初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）29.2.2 圆心角优秀课堂检测

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）29.2.2 圆心角优秀课堂检测试卷主要包含了圆的旋转对称性，圆心角定义，圆心角定理，圆心角定理的推论，拓展延伸等内容，欢迎下载使用。

知识点01
圆心角定理及推论
1.圆的旋转对称性
圆既是中心对称图形（圆心是对称中心），也是旋转对称图形。
将圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都能与原图形重合。这一性质是研究圆心角、弧、弦关系的理论基础。
2.圆心角定义
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
3.圆心角定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
4.圆心角定理的推论
①在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等。
②在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。
【注意】：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提。
5.拓展延伸：弦心距的关系
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等。
证明思路：由“等弦”可推出“等圆心角”，进而构造两个直角三角形（半径、半弦、弦心距），利用“HL”或全等三角形即可证明对应的弦心距相等。
【即学即练】
1．下图中的∠ACB是圆心角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角.
根据圆心角的概念判断即可.
【详解】解：A、顶点C不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意；
B、顶点C在圆心，符合圆心角的概念，符合题意；
C、顶点C在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意；
D、顶点C在圆外，不符合圆心角的概念，不符合题意；
故选：B ．
2．如图，在⊙O中，已知∠OAB=50°，则弦AB所对的圆心角的度数是________．
【答案】80°
【分析】本题考查了圆心角，圆的性质，等腰三角形的性质，解题的关键掌握相关知识．由OA=OB，可得∠OAB=∠OBA=50°，再根据三角形的内角和定理求出∠AOB，即可求解．
【详解】解：∵OA=OB，∠OAB=50°，
∴∠OAB=∠OBA=50°，
∴∠AOB=180°−50°−50°=80°，
即弦AB所对的圆心角的度数是80°，
故答案为：80°．
3．如图，AB是直径，BC⏜=CD⏜=DE⏜，∠BOC=40°．求∠AOE的大小．
【答案】60°
【分析】根据等弧所对的圆心角相等可得∠DOE=∠DOC=∠BOC，再根据平角的定义求解即可．
【详解】解：∵BC⏜=CD⏜=DE⏜，∠BOC=40°，
∴∠DOE=∠DOC=∠BOC=40°，
∵AB是直径，
∴∠AOE=180°−∠DOE+∠DOC+∠BOC=180°−40°+40°+40°=60°．
4．试证明：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
【答案】已知：在⊙O中，直径CD与非直径弦AB相交于点P，且AP=BP，
求证：CD⊥AB，且AD⏜=BD⏜，AC⏜=BC⏜．
证明：连接OA，OB，
∵OA，OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形．
∵AP=BP，
∴OP⊥AB，即CD⊥AB，且∠AOP=∠BOP．
∵同圆中相等的圆心角所对的弧相等，
∴AC⏜=BC⏜．
∵CD是⊙O的直径，
∴CAD⏜=CBD⏜=180°，
∴CAD⏜−AC⏜=CBD⏜−BC⏜，即AD⏜=BD⏜．
所以平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
【详解】略
5．如图，在Rt△ABC中，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则BD的度数为（ ）
A．50°B．40°C．55°D．60°
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形性质，求圆弧度数，等腰三角形性质，解题的关键在于恰当的作出辅助线解决问题．连接CD，利用直角三角形性质得到∠ABC=65°，结合圆的特点和等腰三角形性质得到∠CDB=∠ABC=65°，进而即可求得BD的度数．
【详解】解：连接CD，
∵在Rt△ABC中，∠A=25°，
∴∠ABC=90°−25°=65°，
∵BC=CD，
∴∠CDB=∠ABC=65°，
∴∠BCD=180°−2×65°=50°，
即BD的度数为50°，
故选：A．
知识点02
圆周角定理及推论
1.圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。如下图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角。
判断要点：①顶点在圆上；②角的两边分别与圆相交（即两边均为圆的弦）。
2.圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部。
定理证明思路（难点）：由于圆心与圆周角的位置关系不同，证明分三类情况进行讨论：
①圆心在圆周角的一条边上（利用三角形外角定理）；
②圆心在圆周角的内部（作直径，利用角的和）；
③圆心在圆周角的外部（作直径，利用角的差）。
3.圆周角定理的推论
推论1:半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
推论2:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等。
4.弧、圆心角、圆周角的度数关系总结
弧的度数=它所对的圆心角的度数。
圆周角的度数=它所对弧的度数的一半。
【即学即练】
6．如图，弦AB所对的圆周角有_______________________，劣弧AB所对的圆周角有_________________．
【答案】 ∠ACB，∠ADB，∠AEB ∠ADB，∠AEB
【分析】本题考查了圆周角的概念，掌握圆周角的概念是解题的关键．
根据圆周角的概念直接得到答案．
【详解】解：弦AB所对的AB⏜上的圆周角为∠ACB，所对的ADB⏜上的圆周角为∠ADB，∠AEB，则弦AB所对的圆周角有∠ACB，∠ADB，∠AEB；
劣弧AB所对的圆周角有∠ADB，∠AEB；
故答案为：∠ACB，∠ADB，∠AEB；∠ADB，∠AEB．
7．如图，点A，B，C在⊙O上．若∠ACB=40°，则∠AOB的度数是（ ）
A．140°B．100°C．90°D．80°
【答案】D
【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍求解即可．
【详解】 解：∵∠ACB与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，∠AOB=2∠ACB
∵∠ACB=40°，
∴∠AOB=2×40∘=80°．
8．如图，在⊙O中，弦AB，CD交于点E，连接AD，BC．若∠A=50°，∠AED=100°，则∠B=（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】A
【分析】根据同弧对等角和对顶角相等推出∠C和∠CEB的度数，最后根据内角和定理即可求出∠B度数．
【详解】解：由图可知，∠A=∠C，∠AED=∠CEB，
∵ ∠A=50°，∠AED=100°，
∴ ∠C=∠A=50°，∠CEB=∠AED=100°，
∴∠B=180°−∠C−∠CEB=180°−50°−100°=30°．
9．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，AD，BD，BC，若∠ACD=40°，∠AEC=65°，则∠CBD=（ ）
A．45°B．55°C．60°D．65°
【答案】B
【分析】由题意易得∠ADB=90°，∠ABD=∠ACD=40°，然后可得∠DAB=90°−∠ABD=50°=∠BCD，进而根据三角形外角的性质进行求解即可．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=∠ACD=40°，
∴∠DAB=90°−∠ABD=50°=∠BCD，
∵∠AEC=∠BCD+∠CBE=65°，
∴∠CBE=65°−∠BCD=15°，
∴∠CBD=∠ABD+∠CBE=55°．
10．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，∠CDB=25°，则∠ABC的度数为（ ）
A．25°B．50°C．65°D．90°
【答案】C
【分析】首先根据AB是直径得出∠ACB=90°，然后利用圆周角定理的推论得出∠CAB=∠CDB=25°，最后利用直角三角形两锐角互余即可得出答案．
【详解】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠CAB和∠CDB都是BC所对的圆周角，
∴∠CAB=∠CDB=25°，
∴∠ABC=90°−∠CAB=65°．
题型01 圆心角、圆周角概念辨析及简单运算
【典例1】下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等；④长度相等的弧称为等弧；⑤平分弦的直径垂直于弦．其中正确的个数共有（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】本题考查确定圆的条件，圆的认识，圆心角，弧，弦的关系以及垂径定理，根据确定圆的条件，圆心角，弧，弦之间的关系以及垂径定理一一判断即可．
【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故原说法错误；
②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误；
③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，正确；
④能够重合的弧称为等弧，长度相等的弧不一定是等弧，故原说法错误；
⑤平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误．
∴正确的只有③，共1个．故选：D．
【典例2】如图，在⊙O中，AB是弦，C是AB上一点．若∠OAB=25°，∠OCA=40°，则BC所对的圆心角度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】A
【分析】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义．
根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠OAB＝25°，∠OAC＝∠OCA＝40°，再根据三角形内角和定理求出∠AOB和∠AOC，再求出答案即可．
【详解】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，
∴∠OBA＝∠OAB＝25°，
∴∠AOB＝180°−∠OAB−∠OBA＝130°，
∵OA＝OC，∠OCA＝40°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°−∠OAC−∠OCA＝100°，
∴∠BOC＝∠AOB−∠AOC＝130°−100°＝30°，故选：A．
【典例3】下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可．
【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意；
B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意；
C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意；
D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意；
故选：B．
【典例4】有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；（4）弧长相等的弧是等弧．其中正确结论的个数有( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、三角形的外心等弧定义进行判断即可得到正确结论．
【详解】解：（1）不共线的三点确定一个圆，故不符合题意；
（2）平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故不符合题意；
（3）三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故符合题意；
（4）在同圆或等圆中，能够重合的两条弧是等弧，故不符合题意．
故选：B．
（1）考查方向：考查圆心角与圆周角的基本概念判定，以及在同圆或等圆中，利用圆心角、弧、弦“知一推二”的等价关系进行简单角度或线段的基础计算。
（2）核心方法：掌握圆心角、圆周角顶点位置的差异性；基础计算时紧扣圆心角定理的等价转化思路，识别图中的圆心角、圆周角与对应弧的对应关系即可快速求解。

【变式1】如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OC∥AD，OA∥CD，若AD=1，则BC的长为__________．
【答案】1
【分析】根据OC∥AD，OA∥CD，OA=OC可得四边形ADCO是菱形，则可得OA=AD，进而可得△OAD是等边三角形，∠OAD=60°，由OC∥AD可得∠BOC=∠OAD=60°，进而可得△OBC是等边三角形，则可得BC=OC=1．
本题考查了菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，以及圆的相关知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】
解：连接OD，BC，
∵OC∥AD，OA∥CD，
∴四边形ADCO是平行四边形，
又∵OA=OC,
∴四边形ADCO是菱形，
∴OA=OC=CD=AD=1，
又∵OA=OD，
∴OA=OD=AD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠OAD=60°，
∵OC∥AD，
∴∠BOC=∠OAD=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OC=1．
故答案为：1
【变式2】如图，AB 是⊙O的直径，AC=BD， 若∠ABC=30°，则∠COD的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角，根据圆周角定理求出∠AOC的度数，然后根据同弧所对圆心角相等求出∠BOD的度数，然后根据平角定义即可求解
【详解】解∶∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
∵AC=BD，
∴∠BOD=∠AOC=60°，
∴∠COD=180°−∠BOD−∠AOC=60°，
故选∶D．
【变式3】如图所示，已知AB是半圆的直径，O为圆心，点C在AB上，CD⊥AB于点D．若AD=2,CD=4，则AB的长为（）
A．8B．10C．4D．5
【答案】B
【分析】设半圆的半径为r，则AB=2r，圆心O到点A的距离OA=r，利用勾股定理列方程，解方程求半径，求AB的长度．
【详解】解：设半圆的半径为r，则AB=2r，圆心O到点A的距离OA=r，
∵AD=2，
∴OD=OA−AD=r−2，
连接OC，
∵CD⊥AB，
∴△ODC是直角三角形，
根据勾股定理： OC2=OD2+CD2，
代入已知CD=4、OD=r−2、OC=r，得：
r2=r−22+42，
解得，r=5，
∵AB=2r，
∴AB=2×5=10．
故答案为：B．
【中考链接1】如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为_______．
【答案】52.5°
【分析】方法一∶如图：连接OA,OB,OC,OD,AD,AB，由题意可得：OA=OB=OC=OD，∠AOB=50°−25°=25°，然后再根据等腰三角形的性质求得∠OAB=65°、∠OAD=25°，最后根据角的和差即可解答．
方法二∶ 连接OB,OD，由题意可得：∠BAD=105°，然后根据圆周角定理即可求解．
【详解】方法一∶ 解：如图：连接OA,OB,OC,OD,AD,AB，
由题意可得：OA=OB=OC=OD，∠AOB=50°−25°=25°，∠AOD=155°−25°=130°，
∴∠OAB=12180°−∠AOB=77.5°，∠OAD=12180°−∠AOB=25°，
∴∠BAD=∠OAB−∠OAD=52.5°．
故答案为52.5°．

方法二∶解∶ 连接OB,OD，
由题意可得：∠BAD=155°−50°=105°，
根据圆周角定理，知∠BAD=12∠BOD=12×105°=52.5°．
故答案为52.5°．

【中考链接2】如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F．
(1)求证：BC平分∠ABD；
(2)若AB=45，AD=8，求CF的长．
【答案】(1)
证明：∵ OC∥BD，
∴∠OCB=∠DBC．
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴ ∠OBC=∠DBC，
∴BC平分∠ABD．
(2)CF=25−2
【分析】本题考查的是平行线的性质，勾股定理的应用，平行线分线段成比例，三角形的中位线的性质，圆的基本性质，直径所对的圆周角是直角，证明OF=12BD是解本题的关键．
（1）根据平行线的性质及等腰三角形的性质可证；
（2）先根据勾股定理得到BD，再利用中位线的性质得到OF=12BD，最后利用CF=OC−OF即可得解；
【详解】（1）略
（2）解：∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°．
在Rt△ABD中，由勾股定理得
BD=AB2−AD2=(45)2−82=4．
∵OC∥BD，∠ADB=90°，
∴∠AFO=∠ADB=90°，
即OF⊥AD，
∴AF=DF．
∵ OA=OB，
∴OF为△ABD的中位线，
∴ OF=12BD=2．
∵AB=45，
∴OC=OB=25，
∴CF=OC−OF=25−2．
题型02 利用弧、弦、圆心角的关系进行求值与证明
【典例1】如图，OA、OB、OC均为⊙O半径，∠BOD=22°，AO⊥BO，点D为弧AC中点，则∠BOC= ________．
【答案】46°
【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题,垂线的定义理解，利用弧、弦、圆心角的关系求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
先根据垂直的意义得出∠AOB=90°，从而可得∠AOD+∠DOB=90°，结合∠BOD=22°，可求得∠AOD=68°，再利用弧的中点得出∠DOC=∠AOD=68°，从而可利用两角的差求得∠BOC．
【详解】解：∵AO⊥BO，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠DOB=90°，
∵∠BOD=22°，
∴∠AOD+22°=90°，
∴∠AOD=68°，
∵点D为弧AC中点，
∴∠DOC=∠AOD=68°，
∴∠BOC=∠DOC−∠BOD=68°−22°=46°，
故答案为：46°．
【典例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=20°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ）
A．28°B．60°C．55°D．40°
【答案】D
【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；先求出∠B，再根据等腰三角形的性质求出∠BCD，∠BCD即为弧BD的度数，即可得解．
【详解】解：∵∠ACB=90°,∠A=20°，
∴∠B=90°−∠A=70°，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠B=70°，
∴∠BCD=180°−70°−70°=40°，
∴弧BD的度数为40°，
故选：D．
【典例3】如图，射线AM交一圆于点B,C，射线AN交该圆于点D,E，且BC=DE．
(1)求证：AC=AE
(2)利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）求证：EF平分∠CEN
【答案】(1)证明：如图，作OP⊥AM，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO，
∵BC=DE，
∴BC=DE，
∵OP⊥AM，OQ⊥AN
∴BP=12BC=12DE=DQ，
∵OB=OD，
∴Rt△OBP≌Rt△ODQHL，
∴OP=OQ，
∵AO=AO，
∴Rt△APO≌Rt△AQOHL．
∴AP=AQ，
∵CP=EQ，
∴AP+CP=AQ+QE，即AC=AE；
(2)解：作图如下：
证明：∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，
∴∠ECM=∠CEN，
∵AF是CE的垂直平分线，
∴CF=EF，
∴∠FCE=∠FEC=12∠MCE=12∠CEN．
∴EF平分∠CEN．
【分析】（1）作OP⊥AM，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO，证△APO≌△AQO，由BC=DE，得CP=EQ后得证；
（2）按照要求作出图形，根据AC=AE得∠ECM=∠CEN，由CE=EF得∠FCE=∠FEC=12∠MCE=12∠CEN得证．
【详解】（1）略
（2）略
（1）考查方向：在“同圆或等圆”中，通过已知等弧、等弦或等圆心角来推导其他对应元素的相等关系；常结合等边三角形、等腰三角形，进行圆弧度数及线段长度的综合计算。
（2）核心方法：善用“弧→弦→圆心角”三个量的相互转化，若出现等弧或等弦，优先判定出对应等腰三角形（如连接半径）；若遇到60°的夹角，往往可构造等边三角形进行边角转化。

【变式1】如图，AO, CO是⊙O的半径，B是AC⏜的中点，连接AB, BC，点D在BC的延长线上．若∠OCD=130°，则∠AOC的度数为（ ）
A．160°B．130°C．100°D．80°
【答案】A
【分析】利用邻补角定义求出∠OCB，根据等腰三角形性质求出 ∠BOC，再利用弧中点性质得出∠AOB=∠BOC，最后求和即可．
【详解】解：连接OB，
∵点D在BC的延长线上，∠OCD=130°
∴∠OCB=180°−∠OCD=180°−130°=50°
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB=50°
∴∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB=180°−50°−50°=80°
∵B是AC⏜的中点
∴AB⏜=BC⏜
∴∠AOB=∠BOC=80°
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=80°+80°=160°．
【变式2】如图，OC是⊙O的半径，D是OC的中点，弦AB过点D，且AB⊥OC，垂足为D，那么ACB的度数为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，垂径定理．连接OA、AC，如图，根据垂径定理得到AC=BC，∠ADO=90°，再证明△OAC为等边三角形得到∠AOC=60°，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到AC的度数为60°，从而得到ACB的度数．
【详解】解：如图，连接OA、AC，
∵AB⊥OC，
∴AC=BC，∠ADO=90°，
∵D是OC的中点，
∴AD垂直平分OC，
∴OA=AC，
∴OA=OC=AC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴AC的度数为60°，
∴ACB的度数为120°．
故选：C．
【变式3】如图，在△ABC中∠C=90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
(1)若∠A=28°，求DE的度数；
(2)若BC=3，AC=4，求BD的长．
【答案】(1)34°
(2)185
【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形．
（1）先求出∠B的度数，再求出∠B所对的弧的度数，即可得出答案；
（2）作CH⊥BD，根据垂径定理得到BH=DH，再利用勾股定理计算出AB=5，接着利用面积法计算出CH=125，然后利用勾股定理计算出BH，从而得到BD的长．
【详解】（1）解：连接CD，
∵∠A=28°，∠ACB=90°，
∴∠B=62°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB=62°，
∴∠BCD=56°，
∴∠DCE=34°，
∴DE的度数为34°；
（2）解：作CH⊥BD，则BH=DH，
在Rt△ACB中，AB=BC2+AC2=32+42=5，
∵12CH⋅AB=12BC⋅AC，
∴CH=3×45=125，
在Rt△BCH中，BH=BC2−CH2=32−1252=95，
∴BD=2BH=185．
【变式4】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点B作OC的平行线，交⊙O于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作图形中，连接CD，求证：AC=CD．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】1）作∠ABD=∠AOC交⊙O于点D，即可求解；
（2）根据平行线的性质得出∠1=∠2,∠3=∠4，根据等边对等角得出∠1=∠3，即可得出∠2=∠4，进而得出AC⏜=CD⏜，即可证明AC=CD．
【详解】（1）解：如图所示，BD即为所求；
（2）解：如图所示，连接OD，
∵BD∥OC
∴∠1=∠2,∠3=∠4
∵OB=OD
∴∠1=∠3
∴∠2=∠4
∴AC⏜=CD⏜
∴AC=CD
【中考链接】如图，AB,AC是⊙O的弦，AB=AC，半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直，垂足分别为G，H，AM∥OF交OE于点M，AN∥OE交OF于点N，连接OA．
(1)求证：∠AOE=∠AOF；
(2)求证：四边形AMON是菱形；
(3)若AB=16，OA=10，则OM=_______．
【答案】(1)
证明：∵AB=AC，
∴AB=AC，
∵半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直，
∴AE=BE,AF=CF，
∴AE=BE=AF=CF，
∴∠AOE=∠AOF；
(2)
证明：∵AM∥OF，AN∥OE，
∴四边形AMON为平行四边形，
∵半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直，
∴AG=12AB,AH=12AC，
∵AB=AC，
∴AG=AH，
∵S四边形AMON=OM⋅AG=ON⋅AH，
∴OM=ON，
∴四边形AMON为菱形；
(3)253
【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证；
（2）先证明四边形AMON为平行四边形，等积法推出OM=ON，即可得证；
（3）垂径定理结合勾股定理求出OG的长，设OM=AM=x，在Rt△AGM中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）∵AB=16，
∴AG=12AB=8，
在Rt△AOG中，由勾股定理，得：OG=OA2−AG2=6，
由（2）知：四边形AMON为菱形，
∴设OM=AM=x，则：MG=OM−OG=x−6，
在Rt△AGM中，由勾股定理，得：x2=82+x−62，
解得x=253；
∴OM=253．
题型03 利用圆周角定理及其推论进行角度转化与论证
【典例1】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，连接OD，若∠CAB=22°，则∠BOD的度数是（ ）
A．12°B．22°C．44°D．40°
【答案】C
【分析】连接CO，由圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC=44°，再由垂径定理得到BD=BC，即可根据等弧所对圆心角相等求解．
【详解】解：连接CO，
∵BC=BC，
∴∠BOC=2∠BAC=2×22°=44°，
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴BD=BC，
∴∠BOD=∠BOC=44°．
【典例2】如图，在⊙O中，C是弧AB的中点，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
(1)求证：CD=CE；
(2)若D、E分别是OA、OB的中点，连接AC、BC，判断四边形ACBO的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明：∵ C是弧AB的中点，
∴AC⏜=BC⏜，
∴∠DOC=∠EOC，
∵CD⊥OA,CE⊥OB，
∴∠ODC=∠OEC=90°，
∴ 在△ODC和△OEC 中，
由∠DOC=∠EOC∠ODC=∠OECOC=OC，∴△ODC≌△OECAAS，∴CD=CE ．
(2)四边形ACBO是菱形
证明：如图连接AC、BC
由圆的性质知OA=OB=OC ，由D、E分别是OA、OB的中点，得AD=OD,BE=OE，
由△ODC≌△OEC知OD=OE，
∴ 在△ACD和△OCD中，
由AD=OD∠ADC=∠ODC=90°DC=DC，
∴△ACD≌△OCDSAS，
∴AC=OC=OA，
同理可证△OCE≌△BCE，
∴OC=BC=OB，
综上可得OA=OB=AC=BC ，故四边形ACBO是菱形．
【分析】（1）由C是弧AB的中点得到∠DOC=∠EOC，故可证明△ODC≌△OEC，从而CD=CE；（2）通过中点及圆的性质可知四边形ACBO四条边都相等，而四条边都相等的四边形是菱形．
【详解】（1）略
（2）略
（1）考查方向：考查“同弧或等弧所对的圆周角相等”这一核心定理，利用不同位置的圆周角进行等量代换；常结合三角形内角和、外角性质，在复杂图形中解决大角度的推导与论证问题。
（2）核心方法：找准“同一条弧”作为等角转化的桥梁，在图形中寻找公共弦，若存在两个圆周角在弦的同侧，则必定相等；同时结合邻补角、平行线等辅助定理进行综合推演。

【变式1】如图，AB是半圆O的直径，小宇按以下步骤作图：
（1）分别以A、B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于P点，连接OP与半圆交于C点；
（2）分别以A、C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于Q点，连接OQ与半圆交于D点；
（3）连接AD、BD、BC，BD与OC交于E点．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ）
A．BD平分∠ABCB．∠DAB=67.5°
C．CE=OE D．BC∥OD
【答案】C
【分析】利用基本作图可判断PO垂直平分AB，OD平分∠AOC，则∠AOC=90°，∠AOD=∠COD=45°，根据圆周角定理可得到∠ABD=∠CBD=22.5°，则可对A进行判断；根据圆周角定理推论得到∠ADB=90°，则利用互余可计算出∠DAB=67.5°，可对B进行判断；过E点作EH⊥BC于H点，根据角平分线的性质得到EO=EH，根据垂线段最短得到CE>EH，所以CE>OE，可对C进行判断；证明∠ODB=∠CBD，则有OD∥BC，可对D进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、由作法得PO垂直平分AB，OD平分∠AOC，
∴∠AOC=90°，∠AOD=∠COD=45°，
∵∠ABD=12∠AOD=22.5°，∠CBD=12∠COD=22.5°，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC，
∴A正确；
B、∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB=90°−22.5°=67.5°，
∴B正确；
C、过E点作EH⊥BC于H点，如图所示：
∵BE平分∠OBC，EO⊥BO，EH⊥BC，
∴EO=EH，
∵CE>EH，
∴CE>OE，
∴C错误，符合题意；
D、∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠OBD=∠CBD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BC，
∴D正确．
【点睛】本题解答的关键是过E点作EH⊥BC于H点，构造角平分线模型．
【变式2】如图，已知△ABC内接于⊙O，且圆心O在AC上，以点A为圆心，任意长为半径作弧分别交AB、AC于E、F点，再以F为圆心，FE长为半径作弧，交⊙A于另一点G，连接AG并延长交⊙O于D，连接BD，若∠CBD=55°，则∠C的度数为（ ）
A．55°B．45°C．35°D．25°
【答案】C
【分析】通过尺规作图痕迹得到相等的角，结合圆周角定理推出∠CAB的度数，再利用直角三角形两锐角互余的性质求解∠C的度数．
【详解】解：根据尺规作图的痕迹，可得∠CAB=∠CAD；
∵∠CBD=55°，
∴∠CAD=∠CBD=55°，
∴∠CAB=∠CAD=55°；
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°；
∴在Rt△ABC中，∠C=90°−∠CAB=90°−55°=35°．
【变式3】如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E为AD上一动点，O为BD的中点，AF⊥BE于点F，连接OF，则OF的最小值为_____．
【答案】1
【分析】根据AF⊥BE，得出F在以AB为直径的⊙G的一段圆弧上运动，进而根据中位线的性质求得GO=3，当F在GO上时，OF取得最小值，即可求解．
【详解】解：如图，设AB的中点为G，
∵AF⊥BE
∴F在以AB为直径的⊙G的一段圆弧上运动，
∵AB=4，则⊙G的半径为2
∵O为BD的中点，
∴GO=12AD=3
∴当F在GO上时，OF取得最小值为OG−GF=3−2=1．
【中考链接1】如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AC为⊙O的直径，且AB=BC，连接AB，BC，BD，CD，过点A作AE⊥BD，垂足为E．
(1)求∠BDC的度数；
(2)若BE=2，求CD的长．
【答案】(1)45°
(2)2
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得∠ABC=90°，根据等角对等边及三角形内角和得∠BAC=∠BCA=45°，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案；
（2）如图，过点C作CK⊥BD于点K，根据等角对等边推出DK=CK，证明△BCK≌△ABEAAS得CK=BE=2，然后根据勾股定理可得答案．
【详解】（1）解：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=12180°−∠ABC=12×180°−90°=45°，
∵在⊙O中，BC所对的圆周角为∠BAC、∠BDC，
∴∠BDC=∠BAC=45°；
（2）解：如图，过点C作CK⊥BD于点K，
∵AE⊥BD，
∴∠CKD=∠BKC=∠AEB=90°，
由（1）知：∠ABC=90°，∠BDC=45°，
∴∠CBK=90°−∠ABE=∠BAE，
∠DCK=90°−∠BDC=90°−45°=45°=∠BDC，
∴DK=CK，
在△BCK和△ABE中，
∠CBK=∠BAE∠BKC=∠AEBBC=AB，
∴△BCK≌△ABEAAS，
∴CK=BE=2，
∴DK=CK=2，
在Rt△CDK中，CD=DK2+CK2=22+22=2，
即CD的长为2．
题型04 利用“直径与直角”的互逆关系进行综合应用
【典例1】如图所示，BC是半圆O的直径，AD垂直BC于点D，BA=AF，BF与AD交于点E．
(1)求证：∠BAD=∠ACB；
(2)求证：AE=BE．
【答案】(1)证明：∵BC是半圆O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°．
又∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠ACB，
(2)
∵AB=AF，
∴∠ACB=∠ABF．
由（1）得∠BAD=∠ACB，
∴∠ABF=∠BAD，
∴AE=BE．
【分析】（1）根据题意得∠BAC=90°，∠ABC+∠ACB=90°．AD⊥BC，∠ADB=90°，再由各角之间的等量代换即可证明；
（2）利用圆周角定理得∠ACB=∠ABF，再由等量代换及等角对等边即可证明．
【详解】（1）略
（2）略
【典例2】如图，经过原点的⊙P与两坐标轴分别交于点A23,0和点B0,2，C是优弧OAB上的任意一点（不与点O、B重合），则∠BCO的值为（ ）
A．45°B．60°C．25°D．30°
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理以及逆定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是得到AB为圆的直径．
作辅助线构造等边三角形，连接AB，OP，根据∠AOB=90°可得AB为圆的直径，根据点A23,0和点B0,2可求解AB的长度，可得PB与PO的长度，由此可得△PBO为等边三角形，可求解∠BPO的度数，由此可解．
【详解】解：连接AB，OP，如图，
∵∠AOB=90°，
∴AB为圆的直径，
∵点A23,0和点B0,2，即OA=23，OB=2，
∴AB=OA2+OB2=232+22=4，
∴PB=PO=OB=2，
∴△PBO为等边三角形，
∴∠BPO=60°，
∴∠BCO=12∠BPO=12×60°=30°．
故选：D ．
（1）考查方向：考查“半圆（直径）所对的圆周角是直角”及“90°的圆周角所对的弦是直径”这两个互逆推论；常将圆的问题转化为直角三角形，结合勾股定理、相似或三角函数进行综合求解。
（2）核心方法：看到直径，立即连接端点构造直角三角形；看到90°的圆周角，立即思考其对应的弦是否为直径。利用直角三角形将圆内的线段计算转化为解直角三角形问题。

【变式1】如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是（ ）
A．48度B．64度C．96度D．132度
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理及推论，正确应用圆周角定理及推论是解题的关键．
第24秒时，射线CP旋转的角度是∠ACP=48°，利用同弧所对的圆心角与圆周角的关系求解即可．
【详解】解：连接OE，
∵∠ACB=90°，
∴A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上，
∴点E，A，B，C共圆，
∵射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，
∴∠ACE=2°×24=48°，
∴∠AOE=2∠ACE=96°．
∴点E在量角器上对应的读数是：96°．
故选：C．
2．如图，在矩形ABCD中，AB=12，AD=10，点P是矩形内部的一个动点，且∠ADP=∠BAP，则线段BP长的最小值为（ ）
A．8B．10C．12D．6
【答案】A
【分析】本题考查了圆的有关性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，由四边形ABCD是矩形，则有∠BAD=90°，所以∠BAP+∠PAD=90°，则∠ADP+∠PAD=90°，得∠APD=90°，点P是在以AD为直径的圆上运动，如图，连接OP，OB，又OP+PB≥OB，从而得当O、P、B三点共线时，BP最小，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAP+∠PAD=90°，
∵∠ADP=∠BAP，
∴∠ADP+∠PAD=90°，
∴∠APD=90°，
∴点P是在以AD为直径的圆上运动，如图，连接OP，OB，
∵OP+PB≥OB，
∴当O、P、B三点共线时，BP最小，如图，
由勾股定理得，OB=AB2+OA2=122+52=13，
∴BP=OB−OP=13−5=8，
故选：A．
【中考链接1】如图，点E是▱ABCD内一动点，且∠AEB=90°，AB=4，BC=7．
（1）△AEB面积的最大值为_______；
（2）连接CE，分别取CD、CE的中点M、N，连接MN．若∠BAD=120°，则线段MN长度的最小值为_______．
【答案】 4 67−22
【分析】（1）利用直径所对圆周角为90度确定点E的运动轨迹为以AB为直径的半圆，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和圆的性质解答即可；
（2）连接DE，利用三角形的中位线定理得到MN=12DE，则DE取得最小值时，MN长度最小，设AB的中点为O，连接OE，当O、E、D三点共线时，此时DE最小；过点O作OF⊥AD，交DA的延长线于点F，然后利用平行四边形的性质和勾股定理求得OF，进而得到DF，即可求得DE，进而得到MN．
【详解】（1）解：∵点E是▱ABCD内一动点，且∠AEB=90°，
∴点E的运动轨迹为以AB为直径的半圆，
取AB的中点O，连接OE，当OE⊥AB时，此时E与AB的距离最大，
即此时△AEB面积取得最大值，如图，
∵AB=4
∴OA=OB=OE=12AB=2，
∴△AEB面积的最大值=12AB⋅OE=12×4×2=4．
故答案为：4；
（2）连接DE，如图，
∵CD、CE的中点为M、N，
∴MN=12DE，
∴DE取得最小值时，MN长度最小．
由（1）可知，点E的运动轨迹为以AB为直径的半圆，设AB的中点为O，连接OE，
∴当O、E、D三点共线时，此时DE最小，如图，
由（1）可知，OE=OA=OB=2，
过点O作OF⊥AD，交DA的延长线于点F，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，BC=7，∠BAD=120°，
∴∠OAF=180°−∠BAD=60°，AD=BC=7，
∵OF⊥AD，
∴∠AOF=90°−∠OAF=30°，
∴AF=12OA=12×2=1，
∴OF=OA2−AF2=22−12=3，
∴DF=AD+AF=7+1=8，
∴OD=DF2+OF2=82+32=67，
∴DE=OD−OE=67−2，
∴线段MN长度的最小值=12DE=67−22．
故答案为：67−22．
【点睛】本题考查了直径所对圆周角等于90度，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点，解题关键是灵活运用上述知识点并得到点E的轨迹．
【中考链接2】如图，在△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，弦DF⊥BC，垂足为E．
(1)求证：AD=BD；
(2)若AB=10，DF=8，求⊙O的半径．
【答案】(1)证明：如图，连接CD，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CDB=90°，
又AC=BC，
∴AD=BD；
(2)256
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可；
（2）由（1）得出BD的长，利用垂径定理求出DE的长，在Rt△DEB中利用勾股定理求出BE的长，设⊙O的半径为r，则OD=r，OE=r−3，在Rt△DOE中利用勾股定理即可求出r．
【详解】（1）略；
（2）解：如图，连接OD，
∵弦DF⊥BC，BC为直径，DF=8，
∴DE=12DF=4，
∵AD=BD，AB=10，
∴BD=12AB=5，
在Rt△DEB中，BE=BD2−DE2=52−42=3，
设⊙O的半径为r，则OD=r，OE=r−3，
在Rt△DOE中，OD2=DE2+OE2，
∴r2=42+r−32，化简得6r=25，解得r=256，
∴⊙O的半径为256．
A组·基础过关
1．下列说法正确的是（ ）
A．圆的周长都相等
B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧
C．顶点在圆上的角叫做圆心角
D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形
【答案】B
【分析】本题考查了圆的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据圆的周长、圆弧、圆心角、扇形的定义分别判断即可．
【详解】解：A、半径相等的圆的周长相等，原说法错误，不符合题意；
B、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，正确，符合题意；
C、顶点在圆心的角叫做圆心角，原说法错误，不符合题意；
D、由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
2．如图，在⊙O中，A、B、D、F在⊙O上，点C在⊙O外．下面对角的叙述错误的是（ ）
A．∠BOD是圆心角B．∠BAF是圆周角
C．∠B=∠ODBD．∠C是圆周角
【答案】D
【分析】本题考查圆心角，圆周角，等腰三角形，熟练掌握圆心角、圆周角的定义，等腰三角形的性质是解题的关键．
根据顶点在圆心，两边与圆相交的角叫圆心角判定A；根据顶点在圆上，两边是圆的弦的角叫圆周角判定B；根据OB=OD，由等腰三角形的性质等边对等角判定C；根据顶点在圆上，两边是圆的弦的角叫圆周角判定D．
【详解】解：A、∠BOD是圆心角，正确，故此选项不符合题意；
B、∠BAF是圆周角，正确，故此选项不符合题意；
C、∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，正确，故此选项不符合题意；
D、∠C不是圆周角，原说法错误，故此选项符合题意；
故选：D．
3．如图，已知CD是⊙O的直径，⊙O的弦AB⊥CD于点E，若∠AOD=62°，则∠DCB的度数为（ ）
A．31°B．28°C．62°D．60°
【答案】A
【分析】由垂径定理可得AD=BD，由弧与圆心角之间的关系可得∠BOD=∠AOD=62°，再由圆周角定理可得答案．
【详解】解：∵CD是⊙O的直径，⊙O的弦AB⊥CD于点E，
∴AD=BD，
∴∠BOD=∠AOD=62°，
∴∠DCB=12∠BOD=31°．
4．如图△ABC中，∠C=90°,∠B=20°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，则AD的度数为（ ）
A．30°B．40°C．45°D．50°
【答案】B
【分析】如图，连接CD,先求解∠A=∠ADC=70°,∠ACD=40°, 再利用圆心角与弧之间的关系可得答案．
【详解】解：如图，连接CD,
∵∠C=90°,∠B=20°，
∴∠A=90°−20°=70°,
∵CD=CA,
∴∠A=∠ADC=70°,
∴∠ACD=180°−2×70°=40°,
∴AD的度数为：40°.
故选B．
【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键．
5．如图，点A,B,C在⊙O上，点D在⊙O外，CD与⊙O交于点E，AC，BE于点F．下列角中，弧AE所对的圆周角是（ ）
A．∠ADEB．∠ABEC．∠AFED．∠AOE
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键 ．直接运用圆周角的定义进行判断即可.
【详解】解：弧AE所对的圆周角是：∠ABE或∠ACE，
故选：B．
6．如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上．若∠ACB=26°，则∠AOB=（ ）
A．10°B．26°C．40°D．52°
【答案】D
【分析】利用圆周角定理，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍求解．
【详解】解：∠AOB=2∠ACB=2×26°=52°．
7．如图，AB是⊙O的直径，∠ADC=50°，则∠CAB的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
【答案】C
【分析】根据圆周角定理及其推论来求出∠ABC=∠ADC=50°，进而求出∠CAB即可．
【详解】∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°，
∵AC⏜=AC⏜，
∴∠ABC=∠ADC=50°，
∴ ∠CAB=180°−∠ACB−∠ABC=180°−90°−50°=40°．
8．如图：AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，连接AC、CD、AD，若∠ADC=60°，则∠BAC的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】D
【分析】连接BC，先利用同弧所对的圆周角相等，求出∠ABC的度数；再根据直径的性质得到△ABC是直角三角形，最后通过直角三角形两锐角互余计算出∠BAC的度数．
【详解】解：如图，连接BC．
∵∠ADC和∠ABC都是⊙O中弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠ADC=60°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴在Rt△ABC中，∠BAC=90°−∠ABC=90°−60°=30°．
9．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边AB重合．点D为斜边AB上一点，作射线CD交AB于点E，如果点E所对应的读数为50°，那么∠BCD=（ ）
A．65°B．70°C．50°D．45°
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
连接OE，根据题意可得：∠AOE=50°，然后根据圆周角定理可得：∠ACE=25°，再利用角的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：连接OE，
∵∠ACB=90°
∴点C在⊙O上，
由题意得：∠AOE=50°，
∴∠ACE=12∠AOE=25°，
∴∠BCD=∠ACB−∠ACE=65°，
故选：A．
10．如图，在⊙O中，AB=CD，有下列结论：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=BD，其中正确的有（ ）
A．②③④B．①②③④C．①②④D．①②③
【答案】B
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．
【详解】解：∵在⊙O中，AB=CD，
∴AB=CD，故①正确；
∵BC为公共弧，
∴AC=BD，
∴AC=BD，∠AOC=∠BOD，故②③④正确．
故选：B．
B组·能力提升
11．下列说法正确的个数有（ ）
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线垂直
③相等的圆心角所对的弦相等
④顶角相等的两个等腰三角形相似
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】根据垂线的性质判断①；根据平行线的判定判断②；根据圆心角、弧、弦的关系判断③；根据相似三角形的判定判断④．
【详解】解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①说法正确；
②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，故②说法错误；
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故③说法错误；
④因为等腰三角形的两个底角相等，故顶角相等的两个等腰三角形的底角也相等，故顶角相等的两个等腰三角形相似，④说法正确；
综上所述，正确的有①④，共2个．
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=56°，AB=AC，点D是BC上一动点（不与点B，C重合），则∠D的度数为（ ）
A．56°B．62°C．66°D．72°
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，弧与弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点．
先由弧与圆心角的关系得到AB=AC，然后利用等边对等角以及三角形内角和定理求得∠ABC=∠ACB=62°，再由圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵AB=AC，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=180°−∠BAC2=180°−56°2=62°，
∴∠D=∠ABC=62°，
故选：B．
13．阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，AB，BC为⊙O的两条弦ABAE，由此即可判断B错误；在CD上截取点G，使得CG=AB，连接EG，BE，CE，AE，先证出△BAE≌△GCE，根据全等三角形的性质可得BE=EG，再根据等腰三角形的三线合一可得BD=DG，由此即可判断C正确；先求出AF=CF，再根据圆周角定理可得∠ABF=∠CBF，由此即可判断D正确．
【详解】解：∵点E是ABC的中点，
∴AE=CE，
∵AB+BE=AE，
∴AB+BE=CE，则选项A正确；
如图，连接BE，CE，AE，
∵AE=CE，
∴AE=CE，
∵AB+BE>AE，
∴AB+BE>CE，则选项B错误；
如图，在CD上截取点G，使得CG=AB，连接EG，BE，CE，AE，
由圆周角定理得：∠BAE=∠GCE，
∵AE=CE，
∴AE=CE，
在△BAE和△GCE中，
AB=CG∠BAE=∠GCEAE=CE，
∴△BAE≌△GCESAS，
∴BE=EG，
∵ED⊥BC，
∴BD=DG，
∴CD=DG+CG=BD+AB，则选项C正确；
由题意，画出图形如下：
∵EF是⊙O的直径，
∴EAF=ECF，
又∵AE=CE，
∴AF=CF，
∴∠ABF=∠CBF，
∴BF平分∠ABC，则选项D正确；
故选：B．
14．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，将AC沿AC翻折与AB交于点D．若OA=3cm，BC的度数为30°，则AD=（ ）°
A．100B．120C．60D．30
【答案】B
【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系等知识点，作辅助线是解答本题的关键．
作D关于AC的对称点E，连接AE,BE,OE，则，然后再根据BC的度数为30°知∠CAB=15°，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得∠AOE=180°−60°=120°，即可解答．
【详解】解：如图，作D关于AC的对称点E，连接AE,BE,OE，则∠EAC=∠BAC,
∵BC的度数为30°，
∴∠CAB=15°，
∴∠EAB=2∠CAB=30°，
∴∠EOB=2∠EAB=60°，
∴∠AOE=180°−60°=120°，
∴AD的度数为120°．
故选：B．
15．如图，AB是⊙O的直径，C，D为O上的两点，若AB=6，BC=3，则∠BDC的大小是（ ）
A．60°B．45°C．30°D．15°
【答案】C
【分析】连接OC，可证得△BOC为等边三角形，则可求得∠BOC，再利用圆周角定理可求得答案．
【详解】解：如图，连接OC，
∵AB=6，BC=3，且AB为直径，
∴OC=OB=BC=3，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠BDC=12∠BOC=30°．
16．如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，AD是⊙O的直径．设∠DAB=α，∠DBC=β，则α与β的关系是 _______．
【答案】β=2α−90°
【分析】由直径所对的圆周角是直角得到∠ABD=90°，则可求出∠C=∠D=90°−α，由等边对等角得到∠BAC=∠C=90°−α，则可求出∠DAC=2α−90°，再由∠DAC=∠DBC=β可得β=2α−90°．
【详解】解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠D=90°−∠DAB=90°−α，
∴∠C=∠D=90°−α，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C=90°−α，
∴∠DAC=∠DAB−∠BAC=α−90°−α=2α−90°，
又∵∠DAC=∠DBC=β，
∴β=2α−90°．
17．如图，AB为⊙O的直径，C．D为直径两侧⊙O上两点，连接CD，BD，过C点作CE⊥AB于点E，若∠CBE=25°，则∠D的度数为________．
【答案】65°
【分析】根据直径得出ACB的度数为180°，根据圆周角定理求出AC的度数为50°，CB的度数为130°，最后根据圆周角定理进行求解即可．
【详解】解：∵AB为⊙O的直径，
∴ACB的度数为180°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∵∠CBE=25°，
∴AC的度数为2∠ABC=50°，
∴CB的度数为180°−50°=130°，
∴∠D=12×130°=65°．
18．如图，E是边长为6的正方形ABCD内一动点，且∠AED=90°，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，点G是BC的中点，连接FG，则FG的最大值为___________．
【答案】3+32/32+3
【分析】连接CF，证明△ADE≌△CDFSAS，则∠CFD=∠AED=90°，则点F在以CD为直径的圆H上，当G、H、F共线时，FG最大，即可求解．
【详解】解：连接CF，取CD的中点H，
由旋转的性质知，∠CDF=∠ADE，
∵AD=CD，DE=DF，
∴△ADE≌△CDFSAS，
∴∠CFD=∠AED=90°，
则点F在以CD为直径的圆H上，连接GH、FH，
当G、H、F共线时，FG最大，
则HF=12CD=3，GH=2CG=32，
则FG的最大值为3+32．
19．如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的⊙O的切线交AC的延长线于点E，且AE⊥ED．求证：AE+CE=AB．
【答案】
证明：过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，如图所示：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AE，DM⊥AB，
∴DE=DM，
在Rt△DAE和Rt△DAM中，
DE=DMAD=AD，
∴Rt△DAE≌Rt△DAMHL，
∴AE=AM，
∵∠EAD=∠MAD，
∴CD=BD，
∴CD=BD，
在Rt△DEC和Rt△DMB中，
DE=DMCD=BD，
∴Rt△DEC≌Rt△DMBHL，
∴CE=BM，
∴AE+CE=AM+BM=AB．
【分析】先由角平分线定理得到DE=DM，再由直角三角形全等的判定定理证明Rt△DAE≌Rt△DAMHL，得到AE=AM，再由圆中弦、弧和圆周角的关系得出CD=BD，再由直角三角形全等的判定定理证得Rt△DEC≌Rt△DMBHL，得出CE=BM即可得证．
【详解】略
20．如图，在ABC中， ∠BAC=90°，AB=AC=6，点D为底边BC上一点，⊙O是△ABD的外接圆，⊙O交AC于点F，过点A作AE∥BC，交⊙O于点E，连接EF，ED．
(1)求证：四边形AEDC为平行四边形；
(2)当∠ADB=60°时，
①求⊙O的半径；
②求△AEF的面积．
【答案】(1)
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵AE∥BC，
∴∠EAB=∠ABC，
∵∠EAB=∠EDB，
∴∠ABC=∠EDB，
∴∠ACB=∠EDB，
∴AC∥ED，
∵AE∥BC，
即AE∥DC，
∴四边形AEDC为平行四边形；
(2)①2；②3−12
【分析】本题考查了90度角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，平行四边形的判定，含30度直角三角形的性质，勾股定理及等腰三角形的性质等知识，熟练运用圆的相关知识是关键．
（1）由等腰三角形的性质、平行线的性质及同弧对的圆周角相等得∠ACB=∠EDB，从而AC∥ED，则两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形AEDC为平行四边形；
（2）①连接BF，则得BF是直径；由同弧对的圆周角相等得∠AFB=60°，从而得∠ABF=30°；设AF=x, 则BF=2x，由勾股定理建立方程求得x的值，求得BF，即可求得圆的半径；
②过点F作FH⊥EA交EA的延长线于点H，由同弧对的圆周角相等得∠AEF=30∘，再由AE∥BC得∠HAF=∠ACB=45°，在Rt△AHF中可求得AH=FH=1，再由含30度角直角三角形的性质及勾股定理可求得EH，进而求得AE，则由三角形面积公式即可计算出△AEF的面积．
【详解】（1）略
（2）解：①连接BF，如图，
∵∠BAC=90∘，
∴BF为⊙O的直径，
∵∠ADB=60∘，
∵∠AFB=∠ADB=60∘，
∴∠ABF=30∘，
在Rt△ABF中，设AF=x, 则BF=2x，
由勾股定理得：AF2+AB2=BF2，
∴x2+(6)2=(2x)2，
∴x2+6=4x2，
∵x>0，
∴x=2，
∴AF=2，
∴BF=2AF=22，
∴⊙O的半径为2；
②过点F作FH⊥EA交EA的延长线于点H，如图，
∵∠ABF=30∘，
∴∠AEF=∠ABF=30∘，
∵∠BAC=90°，AB=AC=6，
∴∠ACB=45°，
∵AE∥BC，
∴∠HAF=∠ACB=45∘，
在Rt△AHF中，AH=FH，AH2+HF2=2AH2=AF2，
∵AF=2，
∴AH=FH=AF2=1，
在Rt△EHF中，
∵FH=1，∠AEF=30∘，
∴EF=2FH=2，
由勾股定理得EH=EF2−FH2=3，
∴EA=EH−AH=3−1，
∴SΔAEF=12AE⋅FH=12×3−1×1=3−12．
C组·拓展延伸
21．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，AG，DC的延长线交于点F，连结DG，CG，下列结论正确的是（ ）
A．GD平分∠AGCB．EC=CF
C．GFAF=CFDED．∠FGC=∠AGD
【答案】D
【分析】连接BG，由垂径定理推出BD=BC，由圆周角定理推出∠BGD=∠BGC，∠AGB=90°，得到∠AGB=∠BGF，即可证明∠FGC=∠AGD．
【详解】解：如图，连接BG，
∵直径AB⊥CD，
∴BD=BC，
∴∠BGD=∠BGC，
∵AB是圆的直径，
∴∠AGB=90°，
∴∠BGF=180°−90°=90°，
∴∠AGB=∠BGF，
∴∠AGB−∠BGD=∠BGF−∠BGC，
∴∠FGC=∠AGD，
即选项D正确；
若GD平分∠AGC，则AD=CD，由已知条件无法证明AD=CD，故选项A错误；
根据垂径定理可得DE=CE，不能证明EC=CF，故选项B错误；
由已知条件无法证明GFAF=CFDE，故选项C错误；
22．如图，已知∠BAC=α（0°