第26讲 三角形的内切圆（6类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版含答案

这是一份第26讲 三角形的内切圆（6类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版含答案，共19页。试卷主要包含了三角形的内切圆，三角形的内心，如图，点为的内心等内容，欢迎下载使用。
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 利用内心的性质求角度
题型2 利用内心的性质求长度
题型3 利用内心的性质求周长或面积
题型4 利用内心的性质求半径
题型5 三角形内心有关的应用
题型6 三角形内切圆与外接圆的综合应用
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
知｜识｜框｜架

知｜识｜精｜讲

知识点01 三角形的内切圆
1．三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2．三角形的内心：
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
【易错提醒】
三角形内切圆圆心是三条角平分线交点，到三边距离相等。易错：易混淆内心与外心，错把中垂线交点当作内切圆圆心
即时即练1．如图，在中，，点I是的内心，连接，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
2．如图，在中，，是的内切圆，与三边分别相切于点D，E，F．若，则的长为______，（结果保留π）
3．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、．
(1)连接、，则______．
(2)若，，求的半径．
(3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______．
题型1 利用内心的性质求角度
【例1】（2026·山东青岛·一模）如图，是的内切圆，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【例2】（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【技巧归纳】
三角形内心是角平分线交点，熟记内角推导公式，用两个内角快速表示内心夹角，代入已知角度列式计算即可
【变式1-1】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________．
【变式1-2】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________．
题型2 利用内心的性质求长度
【例3】（2026·河北邯郸·一模）如图所示，在中，已知，，，则其内心O和外心M之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
【例4】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【技巧归纳】
利用内心到三边距离相等（内切圆半径），结合面积法求内切圆半径，再借助勾股、相似求解相关线段长度
【变式2-1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．
(1)求的长．
(2)已知，求的长．
【变式2-2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，等边三角形ABC的外接圆的半径OA的长为3，则其内切圆半径的长为________．
题型3 利用内心的性质求周长或面积
【例5】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（ ）
A．14B．24C．28D．
【例6】（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（ ）
A．B．
C．D．随直线的变化而变化
【技巧归纳】
利用内心到三边距离相等，借助三角形面积等于周长一半乘内切圆半径，变形求解周长或内切圆半径，进而算出面积
【变式3-1】（2025八年级上·上海青浦·专题练习）如图，已知的周长是20，点为三角形内心，连接、，于点，且，则的面积是______．
【变式3-2】（2025九年级上·江苏泰州·专题练习）如图， 的周长为，， 是的内切圆，的切线与、分别交于点、， 则的周长为_______ ．
题型4 利用内心的性质求半径
【例7】（2025·安徽·模拟预测）在边长为4的正方形内有一个等腰，连接，若，则内切圆的半径为（ ）
A．B．1C．D．
【例8】（23-24九年级上·天津河西·期末）一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ）
A．B．1C． D．
【技巧归纳】
运用面积法，三角形面积等于周长一半乘内切圆半径，变形列式求解；直角三角形可套用专属内切圆公式快速计算
【变式4-1】（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为____．
【变式4-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________．
题型5 三角形内心有关的应用
【例9】（2026·河南商丘·模拟预测）三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（ ）种．
A．1B．2C．3D．4
【例10】（2026·青海西宁·二模）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的内心
C．三角形三条高的交点是三角形的重心
D．直角三角形的外心在斜边上
【技巧归纳】
内心是三条角平分线交点，到三边距离相等；常用面积法求内切圆半径，推导角度关系式求解边角问题
【变式5-1】（2026·河北·模拟预测）如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连接，．点为的内心，且，则半圆的半径为_____．
【变式5-2】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，截三条边所得的弦长相等，连结，，则___________．
题型6 三角形内切圆与外接圆的综合应用
【例11】（25-26九年级上·天津宝坻·阶段检测）若等边内接于等边的内切圆，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【例12】（23-24九年级上·四川德阳·阶段检测）今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，则该直角三角形的内心与外心的距离是__________步（注：“步”为长度单位）．
【技巧归纳】
区分内外圆圆心定义，外接圆用圆周角、正弦定理求半径，内切圆用面积法求半径，结合边角关系综合计算线段与角度
【变式6-1】（2023·江苏扬州·模拟预测）如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形和大正方形的面积分别为49和289，则图中直角三角形内切圆的半径为______．
【变式6-2】（2025·江苏泰州·三模）如图，点是的内心，点是的外心．
(1)请仅用没有刻度的直尺在上一个作一个点，使得．
(2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2）
一、单选题
1．（2025九年级·全国·专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切B．一个三角形有且只有一个内切圆
C．一个圆有且只有一个外切三角形D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
2．（2026九年级·广西·专题练习）如图，等边三角形的内切圆的半径为2，则的边长为（ ）
A．B．4C．D．
3．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，是的外接圆，且为的直径，点E为的内心，的延长线交于点F，连接．若，，则的长为（ ）
A．3B．4C．5D．
二、填空题
6．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，、在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）、，使为的外心，则的长度是______．
7．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，点为的内心．若，则___________．
8．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知的面积是24，周长为12，则的内切圆的半径为______．
9．（24-25九年级上·广西钦州·阶段检测）如图，在中，，点为的外心，，，是的内切圆．则的长为________．
10．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的外接圆，是的直径，I为的内心，连接，，，且．若，则的长为_________．
三、解答题
11．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，为的平分线，请用尺规作图法，求作的内心．（保留作图痕迹，不写作法）
12．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，点是的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，延长，相交于点，的平分线交于点．
(1)求证：．
(2)求证：．
13．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，是圆的内接三角形，点在弦上，且点为的内心．
(1)求证：；
(2)若为直径，且，求的长．
14．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，中，，点是的内心．点在边上．以点为圆心．长为半径的圆恰好经过点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，延长交于，求的长．
15．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的内心，的延长线交的外接圆于点D．
(1)求证：；
(2)若，，求外接圆的半径．
关键词
学习目标导航
内切圆、内心、角平分线、距离相等、面积法、外接圆。
1. 理解三角形内切圆的概念，知道内心是三条角平分线的交点。
2. 掌握内心的性质：内心到三角形三边的距离相等，且等于内切圆半径。
3. 能根据已知条件求三角形内切圆的半径（如利用面积法：S=12r(a+b+c) ）。
4. 理解三角形内切圆与外接圆的区别（内心是角平分线交点，外心是垂直平分线交点），体会类比学习法。
学习重点:三角形内切圆的概念及内心的性质，面积法求内切圆半径。
学习难点:理解内心到三边距离相等的几何意义，以及运用面积法S=12r(a+b+c)求内切圆半径的推导与应用，并区分内心与外心。
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点
(1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点
(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.