初中人教版（2024）第三十章 直线与圆的位置关系30.2 三角形的内切圆精品第2课时课时训练

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本课核心问题
能否作出一个与三角形三条边都相切的圆？这个圆的圆心和半径由什么决定，又是怎样确定出来的？
一、学习目标
1. 理解内切圆、内心的概念，知道内心是三角形三条角平分线的交点，内心到三边距离相等
2. 会用直尺和圆规作出三角形的内切圆，并说明作法的根据
3. 会利用切线长相等求切点分出的线段长，会用∠BIC=90°+12∠A和S=12lr解决角度与面积问题
二、重点
• 内切圆与内心的定义，内心到三边距离相等的性质
• 利用切线长相等求切点分线段，面积公式S=12lr
三、难点
• 理解内心到三边距离相等与角平分线的联系，并灵活运用面积公式S=12lr及其变形
学习支架
三角形内切圆：圆心O到三边的距离相等（OD=OE=OF=r）
面积公式
内心与角的关系
作三角形内切圆的步骤
1. 作三角形两个内角（如∠B、∠C）的平分线，交点即为内心I
2. 过点I作一边（如BC）的垂线，垂足为D
3. 以点I为圆心、ID为半径作圆，此圆即三角形的内切圆
四、知识要点
1. 内切圆与内心
我们学过三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。现在换一个角度研究：是否存在与三角形三条边都相切的圆？这样的圆叫作三角形的内切圆（与三角形各边都相切的圆），内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形。关键结论：① 每个三角形都有且只有一个内切圆；② 内心是三条角平分线的交点，一定在三角形内部。易错点：不要把内心与外心混淆。外心是三条垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等；内心是三条角平分线的交点，到三条边的距离相等。
2. 内心到三边距离相等
为什么作两条角平分线的交点就是内切圆的圆心？依据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。两条角平分线的交点，到这两条角所在的四边中的每一条距离都相等，所以它到三角形三条边的距离相等。关键结论：三角形的内心到三边的距离相等，这个距离等于内切圆的半径。思考路径（教材的“假设法”）：假设符合条件的圆已经作出，那么圆心到三边的距离都等于半径。于是先作三角形两个内角的平分线，它们的交点即圆心；再过圆心作一边的垂线，垂线段的长即半径。易错点：半径是圆心到边的垂线段长，垂足即切点；垂线段必须与边垂直。
3. 作三角形的内切圆（尺规作图）
用直尺和圆规作三角形的内切圆：第一步：作两个内角（如∠B、∠C）的平分线，交点记为I；第二步：过点I作BC的垂线，垂足为D；第三步：以点I为圆心、ID为半径作圆，⊙I与三角形的三条边都相切，即所求的内切圆。根据：三角形的三条角平分线交于一点，这个点到三条边的距离相等；直线与圆相切的条件是圆心到直线的距离等于半径。易错点：作角平分线时两弧的半径要适当取大；过点I作边的垂线时垂足必须落在边上（这条垂线段就是内切圆的半径）。
4. 切线长相等——求切点分线段
从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等（切线长定理，前面已学）。三角形内切圆的三个切点把三条边分成六段，按顶点分组有：AF=AE，BD=BF，CD=CE（从同一顶点出发的两段相等）。例如，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，设AF=x，则AE=x，BD=BF=AB−x，CD=CE=AC−x，再由BD+CD=BC列出方程求出x，即可得到六个切点分段的长度。易错点：BD与CD不是从同一顶点出发的切线，不能误以为它们相等；列方程的关键是先写出从同一顶点出发的两段相等。
5. 内心与角的关系：∠BIC=90°+12∠A
连接内心I与顶点B、C。因为I是角平分线的交点，所以∠ABI=∠IBC=12∠B，∠ACI=∠ICB=12∠C。在△BIC中，由三角形内角和：∠BIC=180°−12(∠B+∠C)=180°−12(180°−∠A)=90°+12∠A。关键结论：若I是△ABC的内心，则∠BIC=90°+12∠A。易错点：不少学生算成∠BIC=180°−(∠B+∠C)，丢掉了12。应先写出半角，再代入内角和。
6. 面积公式：S=12lr
连接内心I与三个顶点A、B、C，三角形被分成△AIB、△BIC、△CIA三个小三角形。因为I到三边的距离都等于内切圆半径r，所以三个小三角形的高都等于r，于是：S△ABC=12·AB·r+12·BC·r+12·CA·r=12(AB+BC+CA)r=12lr（l为周长）。关键结论：三角形面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即S=12lr。用途：已知面积S与周长l，可求内切圆半径r=2Sl，这是求内切圆半径的常用方法。易错点：忘记12，把公式写成S=lr。
五、典型例题
【例1】
如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9，BC=14，CA=13。求AF、BD、CE的长。
△ABC 的内切圆 ⊙O 与三边相切于 D、E、F
【例2】
在△ABC中，∠A=70°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数。
【例3】
△ABC的周长为24，内切圆半径为2，求△ABC的面积。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的（________），它的圆心叫作三角形的（________），它是三角形三条（________）的交点。
2. 三角形的内心到三角形三边的距离（________），这个距离等于内切圆的（________）。
3. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F。已知AB=11，BC=15，CA=10，则AF=（________），BD=（________），CE=（________）。
4. 已知△ABC的周长为30，它的内切圆半径为3，求△ABC的面积。
5. 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。（ ）
6. 任意一个三角形都有且只有一个内切圆。（ ）
7. 三角形内切圆的圆心在三角形的外部。（ ）
8. 在△ABC中，∠A=60°，点I是△ABC的内心，则∠BIC=（________）。
★★ 能力提升
9. 下列说法正确的是（________）。
A. 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
B. 三角形的内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等
C. 三角形的内心一定在三角形的外部
D. 只有锐角三角形才有内切圆
10. 如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA分别与⊙O相切于点E、F、G、H。已知AB=5cm，BC=7cm，CD=6cm，求AD的长。
11. 如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数。
12. 已知△ABC的面积是18，周长是24，求它的内切圆半径。
13. 用直尺和圆规作出△ABC的内切圆，并写出作法的根据。
用直尺和圆规作出△ABC的内切圆，并写出作法的根据。
★★★ 拓展延伸
14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC、CA、AB于点D、E、F。求⊙O的半径r，以及AF、BD、CE的长。
15. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F。已知AE=4，BF=2，CD=6。（1）求△ABC三边的长；（2）判断△ABC的形状；（3）求△ABC的面积。
16. 一块三角形铁皮的三边长分别为13cm、14cm、15cm，它的面积是84cm²。工人师傅要在这块铁皮上截下一块圆形用料，使所截的圆与三角形的三条边都相切。求这块圆形用料的面积。