初中数学30.2 三角形的内切圆优秀练习题

这是一份初中数学30.2 三角形的内切圆优秀练习题试卷主要包含了三角形内切圆的定义，三角形的内心，三角形的面积与内切圆半径的关系，三角形的外心与内心的区别，圆的外切四边形等内容，欢迎下载使用。

知识点01
三角形的内切圆与内心
1.三角形内切圆的定义
如图：与三角形各边都 相切 的圆叫三角形的 内切圆 。这个三角形叫作圆的外切三角形。
2.三角形的内心
三角形的 内切圆 的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三个内角 角平分线 的交点，到三角形三边的距离 相等 。
注意：任意三角形有且只有一个内切圆，圆有无数个外切三角形。
3.直角三角形内切圆半径与直角三角形的边的关系
若a、b是直角三角形的直角边，c是直角三角形的斜边，则这个直角三角形的内切圆半径为 a+b−c2或aba+b+c 。
4.三角形的面积与内切圆半径的关系
若三角形的三边长分别是a、b、c，内切圆半径为r，则此三角形的面积可表示为： r2a+b+c 。
5.三角形的外心与内心的区别
6.圆的外切四边形
各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等。如图，AB+DC=AD+BC。
【即学即练】
1．已知⊙O为△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条中线的交点B．三条高的交点
C．三边垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点
【答案】D
【详解】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴点O是△ABC的内心，即三条角平分线的交点．
2．如图，在△ABC中，∠BIC=130°，I是△ABC的内心，连接BI、CI，则∠A的度数是（ ）
A．60°B．70°C．80°D．100°
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理， 求出∠IBC+∠ICB，得出∠ABC+∠ACB，最后根据三角形内角和定理求出即可．熟练掌握三角形内角和定理的运用是解题的关键．
【详解】解：∵I为△ABC的内心，
∴∠ABI=∠IBC=12∠ABC，∠ACI=∠ICB=12∠ACB，
∵∠BIC=130°，
∴∠IBC+∠BCI=180°−130°=50°，
∴ 12∠ABC+∠ACB=50°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠A=180°−∠ABC+∠ACB=80°．
故选：C．
3．如图，在△ABC中，∠A=60°，点I是△ABC的内心，连接BI,CI，则∠BIC的度数是（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形内心的定义，先由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由内心的定义得到BI，CI分别平分∠ABC,∠ACB，根据角平分线的定义求出∠IBC+∠ICB的度数即可得到答案．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=120°，
∵点I是△ABC的内心，
∴BI,CI分别平分∠ABC,∠ACB，
∴∠IBC=12∠ABC,∠ICB=12∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=12∠ABC+12∠ACB=12∠ABC+∠ACB=60°，
∴∠BIC=180°−∠IBC+∠ICB=120°，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4，AC=3，则它的内切圆⊙O的半径是（ ）
A．1B．2C．2.5D．5
【答案】A
【分析】根据⊙O是△ABC的内切圆添加辅助线，然后，运用勾股定理及圆的切线长定理，再根据AF+BF=AB，设半径为r，得到3−r+4−r=5解方程即可 ．
【详解】解：如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D，E，F，连接OD，OE，OF， 则OE⊥AC，OF⊥AB，OD⊥BC，
∴四边形OECD是矩形．
设半径为r，则CD=CE=r，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=BC2+AC2=5，
∴AF=AE=3−r，BD=BF=4−r，
∴3−r+4−r=5，
∴r=1，
∴△ABC的内切圆的半径为1．
5．如图，在△ABC中，AB=12，AC=6，⊙O为△ABC的内切圆，且半径为7，若△ABC的面积为147，则BC的长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【分析】本题考查了切线的性质，过O分别作OD⊥AB、OE⊥AC、OF⊥BC，分别交AB、AC、BC于D、E、F，连接OA、OB、OC，由切线的性质得OD=OE=OF=7，由三角形的面积求解即可．
【详解】解：过O分别作OD⊥AB、OE⊥AC、OF⊥BC，分别交AB、AC、BC于D、E、F，连接OA、OB、OC，
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，且半径为7，
∴ OD=OE=OF=7，
∴12AB⋅OD+12AC⋅OF+12OF⋅BC=147，
∴12×12×7+12×6×7+12×7BC=147，
解得BC=10，
故选：D．
6．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆．若∠AOB=70°，则∠COD=（ ）
A．110°B．125°C．140°D．145°
【答案】A
【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案；
【详解】解：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，
∴∠OAB=∠OAD，∠ODA=∠ODC，∠OCD=∠OCB，∠OBC=∠OBA ，
∵∠OAB+∠OAD+∠ODA+∠ODC+∠OCD+∠OCB+∠OBC+∠OBA=360°，
∴∠OAB+∠OBA+∠ODC+∠OCD=∠OAD+∠ODA+∠OCB+∠OBC=180°，
∵∠AOB=70°，∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°，
∴∠COD=180°−70°=110°，
故选：A；
7．如图，在四边形ABCD中，边AD,CD,BC,AB均与⊙O相切，且AB=10,CD=12，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．44B．42C．46D．47
【答案】A
【分析】根据圆的切线的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AD+BC＝AB+CD＝22，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的切线，四边形的周长问题，掌握圆的切线的性质是解题的关键．
8．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB、IA．若∠CAI=40°，则∠OBC的度数为___________．
【答案】10°/10度
【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、三角形内角和定理；
连接OC，由点I是△ABC的内心可得AI平分∠BAC，根据角平分线的定义可得∠BAC=2∠CAI=80°，根据圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC=160°，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，连接OC，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∵∠CAI=40°，
∴∠BAC=2∠CAI=2×40°=80°，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC=2∠BAC=2×80°=160°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=12×180°−∠BOC=12×180°−160°=10°，
故答案为：10°．
题型01 三角形内心的角度计算与应用
【典例1】在△ABC中，∠ABC=46°，∠ACB=84°．⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则∠BOC的度数为（ ）
A．105°B．110°C．115°D．125°
【答案】C
【分析】本题考查了内切圆的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据内切圆的定义得OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，则∠OBC=12∠ABC=23°，∠OCB=12∠ACB=42°，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，
∵∠ABC=46°，∠ACB=84°，
∴∠OBC=12∠ABC=23°，∠OCB=12∠ACB=42°，
∴∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB=115°．故选：C．
（1）考查方向：利用三角形内角和与角平分线定义，结合内心性质进行度数计算。
（2）核心方法：根据角平分线的交点确定内心，运用三角形内角和定理或对应的角度公式直接求解相关的角度。

【变式1】如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是（ ）
A．43B．23C．2D．4
【答案】B
【分析】过点B作BH⊥CD于点H．由点D为△ABC的内心，∠A=60°，得∠BDC=120°，则∠BDH=60°，由BD=4，BD：CD=2：1得BH=23，CD=2，于是求出△DBC的面积．
【详解】解：过点B作BH⊥CD于点H．
∵点D为△ABC的内心，∠A=60°，
∴∠BDC=90°+12∠A=90°+12×60°=120°，
则∠BDH=60°，
∵BD=4，BD：CD=2：1
∴DH=2，BH=23，CD=2，
∴△DBC的面积为12CD•BH=12×2×23=23.
故选B.
【点睛】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
【变式2】如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠A=54°，则∠BOC=_____°．
【答案】117
【分析】本题考查三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，此题难度不大．
根据⊙O是△ABC的内切圆，得出∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，进而得出∠ABC+∠ACB=126°，即可得出答案．
【详解】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∵∠A=54°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=126°，
∴∠BOC=180°−∠OBC+∠OCB=180°−12∠ABC+∠ACB
=180°−12×126°=117°
故答案为：117．
【中考链接】如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A=α，则BF+CE−BC的值和∠FDE的大小分别为（ ）
A．2r，90°−αB．0，90°−αC．2r，90°−α2D．0，90°−α2
【答案】D
【分析】如图，连接IF，IE．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可．
【详解】解：如图，连接IF，IE．
∵△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴BF=BD，CD=CE，IF⊥AB，IE⊥AC，
∴BF+CE−BC=BD+CD−BC=BC−BC=0，∠AFI=∠AEI=90°，
∴∠EIF=180°−α，
∴∠EDF=12∠EIF=90°−12α．
故选：D．
题型02 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
【典例1】在△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】设△ABC的三边分别与⊙O相切于点D、E、F，连接OD，OE，OF，OA，OB，OC，然后利用等面积法进行计算即可解答．
【详解】解：∵∠C=90°，AB=10，且AC=6，
∴BC=102−62=8，
设△ABC的三边分别与⊙O相切于点D、E、F，连接OD，OE，OF，OA，OB，OC，
∴OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
设⊙O的半径为r，
∴OD=OE=OF=r，
∵△ABC的面积=△BOC的面积+△AOB的面积+△AOC的面积，
∴12AC·BC=12BC·OD+12AB·OE+12AC·OF，
∴6×8=6r+8r+10r，
∴r=2．
（1）考查方向：考查直角三角形的直角边、斜边与内切圆半径的代数关系，及勾股定理与切线长的综合应用。
（2）核心方法：运用直角三角形内切圆半径公式r=a+b−c2，或利用面积法（分割法）列方程求解半径。

【变式1】如图，△ABC的内切圆⊙O与边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．已知AB=3，BC=4，CA=5，则BD的长为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、三角形的内切圆、正方形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
如图：连接OF、OD、OE、AO、BO、CO，则OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB，由勾股定理逆定理可得∠ABC=90°，易证四边形ODBF是正方形，即BD=OD；再根据三角形内切圆的性质可得OF=OD=DE，然后根据等面积法求解即可．
【详解】解：如图：连接OF、OD、OE、AO、BO、CO，则OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB，
∵AB=3，BC=4，CA=5，
∴AB2=9，BC2=16，CA2=25，
∴AB2+BC2=CA2，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ODBF是正方形，
∴BD=OD，
∵△ABC的内切圆⊙O与边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．
∴OF=OD=DE，
∵S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，
∴12AB⋅BC=12AB⋅OF+12AC⋅OE+12BC⋅OD=12AB⋅OD+12AC⋅OD+12BC⋅OD，
∴12×3×4=12×3OD+12×5OD+12×4OD，解得：OD=1，
∴BD=1．
故选A．
【中考链接】若一个直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程x2−6x+2=0的两个实数根，则该直角三角形的内切圆半径的长为（ ）
A．3−22B．32−2C．6−42D．2−22
【答案】A
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两直角边的和与积，再利用勾股定理求出斜边长，最后代入直角三角形内切圆半径公式计算即可得到结果.
【详解】设该直角三角形的两直角边长为a、b，斜边长为c，
∵a，b是一元二次方程x2−6x+2=0的两个实数根，
∴a+b=6，ab=2，由勾股定理得：
c=a2+b2=(a+b)2−2ab=62−2×2=32=42，
∵三角形的面积S=12ab=12ar+12br+12cr，
∴直角三角形的内切圆半径公式为r=aba+b+c，代入得：r=26+42=3−22．
题型03 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
【典例1】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且CD=2，AB=7，则△ABC的周长为（ ）
A．18B．16C．14D．12
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到CE=CD=2，AE=AF，BF=BD，根据AB=7，于是得到△ABC的周长．
【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴CE=CD=2，AE=AF，BF=BD，
∵AF+BF=AB=7，
∴AE+BD=AB=7，
∴△ABC的周长=2+2+7+7=18，
故选：A．
（1）考查方向：考查任意三角形面积、周长与内切圆半径之间的数量关系，以及切线长定理在求边或周长中的运用。
（2）核心方法：运用等面积法公式S=r2(a+b+c)，由已知的两项求解第三项，或用切线长相等列方程解边长。
【变式1】已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为πr2，则△ABC的面积为（ ）
A．12rlB．12πrlC．rlD．πrl
【答案】A
【分析】由题意可得S△AOB=12AB×OE=12AB×r，S△BOC=12BC×r，S△AOC=12AC×r，由面积关系可求解．
【详解】解：如图，设内切圆O与△ABC相切于点D，点E，点F，连接OA，OB，OC，OE，OF，OD，
∵AB切⊙O于E，
∴OE⊥AB，OE=r，
∴S△AOB=12AB×OE=12AB×r，
同理：S△BOC=12BC×r，
S△AOC=12AC×r，
∴S=S△AOB+S△BOC+S△AOC=12AB×r+12BC×r+12AC×r=12(AB+BC+AC)×r，
∵l=AB+BC+AC，
∴S=12lr，
故选A
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，掌握内切圆的性质是解题的关键．
【变式2】如图，在△ABC中，AB=14,AC=9,⊙O为△ABC的内切圆，且半径为6，若△ABC的面积为186，则BC的长为（ ）
A．10B．82C．92D．13
【答案】D
【分析】本题考查了切线的性质，过O分别作OD⊥AB、OE⊥AC、OF⊥BC，分别交AB、AC、BC于D、E、F，连接OA、OB、OC，由切线的性质得OD=OE=OF=6，由S△ABC=12AB⋅OD+12AC⋅OF+12OF⋅BC=186求解即可．
【详解】解：过O分别作OD⊥AB、OE⊥AC、OF⊥BC，分别交AB、AC、BC于D、E、F，连接OA、OB、OC，
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，且半径为6，
∴ OD=OE=OF=6，
∵△ABC的面积为186，
∴S△ABC=12AB⋅OD+12AC⋅OF+12OF⋅BC=186，
∴12×146+12×96+12×6BC=186，
解得BC=13，
故选：D．
【中考链接】我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设a，b，c为三角形三边，S为面积，则S=14a2b2−a2+b2−c222①，这是中国古代数学的瑰宝之一．而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设p=a+b+c2（周长的一半），则S＝pp−ap−bp−c②
（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；
（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①⇒②或者②⇒①）；
（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，△ABC的内切圆半径为r，三角形三边长为a，b，c，仍记p=a+b+c2，S为三角形面积，则S＝pr．
【答案】（1）S＝103；
（2）公式①和②等价；推导过程如下：
∵p=a+b+c2，
∴2p＝a+b+c，
①中根号内的式子可化为：
14(ab+a2+b2−c22)(ab−a2+b2−c22)
=116(2ab+a2+b2−c2)(2ab−a2−b2+c2)
=116[(a+b)2−c2][c2−(a−b)2]
=116（a+b+c）（a+b−c）(c+a−b)（c−a+b）
=116×2p×（2p﹣2c）(2p﹣2b)（2p﹣2a）
＝p（p−a）(p−b)（p−c），
∴14[a2b2−(a2+b2−c22)2]=p(p−a)(p−b)(p−c)；
（3）证明：连接OA、OB、OC，如图所示：
S＝S△AOB+S△AOC+S△BOC＝12rc+12rb+12ra＝(a+b+c2)r＝pr．
【分析】（1）分别将5,7,8代入两个公式计算验证即可；
（2）求出2p＝a+b+c，把①中根号内的式子可化为：14(ab+a2+b2−c22)(ab−a2+b2−c22)＝116
（a+b+c）(a+b−c)（c+a−b）(c−a+b)＝ p(p−a)（p−b）(p−c)，即可得出结论；
（3）连接OA、OB、OC，S＝S△AOB+S△AOC+S△BOC，由三角形面积公式即可得出结论．
【详解】解：（1）由①得：S=14[52×72−(52+72−822)2]=103，
由②得：p＝5+7+82＝10，
S＝10×(10−5)×(10−7)×(10−8)＝103；
（2）略
（3）略
【点睛】本题考查三角形的内切圆、数学常识以及三角形面积公式；熟练掌握三角形面积的计算方法是解题的关键．
题型04 圆外切四边形模型
【典例1】如图，⊙O内切于四边形ABCD，且AB=8，CD=5，则四边形ABCD的周长_______．
【答案】26
【详解】解：如图所示，AB与⊙O相切于点E，BC与⊙O相切于点F，CD与⊙O相切于点G，AD与⊙O相切于点H，
∵⊙O内切于四边形ABCD，
即AB,AD,CD,BC是⊙O的切线，
∴AE=AH,BE=BF,DH=DG,CG=CF，
∴AE+BE+AH+BF=2AB=16,DH+CG+DG+CF=2CD=10，
∴四边形ABCD的周长为2AB+2CD=16+10=26．
（1）考查方向：考查圆外切四边形“对边之和相等”的核心性质，以及与等腰梯形等特殊四边形结合的综合应用。
（2）核心方法：通过切线长定理推导出AB+DC=AD+BC的等量关系，再根据周长、比例等已知条件列方程求解。

【变式1】如图，⊙O的外切四边形ABCD中相邻的三条边AB:BC:CD=3:4:5，周长为32，则AD=__________．
【答案】8
【分析】本题主要考查了四边形的内切圆的性质、比例的应用等知识点，掌握圆的外切四边形的对边之和相等是解题的关键．
利用圆的外切四边形的性质得到AB+CD=BC+AD，设AB=3x、BC=4x、CD=5x，则3x+5x=4x+AD，即AD=4x，接着利用四边形的周长为32列方程求解即可．
【详解】解：如图，
∵⊙O的外切四边形ABCD，
∴AE=AH,BE=BF,CF=CG,DH=DG，
∴AB+CD=BC+AD，
∵AB:BC:CD=3:4:5，
∴设AB=3x、BC=4x、CD=5x，则3x+5x=4x+AD，即AD=4x，
∵四边形ABCD的周长为32，
∴3x+5x+4x+4x=32，解得：x=2，
∴AD=4x=8．
故答案为：8．
【变式2】如图所示，已知⊙O的外切等腰梯形ABCD，AD∥BC,AB=DC，梯形中位线为EF，求证：EF=AB.
【答案】
证明：∵等腰梯形ABCD是⊙O的外切等腰梯形，
∴AD+BC=AB+CD=2AB，
∵梯形中位线为EF，
∴AD+BC=2EF，
∴EF=AB.
【分析】由切线长定理可得AD+BC=AB+CD=2AB，根据梯形中位线定理可得AD+BC=2EF，进而可得EF=AB.
【详解】略
【中考链接1】如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，AB=9，CD=15．则四边形ABCD的周长为_______．
【答案】48
【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键．
根据切线长定理得到AE=AH,BE=BF,CF=CG,DH=DG，得到AD+BC=AB+CD=24，根据四边形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：如图，令⊙O与边AB,BC,CD,AD的切点分别为E，F，G，H，
∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AE=AH,BE=BF,CF=CG,DH=DG，
∴AH+DH+BF+CF=AE+DG+BE+CG
∴AD+BC=AB+CD=9+15=24，
∴四边形ABCD的周长为
AD+BC+AB+CD=24+24=48．
故答案为：48．
【中考链接2】阅读材料：已知，如图（1），在面积为S的△ABC中， BC=a,AC=b, AB=c,内切圆O的半径为r连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．
∵S=SΔOBC+SΔOAC+SΔOAB=12BC⋅r+12AC⋅r+12AB⋅r=12(a+b+c)r
∴r=2Sa+b+c．
（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；
（2）理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求r1r2的值.
【答案】（1）r=2Sa+b+c+d（2）r1r2=149.
【分析】（1）如图，连接OA、OB、OC、OD，则△AOB、△BOC、△COD和△DOA都是以点O为顶点、高都是r的三角形，根据S=SΔAOB+SΔBOC+SΔCOD+SΔAOD即可求得四边形的内切圆半径r.
（2）过点D作DE⊥AB于点E，分别求得AE的长，进而BE 的长，然后利用勾股定理求得BD的长；然后根据SΔABD=12(13+21+20)r1，SΔBCD=12(11+13+20)r2，两式相除，即可得到r1r2的值.
【详解】解：（1）如图（2），连接OA、OB、OC、OD.
∵S=SΔAOB+SΔBOC+SΔCOD+SΔAOD=12ar+12br+12cr+12dr=12(a+b+c+d)r
∴r=2Sa+b+c+d
（2）如图（3），过点D作DE⊥AB于点E，
∵梯形ABCD为等腰梯形，
∴AE=12(AB−DC)=12(21−11)=5
∴BE=AB−AE=21−5=16
在Rt△AED中，
∵AD=13，AE=5，∴DE=12，
∴BD=DE2+BE2=122+162=20
∵AB∥DC，∴SΔABDSΔBCD=ABDC=2111.
又∵SΔABDSΔBCD=12(13+21+20)r112(11+13+20)r2=54r144r2=27r122r2，
∴27r122r2=2111.即r1r2=149.
题型05 三角形内切圆与外接圆综合应用
【典例1】如图，△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D,E,F，则点O是△DEF的（ ）
A．重心B．内心C．外心D．以上选项都不正确
【答案】C
【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，关键是掌握三角形外心的定义．由三角形外心的定义，即可得到答案．
【详解】解：∵⊙O是△DEF的外接圆，
∴点O是△DEF的外心．
故选：C．
（1）考查方向：综合考查三角形内心与外心的性质，涉及圆周角定理、同弧所对圆周角相等及角度转换。
（2）核心方法：区分内心与外心，整合内切圆模型与外接圆模型（外心圆周角关系），通过辅助线进行角度推导。

【变式1】如图，△ABC中，∠BAC=60°，BC=3，内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，若∠ABD=45°，则AI= （ ）
A．3−1B．1C．6−2D．6−3
【答案】D
【分析】设△ABC的外接圆的圆心为O，连接AO，BO，DO，BI，根据圆周角定理证得△OBD是等边三角形，再根据垂径定理可得OD⊥BC，BE=CE=12BC=32，再根据三角形内心证得DI=DB=3，进而解决问题．
【详解】解：如图，设△ABC的外接圆的圆心为O，连接AO，BO，DO，BI，
在△ABC中，∠BAC=60°，BC=3，内心为I，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠BOD=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴DB=OD=OB=OA，
∵∠BAD=∠CAD=30°，
∴BD=CD，
∴OD⊥BC，BE=CE=12BC=32，
∵∠BAD=∠CBD=30°，
∴DE=BE⋅tan30°=32×33=32，
∴DB=2DE=3，
∵∠DBI=∠DBC+∠CBI，∠DIB=∠IAB+∠IBA，
∵I是△ABC的内心，
∴∠IBA=∠CBI，
∴∠DBI=∠DIB，
∴DI=DB=3，
∴∠ABD=45°，
∴∠AOD=90°，
∵OA=OD=DB=3，
∴AD=2OA=6，
∴AI=AD−DI=6−3．
故选：D．
【变式2】若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ）
A．2B．22−2C．2−2D．2—1
【答案】B
【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长．
【详解】解：∵等腰直角三角形外接圆半径为2，
∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为22，
∴它的内切圆半径为：R=12（22+22-4）=22-2．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆和三角形的内切圆，等腰直角三角形的性质，要注意直角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别：直角三角形的内切圆半径：r=12（a+b-c）；（a、b为直角边，c为斜边）直角三角形的外接圆半径：R=12c．
【中考链接】如图，⊙O为△ABC的外接圆，其中∠B=50°，点I为△ABC的内心，连接AI并延长交⊙O于点D，连接IC，CD，则∠ICD=____°．
【答案】65
【分析】本题考查三角形内切圆与外接圆的综合，涉及三角形的内心的性质、圆周角定理、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．由I是△ABC的内心，得到∠BCD=∠BAD=∠CAD=12∠BAC，∠ACI=∠BCI=12∠ACB，根据三角形内角和定理得到∠AIC=115°，又根据圆周角定理，可知∠ADC=∠B=50°，最后由三角形外角的性质即可求出∠ICD．
【详解】解：∵I是△ABC的内心，
∴AI，CI分别平分∠BAC,∠BCA，
∴∠BCD=∠BAD=∠CAD=12∠BAC，∠ACI=∠BCI=12∠ACB；
∵∠B=50°，
∴∠IAC+∠ICA=12180°−∠B=65°，
∴∠AIC=180°−∠1AC+∠ICA=115°；
∵∠ADC=∠B=50°，
∴∠ICD=∠AIC−∠ADC=65°．
故答案为：65．
A组·基础过关
1．如图，满足三角形内心在MN上的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形的内心、基本尺规作图，根据三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点可得答案．
【详解】解：由题意，三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，选项A中MN是该三角形的角平分线，符合题意，
故选：A．
2．张老师计划在一个直角三角形花坛ABC∠C=90°内建造一个圆形喷泉，要求喷泉与花坛的三条边都相切，如图所示，设切点分别为D，E，F，已知AC=12米，BC=9米，则圆形喷泉的半径是（ ）
A．2米B．2.5米C．3米D．4米
【答案】C
【分析】本题考查直角三角形内切圆半径的计算，可通过勾股定理先求出斜边长度，再利用面积法求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=12米，BC=9米，
∴AB=AC2+BC2=122+92=15（米）．
如图，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，设内切圆半径为r，则OD=OE=OF=r，
∵Rt△ABC的面积可以表示为12×AC×BC，也可以表示为12×(AC+BC+AB)×r，
∴12×12×9=12×(12+9+15)×r，
解得r=3．故选：C．
3．如图，点O为△ABC的内心，∠A=60°，则∠BOC的度数是______．
【答案】120°/120度
【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理，正确得出∠OBC+∠OCB=55°是解题关键．
首先求出∠ABC+∠ACB=180°−∠A=120°，然后利用内心的性质得出∠ABO=∠CBO=12∠ABC，∠ACO=∠BCO=12∠ACB，进而利用三角形内角和定理得出∠OBC+∠OCB，进而求出答案．
【详解】解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=120°，
∵O是△ABC的内心，
∴∠ABO=∠CBO=12∠ABC，∠ACO=∠BCO=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+∠ACB=60°，
∴∠BOC=180°−∠OBC+∠OCB=120°．
故答案为：120°．
4．如图，点O是△ABC的内心，连接OA,OC，若△OCA的高OD=3，则点O到边AB的距离为：__________．
【答案】3
【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、角平分线的性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．作OH⊥AB于点H，因为OD是△OCA的高，所以OD⊥AC于点D，由点O是△ABC的内心，证明AO平分∠BAC，所以OH=OD=3，于是得到问题的答案．
【详解】解：作OH⊥AB于点H，
∵OD是△OCA的高，
∴OD⊥AC于点D，
∵点O是△ABC的内心，
∴AO平分∠BAC，
∵点O在∠BAC的平分线上，且OH⊥AB于点H，OD⊥AC于点D，
∴OH=OD=3，
∴点O到边AB的距离为3，
故答案为：3．
5．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=5cm，BC=7cm，CA=6cm．
(1)求AF的长．
(2)已知S△ABC=66cm2，求OD的长．
【答案】(1)2cm
(2)263cm
【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键．
（1）由切线长定理可知：AF=AE，BF=BD，CD=CE，设AF=AE=x，则BF=BD=5−x，EC=DC=6−x，根据BD+DC=BC=7，列方程求解即可；
（2）先计算三角形的半周长s，再利用S△ABC=s⋅r，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出OD的长．
【详解】（1）解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴AF=AE，BF=BD，CD=CE，
设AF=AE=x，
则BF=BD=5−x，EC=DC=6−x，
根据题意得：5−x+6−x=7
解得：x=2cm
∴AF=2cm，BD=5−x=5−2=3cm，EC=6−x=6−2=4cm，
则AF的长为2cm；
（2）解：∵AB=5cm，BC=7cm，CA=6cm，
∴半周长s=AB+BC+CA2=5+7+62=9cm，
又∵ S△ABC=66cm2，
∴66=r⋅9，
∴r=263，
则OD的长为263cm．
B组·能力提升
6．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若△ABC的周长为8，面积为4，则⊙O的半径是（ ）
A．1B．2C．1.5D．2
【答案】A
【分析】连接圆心O与三角形三个顶点，将大三角形分割为三个小三角形，利用三角形面积公式S=12lr（其中l为周长，r为内切圆半径）建立等量关系求解．
【详解】解：设⊙O的半径为r，
连接OA,OB,OC，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴点O到AB,BC,AC的距离都等于r，
∴S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC
=12AB⋅r+12BC⋅r+12AC⋅r
=12AB+BC+AC⋅r，
∵△ABC的周长为8，面积为4，
∴4=12×8⋅r，
解得r=1．
7．如图，点I为△ABC的内心，AB=6，AC=5，BC=4，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．
【详解】解：如图，连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴ AI是∠CAB的平分线，
∴ ∠CAI=∠DAI，
由平移得：AC∥DI，
∴ ∠CAI=∠DIA，
∴ ∠DAI=∠DIA，
∴ AD=DI，
同理可得BE=EI，
∴ DI+EI+DE=AD+BE+DE=AB=6，
即图中阴影部分的周长为6．
8．如图是一张四边形纸片ABCD，已知AB=BC=3dm，AD=CD=6dm，∠A=∠C=90∘，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（ ）
A．1dmB．2dmC．3dmD．255dm
【答案】B
【分析】本题考查了四边形内切圆的性质与面积法求半径，解题的关键是通过圆心到各边的距离（即半径）分割四边形，利用面积和建立方程．
设内切圆圆心为O，半径为r，利用S四边形ABCD=S△OAB+S△OBC+S△OCD+S△ODA，即S四边形ABCD=12AB⋅r+12BC⋅r+12CD⋅r+12DA⋅r；代入AB=BC=3，AD=CD=6，S四边形ABCD=18，解得r=2．
【详解】解：设内切圆圆心为O，半径为r，连接OA,OB,OC,OD及四个切点（如图）；
根据切线的性质定理可知，每条半径r都与四边形ABCD的各边垂直。
∵SABCD=12AB⋅r+12BC⋅r+12CD⋅r+12DA⋅r，
SABCD=12×3×6+12×3×6=18，
∴12(3+3+6+6)r=18，
即18=9r，
∴r=2dm．
故选：B．
9．如图，在△ABC中，AC=BC，∠A=50∘，点D是AB边上一点（不与点A，B重合），点I是△BCD的内心，则∠CID=____________．
【答案】115∘/115度
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形内心的定义和性质．
根据等腰三角形性质求出∠B，再结合三角形内心的性质，求出∠IDC+∠ICD的度数，进而求出∠CID的度数．
【详解】∵在△ABC中，AC=BC，∠A=50∘，
∴∠B=50∘；
又∵I是△BCD的内心，
∴DI平分∠BDC，CI平分∠BCD，
∴∠BDC=2∠IDC，∠BCD=2∠ICD；
又∵在△BCD中，∠B+∠BDC+∠BCD=180∘，
∴∠B+2∠IDC+2∠ICD=180∘，
∴50∘+2(∠IDC+∠ICD)=180∘，
∴∠IDC+∠ICD=65∘；
又∵在△CID中，∠CID+∠IDC+∠ICD=180∘，
∴∠CID=115∘
10．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D，E，F．
(1)点O是△ABC的_______心；
(2)如图1，若AB=9，BC=14，CA=13．设AF=x，求BF的值；
(3)如图2，若∠B=90°，AB,BC,CA的长分别是a，b，c，则⊙O半径是_______（用含a，b，c的式子表示）．
【答案】(1)内
(2)5
(3)a+b−c2
【分析】本题主要考查了三角形内心、切线长定理、正方形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据内心的定义，即可获得答案；
（2）根据切线长定理可得AE=AF,BF=BD,CE=CD，设AF=x，则有BD=BF=9−x,CD=CE=13−x，进而可得BC=9−x+13−x=14，解得x的值，然后计算BF的值；
（3）连接OD,OE,OF，设⊙O半径为r，证明四边形ODBF为正方形，易得BD=BF=r，进而可得AE=AF=a−r，CE=CD=b−r，结合AC=AE+CE=c，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴点O是△ABC的内心．
故答案为：内；
（2）解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D，E，F，
∴AE=AF,BF=BD,CE=CD，
∵AB=9，BC=14，CA=13，设AF=x，
∴AE=AF=x，
∴BD=BF=AB−AF=9−x,CD=CE=AC−AE=13−x，
∴BC=BD+CD=9−x+13−x=14，解得x=4，
∴BF=9−x=5；
（3）解：如下图，连接OD,OE,OF，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D，E，F，
∴AE=AF,BF=BD,CE=CD，∠OFB=∠ODB=90°，
设⊙O半径为r，
∴OD=OF=r，
∵∠B=∠OFB=∠ODB=90°，
∴四边形ODBF为矩形，
又∵OD=OF，
∴四边形ODBF为正方形，
∴BD=BF=r，
∴AE=AF=a−r，CE=CD=b−r，
∴AC=AE+CE=a−r+b−r=c，
∴a+b−2r=c，
∴r=a+b−c2．
故答案为：a+b−c2．
C组·拓展延伸
11．如图，菱形ABCD中∠ABC=120°，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的内心I与点O的距离为2，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．12B．83+12C．63D．23+3
【答案】B
【分析】作IE⊥OB于E， 作IF⊥OA于F，连接IB，由四边形ABCD是菱形，I是△AOB的内心，求得OE=1．IB=2IE=2．EB=3．可得DB=2+23．由∠BAO=30°，AC=6+23．则可得菱形ABCD的面积．
【详解】解：作IE⊥OB于E， 作IF⊥OA于F，连接IB，
∴∠IEO=∠IEB=∠IFO=90°．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB=90° ∠ABO=12∠ABC=60°，DB=2OB，AC=2AO．
∵I是△AOB的内心，
∴∠FOI=∠EOI=12∠AOB=45°，∠IBE=12∠ABO=30°．
∴OE=IE=IO22=222=1．
∴IB=2IE=2．
∴EB=IB2−IE2=22−12=3．
∴OB=OE+EB=1+3．
∴DB=2OB=2+23．
∵∠AOB=90°，∠ABO=60°，
∴∠BAO=90°−60°=30°．
∴AB=2OB=2+23．
∴AO=AB2−OB2=3+3．
∴AC=2AO=6+23．
∴S菱形ABCD=12×AC×DB=12×6+23×2+23=83+12．
12．已知⊙O为△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D．如图，AD为⊙O的直径，若AD=10，BC=6，则OE的长为（ ）
A．2B．5−10C．3D．5−22
【答案】B
【分析】连接OB、BE、BD．根据内心的性质可知AD平分∠BAC，结合AD为直径，利用垂径定理可得AD⊥BC且BF=3．在Rt△OBF中利用勾股定理求出OF，进而得到DF的长．在Rt△BDF中求出BD的长．利用圆周角定理和三角形外角性质证明BD=DE，最后根据OE=OD−DE求解．
【详解】解：连接OB、BE、BD．
∵点E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∵AD为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，BF=12BC=3．
在Rt△OBF中，OB=12AD=5，BF=3，
∴OF=OB2−BF2=52−32=4，
∴DF=OD−OF=5−4=1．
在Rt△BDF中，BD=BF2+DF2=32+12=10，
∵∠DBE=∠DBC+∠CBE，∠DEB=∠DAB+∠ABE，
又∵∠DBC=∠DAC=∠DAB，∠CBE=∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=BD=10，
∴OE=OD−DE=5−10．
13．如图，已知△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，点P在BC边上运动，连接AP．当△ABP和△APC的内切圆半径相等时，设BP=t，则AP=________（用含t的代数式表示）．
【答案】21−8t2t−7
【分析】设左边圆的圆心为O，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BP，OF⊥AP，垂足分别为点D,E,F，则可设AP=x，OD=OE=OF=r，根据S△ABP=S△BOP+S△AOP+S△AOB，得到S△ABP=12t+x+3r，同理可得S△ACP=1212−t+xr，则S△ABPS△ACP=12t+x+3r1212−t+xr=t+x+312−t+x，而S△ABPS△ACP=BPCP=t7−t，即可得到t+x+312−t+x=t7−t，即可求解．
【详解】解：设左边圆的圆心为O，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BP，OF⊥AP，垂足分别为点D,E,F，
∵⊙O为△ABP的内切圆，
∴OD=OE=OF
设AP=x，OD=OE=OF=r
∵S△ABP=S△BOP+S△AOP+S△AOB
∵AB=3，BP=t，AC=5，BC=7，
∴PC=7−t
∴S△ABP=12BP×r+12AP×r+12AB×r=12BP+AP+ABr=12t+x+3r，
∵△ABP和△APC的内切圆半径相等
∴同理可得，S△ACP=12AC+PC+APr=125+7−t+xr=1212−t+xr
∴S△ABPS△ACP=12t+x+3r1212−t+xr=t+x+312−t+x
又∵S△ABPS△ACP=BPCP=t7−t
∴t+x+312−t+x=t7−t
解得x=21−8t2t−7，即AP=21−8t2t−7．
14．⊙O是△ABC的内切圆，与AB,BC边分别相切于点M,N,AB=5,BC=3,AC=4，若点P在⊙O内部（含边界）且满足∠PNM≤∠PMN，则所有点P组成的区域的面积为__________．
【答案】π2/12π
【分析】过点O作OD⊥MN，交⊙O于点E,F，连接OA,OB,OC，由题意易得EF垂直平分MN，根据线段垂直平分线的性质可知要使点P在⊙O内部（含边界）且满足∠PNM≤∠PMN，则有所有点P组成的区域为EF的下方半圆O，然后根据内心的性质可得⊙O的半径r=1，进而问题可求解．
【详解】解：过点O作OD⊥MN，交⊙O于点E,F，连接OA,OB,OC，如图所示：
∴MD=ND=12MN，即EF垂直平分MN，
∴当点P在EF上时，则根据线段垂直平分线的性质可知：PM=PN，
∴∠PNM=∠PMN，
∴要使点P在⊙O内部（含边界）且满足∠PNM≤∠PMN，则有所有点P组成的区域为EF的下方半圆O，
∵AB=5,BC=3,AC=4，
∴BC2+AC2=25=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴S△ABC=12AC⋅BC=6，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴点O到△ABC的三边距离都是⊙O的半径r，
∵S△ABC=S△AOC+S△AOB+S△BOC=12AC+AB+BC⋅r=6，
∴r=1，
∴半圆O的面积为12π×12=π2，
即所有点P组成的区域的面积为π2．
15．已知⊙O内接四边形ABCD中，BD平分∠ABC．
(1)如图1，若AC，BD相交于E，求证：∠AEB=∠BCD．
(2)如图2，连接OD交AC于F．若AC=16，AD=10，求⊙O的半径．
(3)如图3，若AC为⊙O直径，AB=3，BD=722，求△ABC的内心与点O的距离．
【答案】(1)
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ACD=∠ABD，
∴∠ACD=∠CBD，
∵∠AEB=∠ACB+∠CBD，∠BCD=∠ACD+∠ACB，
∴∠AEB=∠BCD；
(2)253
(3)52
【分析】本题主要考查了三角形内切圆与外接圆综合，圆内接四边形的性质，弧与弦之间的关系，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）由角平分线的定义得到∠ACD=∠ABD，由同弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠ABD，则∠ACD=∠CBD，再由角的和差关系和三角形外角的性质可证明结论；
（2）连接OA，先证明AD=CD，由垂径定理得到OD⊥AC，AF=12AC=8，由勾股定理得DF=6，设OA=OD=x，则OF=OD−DF=x−6，由勾股定理得x2=82+x−62，解方程即可得到答案；
（3）过点D作DE⊥BA交BA延长线于E，DH⊥BC于H，可求出∠ABC=90°，则∠ABD=12∠ABC=45°，可证明△BDE是等腰直角三角形，得到BE=DE，则可求出BE=DE=72，AE=BE−AB=12；证明四边形EBHD是矩形，得到DH=BE=72=DE，BH=DE=72；证明△DEA≌△DHCAAS，得到CH=AE=12，则BC=BH+CH=4，AC=AB2+BC2=5；设△ABC的内心为I，设⊙I分别与AB，BC，AC相切于D、E、F，连接AI，DI，BI，EI，CI，OI，FI，根据S△ABC=S△AIB+S△BIC+S△AIC，可求出IF=1；再证明四边形BDIE是矩形，得到BD=IE=1，则AF=AD=3−1=2，再利用勾股定理求出OI的长即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）解：如图所示，连接OA，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴AD=CD，
∴OD⊥AC，AF=12AC=8，
∴在Rt△ADF中，由勾股定理得DF=AD2−AF2=6，
设OA=OD=x，则OF=OD−DF=x−6，
在Rt△AOF中，由勾股定理得OA2=AF2+OF2，
∴x2=82+x−62，
解得x=253，
∴OA=253，即⊙O的半径为253；
（3）解；如图3所示，过点D作DE⊥BA交BA延长线于E，DH⊥BC于H，
∵AC为⊙O直径，
∴∠ABC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=12∠ABC=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BE=DE，
∴BD=BE2+DE2=2BE=722，
∴BE=DE=72，
∴AE=BE−AB=12；
∵DE⊥BE，DH⊥BC，∠EBH=90°，
∴四边形EBHD是矩形，
∴DH=BE=72=DE，BH=DE=72；
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BAD+∠EAD=180°，
∴∠EAD=∠HCD，
又∵∠DEA=∠DHC=90°，
∴△DEA≌△DHCAAS，
∴CH=AE=12，
∴BC=BH+CH=4，
∴AC=AB2+BC2=5；
如图4所示，设△ABC的内心为I，设⊙I分别与AB，BC，AC相切于D、E、F，连接AI，DI，BI，EI，CI，OI，FI，
∴ID=IF=IE，ID⊥AB，IE⊥BC，IF⊥AC，
∵S△ABC=S△AIB+S△BIC+S△AIC，
∴12AB⋅BC=12AB⋅ID+12BC⋅IE+12AC⋅IF，
∴12×3×4=12×5IF+12×4IF+12×3IF，
∴IF=1；
∴ID=IE=1，
∵ID⊥AB，IE⊥BC，∠DBE=90°，
∴四边形BDIE是矩形，
∴BD=IE=1，
∴AF=AD=3−1=2，
∵OA=12AC=52，
∴OF=OA−AF=12，
∴OI=IF2+OF2=52，
∴△ABC的内心与点O的距离为52．
教学目标
1.理解三角形内切圆及内心的定义，明确内心到三角形三边的距离相等这一基本性质。
2.掌握内心与三角形顶点夹角的计算公式及切线长定理，能运用这些性质进行三角形相关边长与角度的几何计算。
3.掌握三角形面积与内切圆半径的关系公式，能推导并运用直角三角形内切圆半径的特殊公式解决实际问题。
教学重难点
1.重点
(1) 三角形内心的定义、性质及内切圆的尺规作图方法；
(2) 内心相关角的计算公式及切线长定理在求线段长度中的运用。
2.难点
(1) 三角形面积与内切圆半径的关系公式及直角三角形内切圆半径公式的综合应用；
(2) 内心与外心性质的区别与联系，以及在不同几何背景下的综合角度与线段推导。
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点
(1)OA=OB=OC；
(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点
(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分
∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)内心在三角形内部.