 设f(x)＝x2－2x－1.


∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0.


∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.


取2与3的平均数2.5，


∵f(2.5)＝0.25>0，∴2

再取2与2.5的平均数2.25，


∵f(2.25)＝－0.437 5<0，


∴2.25

如此继续下去，有


f(2.375)<0，f(2.5)>0⇒x0∈(2.375,2.5)；


f(2.375)<0，f(2.437 5)>0⇒x0∈(2.375,2.437 5)．


∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，


∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375.





1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．


2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：


(1)在区间[a，b]上连续不断；


(2)f(a)·f(b)<0，


上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值.





1．函数y＝－x2＋8x－16在区间[3,5]上( )


A．没有零点 B．有一个零点


C．有两个零点 D．有无数个零点


B [令－x2＋8x－16＝0，得x＝4，故函数y＝－x2＋8x－16在[3,5]上有一个零点．]


2.用二分法求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正零点的近似值(精确到0.1)时，依次计算得到如下数据：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，关于下一步的说法正确的是( )


A．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值


B．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似


C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.437 5)


D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.312 5)


C [由由二分法知，方程x3＋x2－2x－2＝0的根在区间(1.375,1.5)，没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.437 5)．故选C.]


3．函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )





[答案] B


4.用二分法求函数零点，函数的零点总位于区间[an，bn]上，


当|an－bn|＜ε时，函数的近似零点eq \f(an＋bn,2)与真正零点的误差不超过


A．ε B.eq \f(1,2)ε


C．2ε D.eq \f(1,4)ε


B [根据用“二分法”求函数近似零点的步骤知，当|an－bn|＜ε时，区间[an，bn]的中点xn＝eq \f(1,2)(an＋bn)就是函数的近似零点，这时计算终止，从而函数的近似零点与真正零点的误差不超过eq \f(1,2)ε.故选B.]





学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握函数零点的存在性定理，并会判断函数零点的个数. (重点)


2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法是求函数零点近似解的步骤．(难点)


3．理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题．(重点、难点)
1.通过存在性定理的学习，培养逻辑推理的素养．


2．通过二分法的学习，提升数据分析，数学建模的学科素养．


3．理解函数与方程之间的联系，提升数学抽象的学科素养.
判断函数零点所在的区间
对二分法概念的理解
用二分法求函数零点
区间
中点的值
中点函数近似值
(－3，－2)
－2.5
1.25
(－2.5，－2)
－2.25
0.062 5
(－2.25，－2)
－2.125
－0.484 4
(－2.25，－2.125)
－2.187 5
－0.214 8
(－2.25，－2.187 5)
－2.218 75
－0.077 1
(a，b)
(a，b)


的中点
f(a)
f(b)
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))
(1,2)
1.5
f(1)<0
f(2)>0
f(1.5)>0
(1,1.5)
1.25
f(1)<0
f(1.5)>0
f(1.25)>0
(1,1.25)
1.125
f(1)<0
f(1.25)>0
f(1.125)<0
(1.125,1.25)
1.187 5
f(1.125)<0
f(1.25)>0
f(1.187 5)<0
用二分法求方程的近似解
(a，b)
中点c
f(a)
f(b)
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))
(0,1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625)<0
(0.625,0.75)
0.687 5
f(0.625)<0
f(0.75)>0
f(0.687 5)<0
(0.687 5,0.75)
|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1