数学必修 第一册第三章 函数3.2 函数与方程、不等式之间的关系一课一练

章末综合测评(二)　等式与不等式

(满分：150分　时间：120分钟)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设a＞1＞b＞－1，b≠0，则下列不等式中恒成立的是(　　)

A．＜ B．＞

C．a＞b2 D．a2＞2b

C　[取a＝2，b＝－，满足a＞1＞b＞－1，但＞，故A错；取a＝2，b＝，满足a＞1＞b＞－1，但＜，故B错；取a＝，b＝，满足a＞1＞b＞－1，但a2＜2b，故D错，只有C正确．]

2.已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于(　　)

A．－3 B．1

C．－1 D．3

A　[由题意：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}．

A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知：

a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.]

3．若不等式4x2＋(m－1)x＋1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)

A．m＞5或m＜－3 B．m≥5或m≤－3

C．－3≤m≤5 D．－3＜m＜5

D　[依题意有Δ＝(m－1)2－16＜0，所以m2－2m－15＜0，解得－3＜m＜5.]

4．已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足＋＝3，则k的值是(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

B　[∵x2－6x＋k＝0的两根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝6，x1x2＝k，∴＋＝＝＝3，解得k＝2.

经检验，k＝2满足题意．]

5．某种产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是(　　)

A．200台 B．150台

C．100台 D．50台

B　[要使生产者不亏本，则应满足25x≥3 000＋20x－0.1x2，整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)，故最低产量是150台．]

6．若a＞0，b＞0，则“a＋b≤8”是“ab≤16”的(　　)

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

B　[依题意，对于正数a，b，当a＋b≤8时，ab≤≤16，故充分性成立，若ab≤16无法推出a＋b≤8，如当a＝1，b＝16时，ab＝16而a＋b＝17＞8，故必要性不成立．所以“a＋b≤8”是“ab≤16”的充分不必要条件．]

7．已知正实数a，b满足4a＋b＝30，使得＋取最小值时，实数对(a，b)是(　　)

A．(5,10) B．(6,6)

C．(10,5) D．(7,2)

A　[因为a＞0，b＞0，

所以＋＝(4a＋b)

＝≥(5＋2)＝，当且仅当时取等号，即a＝5，b＝10.]

8．已知x＞0，y＞0，且＋＝1，若x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，－2]∪[4，＋∞) 

B．(－∞，－4)∪[2，＋∞)

C．(－2,4) 

D．(－4,2)

D　[∵＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋4＝8，当且仅当＝时，等号成立．∵x＋2y＞m2＋2m恒成立，

∴m2＋2m＜8，解得－4＜m＜2，故选D．]

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)

9．已知(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解集是R，则实数a的值可以是(　　)

A．－1 B．0

C．1 D．2

BC　[a＝1显然满足题意，若该不等式为一元二次不等式，则必有a2＜1，

由Δ＝(a－1)2＋4(a2－1)＜0，解得－＜a＜1．

综上可知，－＜a≤1．故选BC．]

10．在数轴上，A(x)，B(3)，且AB＝，则(　　)

A．x＝或－

B．x＝－或

C．AB的中点C或

D．AB的中点C或

AC　[由题意AB＝|x－3|＝，

所以x－3＝±，x＝或－，所以AB中点对应的数为＝或＝.]

11．不等式|x|·(1－2x)＞0的解集是(　　)

A．　　　 B．(－∞，0)∪

C． D．

BD　[原不等式等价于解得x＜且x≠0，即x∈(－∞，0)∪.]

12．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是(　　)

A．a2＋b2＋c2≥1 B．a＋b＋c≤

C．＋＋≤2 D．(a＋b＋c)2≥3

AD　[由均值不等式知a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，于是a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝1，故A对；而(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)＝3，故D项正确，B项错误；令a＝b＝c＝，则ab＋bc＋ca＝1，但＋＋＝3＞2，故C项不正确．]

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

13．若{(x，y)|(2,1)}是关于x，y的方程组的解集，则(a＋b)(a－b)＝________.

－15　[∵{(x，y)|(2,1)}是关于x，y的方程组

的解集，∴解得

∴(a＋b)(a－b)＝(－1＋4)×(－1－4)＝－15.]

14．已知一次函数y＝－x＋1的图像分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值是________，取得最值时a的值为________．(本题第一空2分，第二空3分)

　1　[因为A(2,0)，B(0,1)，

所以0≤b≤1，由题意得a＝2－2b，

ab＝(2－2b)b＝2(1－b)·b≤2·＝.

当且仅当1－b＝b，即b＝时等号成立，此时a＝1，

因此当b＝，a＝1时，ab的最大值为.]

15．若关于x的不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．

(－1,3)　[依题意有要使不等式组的解集不是空集，应有a2＋1＜4＋2a，即a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3.]

16．方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是________．

(－5，－4]　[Δ＝(m－2)2－4(5－m)≥0，

即m≤－4或m≥4，

设两根分别为x1，x2，则

由题意

即

∴

∴－5＜m＜－2.

又∵m≤－4，∴－5＜m≤－4.]

四、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)求下列不等式的解集．

(1)－4＜－x2－x－；

(2)(x＋3)2≥(1－2x)2.

[解]　(1)原不等式可化为x2＋x＋＜4，

化简，得x2＋2x－5＜0.

因为x2＋2x－5＝x2＋2x＋1－1－5＝(x＋1)2－6，

所以原不等式等价于(x＋1)2＜6，

开平方，得|x＋1|＜，

解得－－1＜x＜－1．

所以原不等式的解集为{x|－－1＜x＜－1}．

(2)移项，得(x＋3)2－(1－2x)2≥0，

因式分解，得(3x＋2)(x－4)≤0，

解得－≤x≤4，

所以原不等式的解集为.

18．(本小题满分12分)当p，q都为正数且p＋q＝1时，试比较代数式(px＋qy)2与px2＋qy2的大小．

[解]　(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy.

因为p＋q＝1，所以p－1＝－q，q－1＝－p，

所以(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝－pq(x2＋y2－2xy)＝－pq(x－y)2.

因为p，q都为正数，所以－pq(x－y)2≤0，

因此(px＋qy)2≤px2＋qy2，当且仅当x＝y时等号成立．

19．(本小题满分12分)已知ax2＋2ax＋1≥0恒成立．

(1)求a的取值范围；

(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.

[解]　(1)因为ax2＋2ax＋1≥0恒成立．

①当a＝0时，1≥0恒成立；

②当a≠0时，则

解得0<a≤1．

综上，a的取值范围为0≤a≤1．

(2)由x2－x－a2＋a<0得，(x－a)[x－(1－a)]<0.

因为0≤a≤1，

所以①当1－a>a，即0≤a<时，a<x<1－a；

②当1－a＝a，即a＝时，<0，不等式无解；

③当1－a<a，即<a≤1时，1－a<x<a.

综上所述，当0≤a<时，原不等式的解集为{x|a＜x＜1－a}；

当a＝时，原不等式的解集为∅；

当<a≤1时，原不等式的解集为{x|1－a＜x＜a}．

20．(本小题满分12分)已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．

(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；

(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．

[解]　(1)Δ＝4a2－4a(a－6)＝24a，

∵一元二次方程有两个实数根，∴Δ≥0，即a≥0.

又∵a－6≠0，∴a≠6，∴a≥0且a≠6.

由题可知x1＋x2＝，x1x2＝.

∵－x1＋x1x2＝4＋x2，即x1x2＝4＋x1＋x2，

∴＝4＋，解得a＝24.经检验，符合题意．

∴存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立，a的值为24.

(2)(x1＋1)(x2＋1)＝x1＋x2＋x1x2＋1＝＋＋1＝.∵为负整数，∴a－6＝6或a－6＝3或a－6＝2或a－6＝1．∴整数a的值应取7,8,9,12.

21．(本小题满分12分)已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实根，命题p是真命题．

(1)求实数m的取值集合M；

(2)设关于x的不等式(x－a)(x－a－2)<0的解集为N，若x∈N是x∈M的充分条件，求实数a的取值范围．

[解]　(1)∵命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝m2－4＞0，解得m＞2或m＜－2.

∴M＝{m|m＞2或m＜－2}．

(2)∵x∈N是x∈M的充分条件，

∴N⊆M，N＝{x|a＜x＜a＋2}，∴a＋2≤－2或a≥2，

∴a≤－4或a≥2.

22．(本小题满分12分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝(v>0)．

(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)

(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？

[解]　(1)y＝＝≤

＝≈11.08.

当v＝，即v＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时．

(2)据题意有：≥10，

化简得v2－89v＋1 600≤0，

即(v－25)(v－64)≤0，所以25≤v≤64.

所以汽车的平均速度应控制在25≤v≤64这个范围内．