初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）30.1.2 圆的切线精品习题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）30.1.2 圆的切线精品习题试卷主要包含了圆的切线的性质，圆的切线的判定等内容，欢迎下载使用。

知识点01
圆的切线的性质和判定
1.圆的切线的性质
定理：圆的切线垂直于 。
如图，直线l与⊙O相切于点P，A为切点，连接OA，则l⊥OA。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必 ；
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必 。
总结：根据圆的切线性质定理，以后在题中看到圆的切线，连半径， 。
2.圆的切线的判定
圆的切线的定义：和圆 的直线是圆的切线。
距离：到圆心距离等于 的直线是圆的切线。
定理：经过半径的 并且 于这条半径的直线是圆的切线。
根据圆的切线判定定理，以后在题中证明圆的切线，连半径， 。
【即学即练】
1．如图，与⊙O相切的直线是（ ）
A．l1B．l2C．l3D．l1和l3
2．如图，AB是⊙O的直径，C是BD中点，下列选项中不能判断AD 是⊙O的切线的是（ ）
A．∠B=45°B．∠BAD=90°C．∠D=45°D．∠D=∠B
3．如图，AB是圆O的直径，DA切⊙O于点A，DO交圆O于点C，连接BC，若∠D=40°，则∠ABC为（ ）
A．20°B．25°C．40°D．50°
4．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，若∠P=60°，AB的长为10π，则⊙O的半径为（ ）
A．10B．15C．20D．30
5．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC=25°，则∠P=（ ）度．
A．30B．60C．50D．75
知识点02
切线长及切线长定理
1.尺规作图：过圆外一点作圆的切线
步骤：
(1) 连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP交于点C；
(2) 以点C为圆心，CO为半径作圆，与⊙O相交于A,B两点；
(3) 作直线PA,PB，即所求作的切线。
过圆外一点可以作出 直线与这个圆相切。我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长（如图中的线段PA,PB的长），叫作这点到圆的 。
2.切线长及切线长定理
切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长 ，并且这点和圆心的连线 两条切线的夹角。
如图所示，PA、PB分别与⊙O切于点A、B，则PA=PB，OP平分∠APB。
【即学即练】
6．如图，过⊙O外一点P画⊙O的切线，图中画法的根据是（ ）
A．直径所对的圆周角是直角B．切线长定理
C．切线的性质定理D．切线的判定定理
7．如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B．如果∠P=60°，AB=2，那么PA的长度是（ ）
A．2B．3C．3D．23
8．如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，连接AB，下列结论中，错误的是（ ）．
A．∠1=∠2B．PA=PBC．AB⊥OPD．以上都不对
知识点03
弦切角定理
1.弦切角定理
弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。即切线与弦所夹的角。
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的 。
如图所示，直线AB切圆O于点A，AC为圆O的弦，是弦切角∠BAC所夹的弧，∠ADC是所对的圆周角，则∠BAC=∠ADC。
【即学即练】
9．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，且AD⊥CD交于点D，若∠ABC=56°，求∠CAD的度数是（ ）
A．34°B．38°C．56°D．68°
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B．若∠CBD=35°，则∠ACB的度数为（ ）
A．25°B．35°C．45°D．55°
题型01 切线的性质与判定的基础综合
【典例1】如图，⊙O和直线l1，直线l2在同一平面内，AB是⊙O的直径，直线l2是⊙O的切线，直线l1经过点A，下列条件不能判定直线l1与⊙O相切的是 （ ）
A．l1∥l2 B．l1⊥AB
C．l1与⊙O只有一个公共点D．点O到l1上某点的距离等于半径
【典例2】如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A8,0，与y轴分别交于点B0,4与点C0,16，则⊙M的直径是（ ）
A．10B．241C．413D．20
（1）考查方向：运用“切线的性质定理”得到垂直关系，以及运用“切线的判定定理”证明直线是圆的切线。常与圆周角定理、直角三角形（斜边中线、勾股定理）结合。
（2）核心方法：紧扣核心思路“见切线，连半径，得垂直”和“证切线，连半径，证垂直”。

【变式1】如图，CD是△ABC的高，以AB为直径作⊙O交CB的延长线于点E，连接DE，DE=CD．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若CD=4，BD=2，求△ABC的面积．
【变式2】如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，∠P=52°，点C是⊙O上异于A、B的一点，则∠ACB的度数为______．
【变式3】如图，在△ABD中，AB=BD，⊙O为△ABD的外接圆，∠EBC=∠BAC，AC为⊙O的直径，连接DC并延长交BE于点E．
(1)求证：BE为⊙O的切线；
(2)求证：DE⊥BE；
(3)若AB=56，BE=5，求⊙O的半径．
【中考链接1】如图，PA与⊙O相切于点A，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AB．若∠B=24°，则∠P的度数是（ ）
A．42°B．48°C．56°D．66°
【中考链接2】如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的切线，E为AB延长线上一点，延长ED交⊙O于点C，∠BDE=2∠BAC，连接OD．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若CD=2，DE=5，求⊙O的半径．
【中考链接3】如图，O是▱ABCD的对称中心，BC与⊙O相切于点E．
(1)求证：直线AD是⊙O的切线．
选择其中一位同学的想法，完成证明；
(2)当AB与⊙O相切时，▱ABCD是菱形吗？说明理由．
题型02 切线长定理与“双切线”模型
【典例1】如图，点P是⊙O外一点．请利用尺规过点P作⊙O的一条切线PE．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
【典例2】如图所示，P是⊙O外一点，PA,PB分别和⊙O切于A,B两点，C是AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA,PB于D,E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（ ）
A．12B．6C．8D．4
【典例3】如图，P为⊙O外一点，PA和PB为⊙O的两条切线，A和B为切点，BC为直径，连接AC，PO．如果∠C=58°，那么∠APO的度数是（ ）
A．20°B．22°C．32°D．36°
（1）考查方向：考察圆外一点引圆的两条切线的性质，即切线长相等，且该点与圆心的连线平分两切线的夹角，同时垂直平分两切点连成的弦。
（2）核心方法：遇到“两条切线”，连接圆心和两个切点，再连接圆心与圆外点，构造出两个共斜边的直角三角形（全等）。

【变式1】为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角尺和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若三角尺与铁环相切，且测得PA=5cm，则铁环的半径为________．
【变式2】某数学兴趣小组在学习了圆的切线判定定理后，讨论了过圆外一点P，用尺规作⊙O的切线PA和PB的方法：
①连接PO1，分别以点P和点O1，为圆心，大于12PO1的长为半径画弧，两弧交于M，N两点；
②作直线MN交线段PO1于点O2；
③以点O2为圆心，PO2的长为半径作圆⊙O2，与⊙O1相交于A，B两点；
④连接PA，PB．
PA和PB即是所求的切线．
(1)根据上述作法，求证：PA，PB是⊙O1的切线；
(2)若PA=8，AO1=4，求AB的长．
【中考链接1】如图，PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，AC是直径，∠BAC=35°，∠P=_______
【中考链接2】如图，已知PA,PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA=PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
题型03 弦切角定理的灵活转化与应用
【典例1】如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD=50°，则∠BAC的度数为______．
【典例2】如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？( )
A．97°B．104°C．116°D．142°
（1）考查方向：已知切线与弦的夹角（弦切角），求该弧所对的圆周角或圆心角；或在证明等角关系中提供新思路。
（2）核心方法：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。解题时，把弦切角转化为圆周角来对待，简化计算；常结合等弧对等角、圆内接四边形对角互补等性质综合求解。
【变式1】如图，在⊙O中，AB是弦，AC是⊙O切线，过点B作BD⊥AC于D，BD交⊙O于点E，若AE平分∠BAD，则∠ABD的度数为（ ）
A．30°B．45°C．50°D．60°
【变式2】如图，五边形ABCDE为⊙O的内接五边形，对角线AC为⊙O的直径，∠DAC=30°，FA，GC，KD为五边形ABCDE的外接圆的三条切线，则∠BCG+∠BAF+∠CDK=_______．
【中考链接】如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE=18°，则∠D的度数是（ ）
A．18°B．36°C．48°D．72°
题型04 坐标系背景下圆的切线的应用
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是( )
A．(5，2)B．(2，4)C．(1，4)D．(6，2)
【典例2】如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为5,−3，则点N的坐标为________．
（1）考查方向：结合坐标系及函数图象，逆向求半径、切点坐标，并综合验证切线关系。
（2）核心方法：连圆心与切点构造直角三角形，利用勾股定理及坐标轴相切特性（半径=坐标绝对值），针对动圆相切进行数形结合与分类讨论。

【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是0,8．则点D的坐标是______．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，⊙D与y轴相切于点C0,4，与x轴相交于A、B两点，且AB=6．
(1)求圆的半径和点D的坐标；
(2)求经过C、A、B三点的抛物线解析式；
(3)设抛物线的顶点为F，证明直线FA与⊙D相切．
【中考链接】如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为 ___．
A组·基础过关
1．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，下列说法不正确的是（ ）
A．若DE=DO，则DE是⊙O的切线B．若AB=AC，则DE是⊙O的切线
C．若CD=DB，则DE是⊙O的切线D．若DE是⊙O的切线，则AB=AC
2．已知⊙O的半径为3，直线AB经过⊙O上一点P，下列条件不能判定直线AB与⊙O相切的是（ ）
A．点O到直线AB的距离是3B．∠APO=∠BPO
C．OP=3D．OP⊥AB
3．如图，AC经过⊙O的圆心O，AB与⊙O相切于点B，若∠A=50°，则∠C的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝42，以BC的中点O为圆心的⊙O分别与AB，AC相切于点D，E两点，则DE的长为（ ）
A．π2B．πC．2πD．4π
5．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，点C为AB上的点，过点C的切线分别交PA，PB于点M，N．若△PMN的周长为32，则PA的长为（ ）
A．16B．15C．30D．26
B组·能力提升
6．如图，点A1,0，B0,2，O0,0，点M为线段AB的中点，以点O为圆心，255为半径作⊙O，则下列结论中正确的是（ ）
A．AB与⊙O相切B．点A在⊙O上C．点B在⊙O上D．点M在⊙O上
7．如图，A是⊙O外一点，AB，AC分别与圆O相切于B，C，P是BC上任意一点，过点P作⊙O的切线，交AB于点M，交AC于点N．若⊙O的半径为4，∠BAC=60°，则△AMN的周长为（ ）
A．43B．8C．83D．12
8．如图，在矩形ABCD中，BC=8，以AB为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点B旋转，使所得矩形A′BC′D′的边C′D′与⊙O相切，切点为E，边A′B与⊙O相交于点F．若BF=8，则AB长为（ ）
A．9B．10C．83D．12
9．如图，⊙O的直径AB=9，AM和BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，设AD=x，BC=y，则y关于x的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
10．按要求解答：
(1)课本再现：如图①，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．若图中的PA=2，则PB的长度是多少？如果∠APO=35°，则∠BPO的度数是多少？请说明理由．
(2)知识应用：如图②，PN、PD、DE分别与⊙O相切于点A、B、C，且DE∥PN，连接OD、OP，延长PO交⊙O于点M交DE于点E，过点M作MN∥OD交PN于N．求证：MN是⊙O的切线．
C组·拓展延伸
11．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C在⊙O上，且∠ACB=58°，则∠APB=（ ）
A．54°B．58°C．64°D．68°
12．题目：如图，将三角尺MNB绕零刻度落在点A，直径为AB的量角器（半圆O）的点B旋转，BM,BN分别交AB于点P，Q．已知AB=2，BN=1，∠MBN=60°，∠N=90°，点P在量角器上的读数为α0°