初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）29.3 弧长和扇形面积精品同步测试题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）29.3 弧长和扇形面积精品同步测试题，共21页。试卷主要包含了扇形弧长的定义，扇形弧长的计算公式，14估算）等内容，欢迎下载使用。

知识点01
弧长公式
1.扇形弧长的定义
扇形的弧长就是扇形两条 间 的长度。
2.扇形弧长的计算公式
在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的弧长是2πr，1°的圆心角所对的弧长l＝ ，所以n°的圆心角所对的弧的长度l＝ 。
【即学即练】
1．如图，在扇形纸扇中，若∠AOB=120°，OA=12，则AB的长为______．
2．已知圆弧所对的圆心角是120°，弧长为12πcm，则此圆弧所在圆的半径为（ ）
A．8cmB．12cmC．16cmD．18cm
3．半径为2的扇形，弧长为π，则该扇形的圆心角为（ ）
A．50°B．60°C．80°D．90°
知识点02
扇形的面积公式
1.扇形的定义
由组成 所围成的图形叫做扇形。
2.扇形的面积公式
公式①：在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的圆的面积为，则1°的圆心角所对的面积＝ ，已知扇形的圆心角为n°，则扇形的面积＝ 。
公式②：已知扇形的半径为r，弧长为l，则扇形的面积公式为： 。
【即学即练】
5．如图，已知⊙O的半径为2，点A和点B在⊙O上，若∠AOB=90°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π−2B．π−3C．πD．2
知识点03
圆锥的侧面积与全面积
连接圆锥 和 的线段叫做圆锥的母线。
圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
公式①：圆锥的母线长为l，侧面展开图的圆心角为n°。则侧面展开图的扇形面积为：
。
公式②：若已知圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则圆锥的侧面展开图的扇形的半径为 ，侧面展开图的弧长等于底面圆周长等于2πr，根据已知弧长与半径可得扇形的面积为： 。
【即学即练】
6．如图，圆锥的母线长l为10cm，底面圆半径r为4cm，则该圆锥的侧面积为______．
7．一个圆锥的母线长为6，底面圆的半径为4，那么这个圆锥的表面积是____________________
8．若一个圆锥的母线长为60cm，它的底面半径为10cm，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为（ ）
A．90°B．80°C．70°D．60°
题型01 弧长公式的基本计算
【典例1】中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，BD的长为9cm，则DE的长为______________cm．
【典例2】圆心角为40°，半径为2的扇形的弧长为（ ）
A．4π5B．5π9C．6π7D．4π9
（1）考查方向：考查弧长公式 l＝nπr180°的正向（已知n,R求l）及逆向应用（已知l求n或R）。
（2）核心方法：直接应用或变形公式。注意找准圆心角n 和半径R，看清题目要求的计算对象。

【变式1】一个扇形的弧长是10πcm，面积是120πcm2，则扇形的圆心角是（ ）
A．75°B．90°C．120°D．150°
【变式2】一个扇形的半径为8，弧长等于6π，则扇形的圆心角度数为（ ）
A．120°B．135°C．150°D．270°
【中考链接】如图，车轮的半径OA=30 cm，车轮边缘上一点A绕点O转过的角∠AOB=80°，则劣弧AB的长为__________cm（结果保留π）．
题型02 点的弧形运动路径长度
【典例1】如图，若半径为3cm的定滑轮边缘上一点A绕中心O逆时针转动150°（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度（单位：cm）为（ ）
A．5πB．52πC．15πD．152π
（1）考查方向：考查物体运动或旋转时，对应点所经过的轨迹长度计算。
（2）核心方法：“化动为静”。分析点的运动轨迹是圆弧，找到对应的圆心、半径及转过的圆心角。若是多点交替为圆心的滚动，需分段求弧长再求和。

【变式1】如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=2，将△ABC沿BC所在直线l向右翻动（不滑动）至如图△A1B2C1位置，则点B从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是__________．（结果保留π）
【中考链接】阳春三月风和日丽，艳阳高照，正是踏春郊游的好时节．某景区举办风车节吸引游客前来参观．如图是园区内一个风车的简化图，若AB=5，当风车转动60°，点B运动的路径长度为（ ）
A．25π3B．25π6C．5π6D．5π3
题型03 扇形面积的基本计算
【典例1】小聪用一张半径为10cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面周长为12πcm，那么这张扇形纸板的面积是（ ）
A．30πcm2B．60πcm2C．80πcm2D．120πcm2
【典例2】如图，将长为10dm的铁丝AB首尾相接围成半径为2dm的扇形，则S扇形=（ ）
A．6dm2B．6πdm2C．10dm2D．10πdm2
（1）考查方向：考查扇形面积公式的灵活运用，特别是S扇=12lr的使用，以及拼接组合图形中的整体思想。
（2）核心方法：根据已知条件选择角度制公式或S扇=12lr。遇到多个扇形拼接时，利用角度和差关系（如四边形内角和为360∘）进行整体转化。

【变式1】如图，AB是⊙O的直径，CD垂直OB交⊙O于C，D两点，∠ABC＝60°，图中阴影部分的面积2π3，则⊙O的半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【中考链接1】如图，⊙O的半径为1，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=30°．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π6B．π3C．16D．13
【中考链接2】如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ）
A．π4B．π2C．πD．2π
题型04 图形旋转后扫过的面积
【典例1】贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前来参观．风车扇叶示意图如图所示，扇叶OA的长为20米，当扇叶OA旋转至OB位置时，扇叶OA扫过的面积为（ ）
A．40π3平方米B．80π3平方米C．400π3平方米D．800π3平方米
（1）考查方向：考查图形旋转扫过的不规则区域面积计算。
（2）核心方法：割补法。寻找旋转过程中两条边界线段扫过的扇形，阴影部分面积通常等于“大扇形面积减去小扇形面积”（即S=S大扇形−S小扇形​）。

【变式1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°,BC=1,AC=3，将△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到△ADE，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π2B．π2−32C．π4D．π4−32
【中考链接】如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，已知AC=10,BC=6，则线段AB扫过的图形面积为（ ）
A．10πB．163πC．313πD．323π
题型05 弓形面积的计算
【典例1】如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π-2B．π-4C．4π-2D．4π-4
（1）考查方向：考查阴影部分为弓形的面积计算，常结合垂径定理或圆周角定理来确定圆心角和三角形边长。
（2）核心方法：“扇形减三角”。S弓形=S扇形−S三角形​。利用解直角三角形先求出圆心角、三角形底边和高，再代入公式计算。

【变式1】如图，矩形ABCD中，AB=42，AD=2，以AB为直径作半圆O，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4π−8B．2π−4C．43π−83D．23π−43
【变式2】如图，⊙O中，弦AB的长为23，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2π−3B．2π−23C．4π3−3D．2π3−3
【中考链接】将半径为4的圆按如图所示的方式折叠得到一个弓形（阴影部分），若折痕到圆心的距离为2，则弓形的面积为______．（结果保留π）
题型06 其他不规则图形的面积
【典例1】如图，将弧AB沿弦AB翻折恰好过圆心O点，点C为弧AB的中点，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．13πB．12πC．πD．23π
【典例2】如图，以AB为直径作半圆O．C是半圆上一点，以点A为圆心，AB的长为半径作弧交射线AC于点D．若∠CAB=45°，AB=6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．92π−92B．92π+92C．94π−92D．94π+92
（1）考查方向：考查通过翻折、对称等几何变换构成的复杂不规则阴影面积计算。
（2）核心方法：割补法与等积转化。寻找图中的全等关系、对称轴进行面积代换，或利用“大面积减去空白面积”的策略简化计算。

【变式1】如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与AB交于点C，连接AC．若OA=2，则劣弧AC的长和图中阴影部分的面积分别是（ ）
A．π3和π3B．2π3和2π3−32C．π3和π3−32D．2π3和2π3−3
【中考链接】如图，在矩形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径画弧，交BC于点E，以C为圆心，CD为半径画弧交BC于点F．若AB=1，AD=2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π12+34B．7π12+32−2C．π12+3−1D．2+32−7π12
题型07 圆锥的基本计算
【典例1】如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积_____．
【典例2】用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是（ ）
A．43B．1C．22D．23
【典例3】将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展开，所得扇形的面积为4π，圆心角为90°，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．1B．2C．4D．12
（1）考查方向：考查圆锥各要素（母线l、底面半径r、高h）的关系，以及侧面展开扇形弧长与底面圆周长的等量关系。
（2）核心方法：抓住勾股定理l2=r2+ℎ2和弧长相等nπl180=2πr两个核心等量关系列方程求解。

【变式1】已知一个圆锥的主视图与左视图都是边长为6cm的等边三角形，则圆锥的侧面积为（ ）cm2
A．36πB．24πC．18πD．12π
【变式2】如图，从一块直径是1m 的圆形铁皮上剪下一个圆心角为90°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是______．
【变式3】如图，在矩形纸片上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥．如果圆的半径为2cm，那么圆锥的高为__________cm．
【中考链接1】某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长30cm，侧面展开图是圆心角为180°的扇形，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．450πcm2B．500πcm2C．600πcm2D．700πcm2
【中考链接2】如图，圆锥的侧面展开图的弧长为10π，若该圆锥的高OA为12，则该圆锥母线AB的长为_________．
【中考链接3】一个圆锥的底面半径为3，高为2，则它的体积为（ ）
A．4π B．6π C．12π D．18π
题型08 圆锥侧面展开图的圆心角
【典例1】一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90°B．120°C．150°D．180°
（1）考查方向：考查通过已知圆锥的底面半径和母线长，求解侧面展开扇形圆心角。
（2）核心方法：公式法。利用等量关系直接推导出n=360∘×rl，将已知的底面半径r和母线长l代入快速计算。

【变式1】如图，矩形纸片ABCD中，AB=4cm，AD=2cm，在矩形中剪下一个扇形ABE和一个圆形，若以剪下的扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥的表面，则围成的圆锥的底面半径为______cm．
【中考链接1】若圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则其侧面展开图的圆心角为__________度．
【中考链接2】如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为_______°．
题型09 圆锥的实际应用问题
【典例1】“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”．如图，斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为80cm，高度为30cm，则该斗笠锅盖的表面积大约为（ ）
A．2000πcm2B．1500πcm2C．60013πcm2D．30013πcm2
（1）考查方向：考查圆锥几何知识在生产生活实际场景中的应用，常结合勾股定理、表面积及结合其他知识（如反比例函数）的综合应用。
（2）核心方法：数学建模。将实际问题抽象为圆锥几何模型，明确半径、高和母线，分步求出侧面积、底面积或建立函数关系解决问题。

【变式1】小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是6m，高是4m．
(1)按每人的活动面积是3m2计算，该帐篷估计最多可住______人．（π取3.14估算）
(2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含π，材料包含底部）
【中考链接】假设圆锥的体积不变，当圆锥的高发生变化时，圆锥的底面积也随之变化．（圆锥体积V=13Sℎ，其中Scm2表示圆锥的底面积，ℎcm表示圆锥的高线长）．某工厂要制作一系列等体积的圆锥模型，测得其中一个圆锥模型的底面半径为30πcm，高线长为10cm．当高线长限定为50≤ℎ