数学北师大版（2024）3 二次函数的应用优秀第3课时综合训练题

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本课核心问题
怎样把一个真实最优化问题完整地转化为二次函数问题，并判断顶点给出的答案在现实中是否有效？
一、学习目标
1. 能从运动、面积、销售、收入或测量情境中选择变量，建立二次函数，并准确写出自变量范围。
2. 能用待定系数法确定二次函数表达式，用配方或顶点求给定范围内的最大值、最小值。
3. 能把函数最值解释为实际方案，并通过端点、整数、单位和代回原式完成检验。
二、重点
• 建立二次函数模型并确定符合实际的自变量范围。
• 在有效范围内用配方、顶点和边界比较求最值。
三、难点
• 连续函数顶点与实际离散、边界、安全余量等条件之间的协调，以及结果的情境化检验。
学习支架
二次函数应用题六步法
1. 设变量：写清含义和单位
2. 列关系：由条件建立二次函数
3. 定范围：正数、区间、整数、容量等
4. 求最值：配方或顶点，必要时比较边界
5. 作解释：还原尺寸、价格、人数、高度等
6. 做检验：代回原式，核对单位、边界与现实合理性
喷水轨迹 y=-0.4x²+1.6x+0.8（0≤x≤4）
模型检验记录表
直角三角形内接矩形的完整条件示意
四、知识要点
1. 第一步：从情境建立模型，并同步确定范围
二次函数应用题不是先找公式，而是先说明变量。通常把要主动选择的量设为自变量x，把随它变化的目标量设为y。例如围栏问题中，x可以表示垂直于墙的一边长，y表示围成的面积；销售问题中，x可以表示调价次数，y表示利润。列函数时要把数量关系写完整：面积=长×宽，收入=单价×数量，利润=每件利润×销量，总误差可以用各次误差的平方和表示。只有整理后含有ax²+bx+c且a≠0，才是本课所用的二次函数模型。自变量范围是模型的一部分。长度必须为正，销量不能为负，人数和件数取整数，闭区间是否含端点要看情境。例如用24 m围三边，若两条宽均为x m，则另一边为(24-2x) m，由x>0且24-2x>0得到0