人教版（2024）九年级上册（2024）30.2 三角形的内切圆课堂检测

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知识点一 三角形的内切圆
三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
三角形的内切圆的作法：
1）确定圆心：作三角形任意两个内角平分线，它们的交点就是内切圆的圆心.
2）确定半径：过圆心向任意一条边作垂线，垂线段的长度就是内切圆的半径.
【技巧总结】
1）三角形的面积：如果三角形三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形的面积
2）直角三角形的内切圆半径：如果直角三角形的直角边为a，b，斜边为c，则内切圆半径
3）在填空题或选择题中，可直接利用上述公式计算.
即学即练
1．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）如图，在中，点O为的内心，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）在中，，当的内切圆的半径确定时，随着的度数增大，的外接圆的半径（ ）
A．一直增大B．一直减小C．先增大再减小D．先减小再增大

题型01 理解三角形内切圆的相关概念
典｜例｜精｜析
例1．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）下列说法正确的有（ ）个
①长度相等的两条弧是等弧②相等的圆心角所对的弧相等③平分弦的直径平分弦所对的弧④的圆周角所对的弦是直径⑤三角形的外心到三角形的三边距离相等⑥三角形的内心是三条角平分线的交点⑦在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等
A．2个B．3个C．4个D．5个
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·四川凉山·阶段检测）下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧B．三角形的内心一定在三角形内部
C．三角形的重心到三边的距离相等D．同弦所对的圆周角相等
2．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点．则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的是（ ）
A．①②③④B．②③④C．①②④D．①②③
3．（22-23九年级上·吉林长春·期末）用无刻度的直尺和圆规确定的内心，下列做法正确的是（ ）
A．B．C．D．
题型02 利用内心性质求内切圆半径（直角三角形）
典｜例｜精｜析
例2．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，是的内切圆，，，为切点，，，，的半径为________．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·江西新余·期末）已知三角形三边长分别为、、，则其内切圆半径为______．
2．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为__________．
3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知线段a，b是的两边长，且线段a，b满足．则的内切圆半径长为________．
题型03 利用内心性质求内切圆半径（一般三角形）
典｜例｜精｜析
例3．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知的三边长为，，，则三角形内切圆半径为__________．
变｜式｜巩｜固
1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知是等边三角形纸片，，若从该纸片中剪下一个半径为的圆，则的最大值是______．
2．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，为斜边上的中线，若，设与的内切圆半径分别为，则的值为（ ）
A．1.25B．1.125C．1.1D．1.2
3．（22-23九年级上·江苏南京·期末）以下列三边长度作出的三角形中，其内切圆半径最小的是（ ）
A．8，8，8B．4，10，10C．5，9，10D．6，8，10
4．（21-22九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（ ）

A． B． C． D．
题型04 利用内心的性质线段长
典｜例｜精｜析
例4．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点是的内心，以为圆心作半径为3的圆，分别交的边于，，，，点，连接和，若，则__________
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，在中，，，、分别是的内心和外心，连接，若，则的长______．
2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）在 中，，，，、 分别为 的内心和外心，则__________．
3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________．
题型05 利用内心的性质求周长
典｜例｜精｜析
例5．（2025九年级上·江苏泰州·专题练习）如图， 的周长为，， 是的内切圆，的切线与、分别交于点、， 则的周长为_______ ．
变｜式｜巩｜固
1．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，是一张三角形纸片，，是它的内切圆，小陈准备用剪刀在的左侧沿着与相切的任意一条直线剪下，若剪下的的周长为，则的周长为_________．
2．（23-24九年级上·江苏·期末）如图，的周长是，点O是的内心，过点O作，与分别交于点E、F，已知，则的周长为 ___________．
3．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，已知D、E分别在等边的边、上，连结，的平分线恰好经过的外心O，交于点F，连结，若的周长为18，则的周长为________．
题型06 利用内心的性质求面积
典｜例｜精｜析
例6．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）已知直角三角形外接圆的半径为6，内切圆的半径为2，那么这个直角三角形的面积是__________．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）的内切圆半径为，的周长为，则的面积是______．
2．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）如图，是的内切圆，，且，，则图中阴影部分的面积是_________．

3．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，中，，，是边上的高，，分别是，的内切圆，则与的面积比为_________．
题型07 利用内心的性质计算角度
典｜例｜精｜析
例7．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，点O，I分别是的外心、内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2026九年级上·浙江温州·专题练习）在中，若D在上，平分的内心与的外心重合，求__________．
3．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，锐角内接于，I为内心，已知，则的度数为______．
题型08 三角形内心的应用
典｜例｜精｜析
例8．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为______．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点恰好与的内心重合，若，则___________．
2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，是的内心，以为圆心，为半径的圆与线段有且只有一个公共点，则的取值范围是______．
3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点O是的内心，是的中点，连接、，若，，则的长为__．
题型09 三角形内切圆与外接圆综合
典｜例｜精｜析
例9．（江苏扬州市江都区2025-2026学年九年级第一学期期末考试数学试卷）已知一个三角形的三边长分别为5、12、13，则该三角形内心与外心之间的距离是__________．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）已知的外心为，内心为，，_______
2．（21-22九年级上·山东潍坊·期中）如图，点I和O分别是的内心和外心，若，则的度数为_____．
3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，以的斜边为直径作，为的内心，点为上一个动点，为的中点，若，，则的最大值为_____．
题型10 圆外切四边形模型
典｜例｜精｜析
例10．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______．
变｜式｜巩｜固
1．（2025·北京·模拟预测）如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则__________．
2．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图1，四边形的边均与相切，切点分别为E，F，G，且，连接平分．
(1)求证：与相切；
(2)如图2，记与的公共点为点H，连接交于点I，若，求证：四边形对角互补；
(3)如图3，的半径为，连接与交于点M，N，与交于点P，Q，，连接，令，，求关于的函数解析式．(不考虑自变量的取值范围)
题型11 内切圆与全等三角形综合证明
典｜例｜精｜析
例11．（2026·广西柳州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，则点关于轴对称的点的坐标是__________．
变｜式｜巩｜固
1．（2026·河北·模拟预测）如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连接，．点为的内心，且，则半圆的半径为_____．
2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在矩形中，点在边上，扇形与边相切于点，点，分别在，边上，是的内切圆．若，，，则的半径为___________．
3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在扇形中，，，动点沿弧从运动到，作于点，则内切圆圆心的运动路径长是______．
遇到三角形的内心时，连接内心和三角形的顶点可得角的平分线.由于三角形的内切圆与三角形各边都相切，所以连接三角形的内心和切点、内心和顶点可得直角三角形，且内心和切点之间的距离等于三角形内切圆的半径.