人教版（2024）九年级上册（2024）第二十九章 圆29.2 圆的有关性质29.2.1 垂直于弦的直径精品同步测试题

这是一份人教版（2024）九年级上册（2024）第二十九章 圆29.2 圆的有关性质29.2.1 垂直于弦的直径精品同步测试题试卷主要包含了圆的轴对称性，垂径定理，垂径定理的推论，弧的中点与等分，垂径定理的拓展，常见辅助线做法，4厘米/分 B．0等内容，欢迎下载使用。

知识点01
垂径定理及其推论
1.圆的轴对称性
圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴（圆有无数条对称轴）。
证明逻辑：设AB是直径，M是圆上任意一点。作M关于直线AB的对称点M′。因为圆心O在AB上，且直线AB垂直平分MM′，所以OM′=OM（等于半径），从而证明点M′也在圆上。
2.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。如图，若CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，则：
①AE=BE（平分弦）
②AC⌢=BC⌢（平分劣弧）
③AD⌢=BD⌢（平分优弧）
3.垂径定理的推论
定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段。
4.弧的中点与等分
弧的中点：分一条弧成相等的两条弧的点。
尺规作图：作弧的中点只需作弦的垂直平分线，与弧的交点即为该弧的中点。
5.垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；
（3）圆的两条平行弦所夹的弧相等。
6.常见辅助线做法
(1)过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股定理，求线段长度；
(2)有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分。
【即学即练】
1．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6,EB=1，则⊙O的半径为（ ）
A．3B．4C．5D．10
【答案】C
【分析】连接OC，先根据垂径定理得到CE=DE=12CD=3，再在Rt△OCE中利用勾股定理得到r−12+32=r2，然后解方程即可．
【详解】解：连接OC，如图，设⊙O的半径为r，则OE=r−1，
∵CD⊥AB，
∴∠OEC=90°，CE=DE=12CD=3，
在Rt△OCE中，由勾股定理得r−12+32=r2，
解得r=5，
即⊙O的半径为5．
2．若⊙O的直径为10cm，弦AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，则AB与CD之间的距离为（ ）
A．1cmB．7cmC．1cm或7cmD．2cm或7cm
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．
由于弦AB∥CD，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两弦间距离．
【详解】解：过O点作OE⊥AB于点E，交CD于F点，连接OA、OC，如图，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴AE=BE=12AB=12×8=4cm，CF=DF=12CD=12×6=3cm，
在Rt△AOE中，
∵OA=5cm，AE=4cm，
∴OE=OA2−AE2=52−42=3，
在Rt△COF中，
∵OC=5cm，CF=3cm，
∴OF=OC2−CF2=52−32=4，
当点O在AB与CD之间时，如图1，EF=OE+OF=3+4=7cm；
当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF=OF−OE=4−3=1cm；
综上所述，EF的值为1cm或7cm，即AB与CD之间的距离为1cm或7cm，
故选：C．
3．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤5
【答案】A
【分析】解决此题首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小．当A′B′与小圆相切时有一个公共点，此时可知A′B′最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围．
【详解】解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点，
在Rt△A′DO中，OD=3，OA′=5，
∴A′D=(OA′)2−OD2=52−32=4 ，
∴A′B′=8；
当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，
此时AB=10，
所以AB的取值范围是8≤AB≤10．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题这是常用的一种方法，也是解决本题的关键，注意临界值．
4．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，则下列结论不一定正确的是( )
A．AE=BEB．OE=DEC．AO=COD．AD=BD
【答案】B
【分析】本题重点考查垂径定理、线段的垂直平分线的性质等知识，正确理解和应用垂径定理是解题的关键．
由CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，根据垂径定理得AE=BE，可判断A不符合题意；连接AD、BD，因为OD垂直平分AB，而AB⊥OD但不一定平分OD，所以AD=BD，而OE与DE不一定相等，可判断B符合题意，D不符合题意；由AO、CO都是⊙O的半径，得AO=CO，可判断C不符合题意，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，
∴AE=BE，
故A不符合题意；
连接AD、BD，
∵OD垂直平分AB，而AB⊥OD但不一定平分OD，
∴AD=BD，而OE与DE不一定相等，
故B符合题意，D不符合题意；
∵AO、CO都是⊙O的半径，
∴AO=CO，
故C不符合题意，
故选：B．
5．下列语句中，正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②等弧对等弦；③平分弦的直径垂直于弦；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键；根据圆的性质，判断每个语句的正确性，考虑同圆或等圆的条件以及弦是否为直径，然后问题可求解．
【详解】解：∵①相等的圆心角所对的弧相等，必须在同圆或等圆中才成立，故①错误；
∵②等弧对等弦，故②正确；
∵③平分弦的直径垂直于弦，当弦为直径时不一定垂直，故③错误；
∵④经过圆心的直线是圆的对称轴，故④正确；
∴ 正确的有②④，共2个；
故选B．
6．下面有关圆的一些结论，①三点确定一圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径平分弦所对的两条弧；④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中错误的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了命题的真假判断，掌握确定圆的条件、垂径定理、圆心角的性质、外心是解题的关键；根据确定圆的条件、圆心角与弧的关系、垂径定理及三角形的外心性质判断各结论的正误．
【详解】解：①三点确定一个圆需不在同一直线上， ①错误；
②相等的圆心角所对的弧相等需在同圆或等圆中， ②错误；
③平分弦的直径平分弦所对的两条弧需弦非直径， ③错误；
④三角形的外心是外接圆的圆心，且到三个顶点的距离相等，④正确．
错误的结论有3个，
故选C．
7．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交弧AB于点C，测出AB=16cm，CD=4cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．10cmB．12cmC．14cmD．20cm
【答案】A
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出BD的长；设圆心为O，连接OB，在Rt△OBD中，可用半径OB表示出OD的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径．
【详解】解：∵CD是线段AB的垂直平分线，
∴直线CD经过圆心，
设圆心为O，连接OB，如图．
Rt△OBD中，BD=12AB=8cm，
根据勾股定理得：OD2+BD2=OB2，
即：OB−42+82=OB2，
解得：OB=10；
故圆形工件的半径为10cm，
故选：A．
题型01 利用垂径定理及推论计算或证明
【典例1】下列说法：①过三点可以作圆：②相等的圆心角所对的弧相等；③垂直于弦的直径平分这条弦；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】本题考查确定圆的条件、圆心角与弧的关系、垂径定理及其推论．根据相关性质逐一判断每个说法的正确性．
【详解】解：①过三点不一定可以作圆（三点共线时不能），故说法错误；
②相等的圆心角所对的弧相等必须在同圆或等圆中，故说法错误；
③垂直于弦的直径平分这条弦（垂径定理），故说法正确；
④平分弦的直径不一定垂直于弦（当弦为直径时，平分但不垂直），故说法错误．
∴ 正确的只有1个．
故选：A．
【典例2】如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，D为AC的中点，过点D作DE⊥AB于F，交⊙O于点E，若AF=2，AC=8，则OF的长为______．
【答案】3
【分析】连接OD，设OD与AC交于点G，证明OF=OG，DG=AF=2，设圆的半径为R，则OG=DO−DG=R−2,在Rt△AOG中，由勾股定理列方程求出R=5,可求出OF的长．
【详解】解：连接OD，设OD与AC交于点G，如图，
∵AB是⊙O的直径，且DE⊥AB，
∴AD=AE，DF=EF，
又D为AC的中点，
∴AD=DC，OD⊥AC，
∴AC=DE，AG=CG，
∴DE=AC，
∴DF=AG=4,OF=OG，
∴DG=AF=2，
设圆的半径为R，则OG=DO−DG=R−2,
在Rt△AOG中，OG2+AG2=OA2，
即42+R−22=R2，
∴R=5,
∴OF=AO−AF=5−2=3．
（1）考查方向：考查垂径定理及其推论的基本概念辨析，以及利用定理计算圆的半径、弦长、弦心距等线段，并解决平行弦、同心圆等特殊位置关系的综合求值问题。
（2）核心方法：解题时通过“作弦心距，连半径”构造直角三角形；计算时利用勾股定理列方程求解线段长度；遇平行弦、同心圆等特殊情形时，结合分类讨论和线段加减进行求解。

【变式1】已知⊙O的直径为34cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，则AB和CD之间的距离是（ ）
A．7cm或23cmB．14cm或46cmC．7cmD．23cm
【答案】A
【分析】解题需分情况讨论弦AB、CD与圆心O的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。
【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，
连接OA，OC，过点O作OE⊥AB于点E并延长交CD于点F．则OF⊥CD，如图，
∵AB=30cm，CD=16cm，
∴AE=12AB=15cm，CF=12CD=8cm，
∵OA=OC=17cm，
∴EO=OA2−AE2=8cm，OF=OA2−CF2=15cm，
∴EF=OF−OE=7cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，
∵AB=30cm，CD=16cm，
∴AE=12AB=15cm，CF=12CD=8cm，
∵OA=OC=17cm，
∴EO=OA2−AE2=8cm，OF=OA2−CF2=15cm，
∴EF=OF+OE=23cm．
∴AB与CD之间的距离为7cm或23cm．
【变式2】如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C,D两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若AB=16，则弦CD的长是__________．
【答案】213
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键．
作OE⊥AB于点E，连接OA、OC，根据垂径定理可得AE=BE=12AB=8，CE=DE=12CD，再利用勾股定理分别求出OE和CE的长，即可得出答案．
【详解】解：如图，作OE⊥AB于点E，连接OA、OC，
∵OE⊥AB，AB=16，
∴AE=BE=12AB=8，CE=DE=12CD，∠OEA=90°，
∵OA=10，
∴OE=OA2−AE2=6，
∵OC=7，
∴CE=OC2−OE2=13，
∴CD=2CE=213
故答案为：213．
【变式3】如图，在⊙O中，AB=2CD，则AB___________2CD．（填“>”“=”或“AB，
∴AB