初中北师大版（2024）第二章 一元二次方程4 一元二次方程的应用优秀第2课时导学案

这是一份初中北师大版（2024）第二章 一元二次方程4 一元二次方程的应用优秀第2课时导学案，共6页。学案主要包含了学习目标，复习导入，合作探究，典例精析，归纳总结等内容，欢迎下载使用。
第2课时 营销问题及其他问题
【学习目标】
1. 会用一元二次方程解决营销问题及其他类型问题.（重点、难点）
2. 进一步培养学生化实际问题为数学问题及分析问题、解决问题的能力．
学习重点：会用一元二次方程解决营销问题及其他类型问题.
学习难点：会用一元二次方程解决营销问题及其他类型问题.
【复习导入】
每到节日，各种促销迎面而来，如果你是商场经理，该如何定制营销方案呢？

【合作探究】
探究点1：利用一元二次方程解决营销问题
【典例精析】
例1 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500元. 调研发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销价每降低50元时，平均每天就能多售4台. 商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？
思考交流
(1) 在例1 中，如果设每台冰箱的定价应为 x 元，那么你能列出怎样的方程？
(2) 它与例1 中列出的方程有什么区别和联系？
例2 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个. 调查发现：售价在40 元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个. 为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应购进台灯多少个？
【归纳总结】
利润问题常见关系式基本关系：
(1) 利润＝售价－ ；
(2) 利润率＝ eq \f(进价,售价) ×100％；
(3) 总利润＝ ×销量.
练一练
1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件， 每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件，若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？
探究点2：传播问题与一元二次方程
例3 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析：
照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？
例4 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是133，每个支干长出多少小分支？
【归纳总结】
在分析例3和例4中的数量关系时它们有何区别？
2. 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
练一练
2. 某生物实验室需培育一群有益菌，现有 60 个活体样本，经过两轮培植后，总和达 24000 个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1) 每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2) 按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？

当堂反馈
1.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同.设共有x家公司参加商品交易会，则x满足的方程为( )
A.12x(x＋1)＝45B.12x(x－1)＝45
C.x(x＋1)＝45D.x(x－1)＝45
2.毕业典礼后，九年级(1)班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张毕业纪念卡，全班送贺卡共1640张，则九年级(1)班的人数为 .
3.经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有144人患上流感，按这样的传染速度，若3人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有 人.
4.某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时，每月能卖500件.已知该商品每涨价1元，每月销售量就会减少10件，为获得8000元的月销售利润，该商品售价应为多少元？
[延伸设问]在上述条件下，为了尽量减少库存，则该商品售价应定为 元.
参考答案
【合作探究】
探究点1：利用一元二次方程解决营销问题
【典例精析】
例1
解：设每台冰箱降价 x 元，根据题意，得
整理，得 x2 - 300x + 22500 = 0.
解这个方程，得 x1 = x2 = 150.
∴ 2900 - x = 2900 - 150 = 2750.
答：每台冰箱的定价应为 2750 元.
思考交流
(1)每台冰箱的定价为 x 元，则单件利润 (x - 2500)元，降价金额 (2900 - x) 元，
多卖 台.
解这个方程，得 x1 = x2 = 2750.
(2)联系：1. 等量关系完全相同：
单件利润×每日销售量 = 总利润5000；
2.答案一致：最终算出冰箱定价都是 2750 元.
3.未知数可互相换算：降价金额 = 2900－定价，
即x降价 = 2900－x定价，代入可互相变形.
区别：未知数含义不同：
原题：x = 降价的钱数，先求降价再算售价；
新设法：x = 冰箱实际定价，直接求出最终售价；
例2
解：设这种台灯售价上涨 x 元，根据题意，得
(40 + x - 30)(600 - 10x) = 10 000
解这个方程，得 x1 = 10，x2 = 40 (舍).
售价为：40 + x = 40 + 10 = 50 (元)
应购置台灯：600 - 10x = 600 - 10×10 = 500 (个)
练一练1.
解：设每件衬衫降价 x 元，根据题意，得
(40 - x)(20 + 2x) = 1200
解方程，得 x1 = 10，x2 = 20.
因为要尽快减少库存，所以 x = 10 舍去.
答：每件衬衫应降价 20 元.
探究点2：传播问题与一元二次方程
例3
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，得(1+x)2=121.解方程，得x1=10, x2 = -12（不符合题意，舍去）. 答：平均一个人传染了10个人.
思考： 第1种做法： 以1人为传染源,3轮传染后的人数是：(1+x)3=(1+10)3=1331（人）.
第2种做法：以第2轮传染后的人数121为传染源，传染一次后就是：121(1+x)=121(1+10)=1331（人）.
例4
解：设每个支干长出x个小分支，则，1+x+x2=133，即x2+x-132=0.解得x1=11， x2=-12（不合题意，舍去）. 答：每个支干长出11个小分支.
练一练2. 解：(1) 设每个有益菌一次分裂出 x 个有益菌，则
60(1 + x)2 = 24000.
∴ x1 = 19，x2 = −21(舍去).
∴每个有益菌一次分裂出 19 个有益菌.
(2) 三轮后有益菌总数为 60×(1+19)3 = 480000 (个).

当堂反馈
1.B 2. 41 3. 36
4.解：设该商品涨价x元.
根据题意得(50＋x－40)(500－10x)＝8000，
即x2－40x＋300＝0，
解得x1＝10，x2＝30.
当x＝10时，售价为50＋10＝60(元)；
当x＝30时，售价为50＋30＝80(元).
答：该商品售价应为60元或80元.
[延伸设问] 60