初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）4 一元二次方程的应用优质课第1课时教学设计

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）4 一元二次方程的应用优质课第1课时教学设计，共9页。

1.掌握列一元二次方程解决实际问题的方法．
2.培养学生将实际问题向数学模型转化的能力，根据实际问题中蕴含的相等关系列一元二次方程，并应用它解决实际问题，体会数学建模的思想．
3.初步认识一元二次方程的应用价值，发展学生分析和解决问题的能力．
重点：通过建立问题中的数量关系并建立一元二次方程模型．
难点：正确分析数学模型以解决平均变化率问题及行程（或动点）问题．
知识链接
解一元二次方程的方法有哪几种？列方程解决实际问题的基本步骤是什么？
探究点一：平均变化率问题与一元二次方程
前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，成本逐步下降，设下降率是x，则去年生产1吨甲种药品的成本是 5000（1－x） 元，如果保持这个下降率，那么今年生产1吨甲种药品的成本是 5000（1－x）2 元．
问题1：如果今年生产1吨甲种药品的成本是4050元，试求甲种药品成本的年平均下降率．
解：根据题意列方程，得5000（1－x）2=4050，
解方程，得x1=0.1，x2=1.9.
∵下降率不可为负，且不大于1.
∴x=0.1，即甲种药品成本的年平均下降率为10%．
某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求平均增长率是多少．
解：设平均增长率为x．
根据题意，得200＋200（1＋x）＋200（1＋x）2=950，
整理方程，得4x2＋12x－7=0.
解得x1=－3.5（舍去），x2=0.5=50%．
即平均增长率为50%．
思考：你能总结出有关增长率和下降率的有关数量关系吗？
若平均增长（或下降）百分率为x，增长（或下降）前的量是a，增长（或下降）n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a（1±x）n=b（其中增长取“＋”，下降取“－”）．
探究点二：利用一元二次方程解决行程（动点）问题
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m．
问题2：梯子顶端下滑1 m时，梯子底端滑动的距离大于1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动相等的距离呢？
解：设梯子顶端下滑x m时，梯子底端滑动x m，根据题意，得（8－x）2＋（6＋x）2=102，整理，得x2－2x=0，解得x1=0，x2=2.即梯子顶端下滑2 m．
问题3：如果梯子的长度是13 m，梯子顶端到地面的垂直距离为12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？
解：设梯子顶端下滑x m时，梯子底端滑动的距离和它相等，根据题意，得（12－x）2＋（5＋x）2=132，整理，得x2－7x=0.解得x1=0（舍），x2=7.即梯子顶端下滑7 m时与梯子的底端滑动的距离相等．
（教材P51例1）
1.为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶2500个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，则可列方程为( A )
A.1000(1＋x)2＝2500
B.1000(1－x)2＝2500
C.(1－x)2＋1000＝2500
D.x2＋1000＝2500
2.某种过季绿茶的价格两次大幅下降，原来每袋250元，现在每袋90元，则平均每次下降的百分率是 40％ .
3.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为 15＋15(1＋x)＋15(1＋x)2＝60 .