初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）4 一元二次方程的应用测试题

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）4 一元二次方程的应用测试题试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2026九上·新华月考） 如图，在长70m、宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如图中阴影部分），要使空白部分面积是2450m2，若设路宽为xm，则x应满足的方程是
A．(40−2x)(70−3x)=2450B．(40−x)(70−x)=350
C．(40−2x)(70−3x)=350D．(40−x)(70−x)=2450
2．（2025九上·江油月考）如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程（ ）
A．30+x20+x=600B．30+2x20+2x=600
C．30−2x20−2x=1200D．30+2x20+2x=1200
3．（2026九上·龙马潭期末）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长及阔各几步”译文：一块矩形田地的面积是864平方步，它的长和宽共60步，问它的长和宽各是多少步?设这块矩形田地的长为x步，根据题意可列方程为( )
A．x(60+x)=864B．x+(60-x)=864x+(60-x)=864
C．2x+2(60-x)=864D．x(60-x)=864
4．（2025九上·沭阳月考）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为（ ）
A．x60−x=864B．xx−60=864C．x60+x=864D．2x+x+60=864
5．（2026九上·越秀期末）如图，在一块长8m，宽6m的矩形绿地内，开辟出一个矩形的花圃，使四周的绿地宽度相等.设花圃四周绿地的宽为 xm，若要使绿地的面积与花圃的面积相等，那么x满足的方程是( )
A．8−x6−x=12×6×8B．(8-x)(6-x)=6×8
C．8−2x6−2x=12×6×8D．(8-2x)(6-2x)=6×8
6．（2026九上·新会期末）如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的墙，另外三边用25m长的篱笆围成.为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为xm，若花圃的面积为80m2，所列方程正确的是（ ）
A．x（26-2x）=80B．x（24-2x）=80
C．（x-1）（26-2x）=80D．（x-1）（25-2x）=80
7．（2026九上·南山期末）如图，用48m长的篱笆靠墙(墙足够长)围成一个面积是300m2的长方形鸡场，鸡场有一个2m的门，求鸡场的长和宽．设与墙垂直的边长为 xm，所列方程是( )
A．x(46-2x)=300B．x(48-2x)=300
C．12x48−x=300D．x(50-2x)=300
8．（2024九上·武汉月考）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（ ）
A．π(x+3)2−x2=72B．πx2+32−x2=72
C．π(x+3)2−x2=36D．πx2+32−x2=36
9．（2025九上·青白江期末）如图，在一块长92m、宽60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠的宽为xm，根据题意列方程为（ ）
A．92−x60−x=885×6B．92−2x60−x=885×6
C．92−x60−2x=885×6D．92−2x60−2x=885
10．（2025九上·西塘月考）如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是18cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．40−4x2=18B．(8−2x)(5−2x)=18
C．40−2(8x+5x)=18D．(8−2x)(5−2x)=9
二、填空题
11．（2025九上·南山月考） 如图，小程的爸爸用一段 10m 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 5.5m）的矩形鸭舍，其面积为 15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个 1m 宽的门（由其它材料制成），则 BC 长为 m.
12．（2025九上·临洮期中）关于x的一元二次方程有一个根是一1，写出一个符合条件的一元二次方程： .
13．（2024九上·北京市月考）如图，将面积为25的正方形ABCD的边AD的长度增加a，变为面积为22的矩形AEGF．若正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等，则a的值是 ．
14．（2025九上·湘桥期中）广东茂名是中国荔枝主产区，占全国产量的35%．根据果农记录，2023年荔枝树平均每株产量为16千克，2025年平均每株产量达到25千克，每年的增长率基本相同．若设年平均增长率为x，依题意列方程得 ．
15．（2025九上·台州月考）台州市2023年的人均收入为6万元，2025年的人均收入7.26万元，若设人均收入的年平均增长率为x，根据题意，可以列出的方程为 .
16．（2025九上·南沙期末）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，则可列方程 ．
三、解答题
17．（2025九上·沙依巴克月考）如图，某小区计划在一块宽为20m，长为32m的矩形空地修建三条同样宽的道路，剩余的空地全部种植草坪，使草坪的面积为570m2，求道路的宽为多少米？
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：设 设路宽为xm， 根据题意，得：(40−2x)(70−3x)=2450。
故答案为：A.
【分析】把中间竖直的小道平移到一边，即可得出空白部分的长方形的长为：（70-3x）m，宽为：（40-2x ）m，根据长方形面积计算公式即可得出(40−2x)(70−3x)=2450。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：设彩纸的宽度为xcm，
由题意可得：30+2x20+2x=600+600，即30+2x20+2x=1200，
故选：D．
【分析】
设彩纸的宽度为xcm，题目给出的条件是：原本的画面是长为30cm、宽为20cm的矩形，现在要在这个矩形画面的四周都镶上宽度相同的彩纸，并且要求镶上的彩纸的面积和原画面的面积刚好相等，根据这个条件就可以列出对应的一元二次方程.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意设这块矩形田地的长为x步，则宽为(60-x)步
依题意得：x(60-x)=864.
故答案为：D.
【分析】设这块矩形田地的长为x步，再由矩形田地的长与宽的和是60步，可得出矩形田地的宽为(60-x)步，根据矩形田地的面积是864平方步，即可得出关于x的一元二次方程.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：设宽为x步，则长为60−x步
由题意，得：x(60−x)=864，
故选：A.
【分析】设宽为x步，则长为60−x步，根据矩形面积建立方程即可求出答案.
5．【答案】C
【解析】【解答】
解： 设花圃四周绿地的宽为 xm，根据题意列方程为：8−2x6−2x=12×6×8
故答案为：C
【分析】设花圃四周绿地的宽为 xm，观察图形阴影部分花圃的面积为8−2x6−2x，再根据绿地的面积与花圃的面积相等即绿地的面积占矩形面积的12，列式为12×6×8，两者建立等量关系列出方程即可解答.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：设与墙垂直的一边长为x m，由于垂直于墙的一边留1m宽的门，因此围成矩形花圃时，垂直于墙的两边实际占用的篱笆长度为2x−1 m（门的位置无需篱笆）。
∵篱笆总长为25m，
∴与墙平行的一边长为25−(2x−1)=26−2x m。
又∵花圃面积为80m2，矩形面积=长×宽，
∴可列方程为x(26−2x)=80。
故答案为：A
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，核心是根据矩形的边长关系和面积公式列方程。解题时先明确未知数的定义，再分析篱笆长度的实际分配（考虑门的宽度对垂直墙两边篱笆长度的影响），进而得出平行于墙的边长表达式，最后结合面积公式列出方程，匹配正确选项。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：设与墙垂直的边长为 xm，
∵ 篱笆总长48m，鸡场有一个2m的门，且墙足够长，
∴ 与墙平行的边长为 48−2x+2=(50−2x)m。
又∵ 长方形鸡场的面积为 300m2，根
据长方形面积=长×宽，可得方程 x(50−2x)=300，
故答案为：D
【分析】本题考查一元二次方程在实际几何问题中的应用，涉及长方形的周长和面积公式。解题时需先明确篱笆长度与长方形边长的关系，由于门的存在，与墙平行的边长需要用篱笆总长减去两个垂直墙的边长后再加上门的长度，再根据面积公式列出方程，进而确定正确选项。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是：πx2+32−x2=72
故答案为：B．
【分析】设正方形的边长是x步，则圆的半径为x2+3步，根据圆的面积公式、正方形面积公式，直接利用圆的面积减去正方形面积等于耕地面积，列出方程即可.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：设水渠的宽度为xm，
由题意得：92−2x60−x=885×6．
故答案为：B．
【分析】设水渠的宽度为xm，则六块矩形耕地拼在一起所得大矩形的长为(92-2x)m，宽为(60-x)m，根据矩形的面积公式结合六块小矩形的总面积为6×885m2，列出方程即可.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意，得8−2x5−2x=18，
故答案为：B．
【分析】根据剪去的正方形边长得到长方体纸盒的底面的长以及宽，再根据已知的底面积，即可列出符合题意的方程．
11．【答案】5
【解析】【解答】解：设BC长为xm，则AB的长为1210+1−x
由题意可得：1210+1−xx=15
解得：x=5或x=6(舍去)
故答案为：5
【分析】设BC长为xm，则AB的长为1210+1−x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
12．【答案】x2-2x+1=0
【解析】【解答】解：由题意可得：
x2-2x+1=0
故答案为：x2-2x+1=0
【分析】根据二次方程的定义即可求出答案.
13．【答案】3
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为25，
∴正方形ABCD的边长为5，
由题意得：DF=a,AF=5+a，
∵正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等，
∴2AE+AF=5×4，
∴AE=5−a，
∵矩形AEGF的面积为22，
∴AE⋅AF=22，即5−a5+a=22，
解得：a1=3,a2=−3，
∵a>0，
∴a=3，
故答案为：3．
【分析】根据正方形面积可得正方形ABCD的边长为5，由题意得：DF=a,AF=5+a，根据题意可得AE=5−a，再根据矩形面积建立方程，解方程即可求出答案.
14．【答案】161+x2=25
【解析】【解答】解：2023年荔枝树平均每株产量为16千克，每年的增长率基本相同．
设年平均增长率为x，
则2024年平均每株产量161+x．
2025年平均每株产量161+x2．
∵2025年平均每株产量达到25千克，
∴列方程161+x2=25．
故答案为：161+x2=25．
【分析】设年平均增长率为x，根据题意可得2024年和2025年荔枝树平均每株产量表达式，再根据题意，列出方程即可．
15．【答案】61+x2=7.26
【解析】【解答】解：设人均收入的年平均增长率为x，
依题意，得：61+x2=7.26．
故答案为：61+x2=7.26．
【分析】设人均收入的年平均增长率为x，根据温岭市2015年及2017年的人均收入，即可得出关于x的一元二次方程．
16．【答案】200(1+x)2=242
【解析】【解答】解：设该快递店揽件日平均增长率为x，列方程为200(1+x)2=242，
故答案为：200(1+x)2=242．
【分析】 根据题目描述，快递店揽件的数量呈日平均增长率变化。通过已知的第一天和第三天的揽件数量，我们可以建立一个关于日平均增长率x的方程200(1+x)2=242．
17．【答案】解：设道路的宽为xm，则草坪的长为(32−2x)m，宽为(20−x)m，
(32−2x)(20−x)=570，
x2−36x+35=0
解得：x1=1,x2=35（不合题意，舍去）
答：每条道路的宽为1米．
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的实际应用， 涉及矩形面积公式以及通过平移转化图形来简化问题的思想，解题的关键是设出未知数，列出方程，并掌握一元二次方程的解法．设道路的宽为xm，将种植草坪的部分通过评平移，可以拼成一个新的矩形，这个新矩形的长为(32−2x)m，宽为(20−x)m，根据矩形的面积公式S矩形=长×宽，结合“草坪的面积为570m2”可列出方程：(32−2x)(20−x)=570，解得：x1=1,x2=35，因为矩形的宽为20米，35＞20，不符合实际情况，所以舍去x=35，故道路的宽为1米，由此可得出答案.