北师大版（2024）九年级上册（2024）4 一元二次方程的应用教学设计

这是一份北师大版（2024）九年级上册（2024）4 一元二次方程的应用教学设计，共4页。教案主要包含了核心素养目标，教学重点及难点，教学过程，随堂练习，课堂小结，板书设计等内容，欢迎下载使用。
1.利用一元二次方程解决简单的行程问题和几何问题；
2.在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤.
二、教学重点及难点
重点：能建立一元二次方程模型求解行程与几何实际问题.
难点：能从实际情境抽象等量关系列方程，掌握列方程解应用题的通用步骤.
三、教学过程
【新知导入】
还记得本章开始时的梯子滑动问题吗？
如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
设计意图：借用经典梯子滑动几何情境导入，前后章节内容呼应衔接，依托直角三角形勾股定理的旧知引出一元二次方程实际应用场景，快速调动学生已有知识储备，自然开启利用方程解决几何长度变化问题的新课学习.
【探究新知】
教师提出：在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？
选取两个学生代表在黑板上进行作答，其余学生在草稿纸上进行作答.作答完毕后，教师公布答案，并规范解题步骤.
解：设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米.
根据题意，有(8-x)2+(6+x)2=102，
整理，得x2-2x=0.
解这个方程，得x1=0(舍)，x2=2.
因此，梯子顶端下滑2米时，梯子底端滑动的距离和它相等.
教师追问：如果梯子长度是13m，梯子顶端与地面的垂直距离为12m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？
学生在草稿纸上进行作答，教师进行巡视指导，观察学生的作答进度，在绝大多数学生完成后，公布正确答案，并规范解题步骤.
解：设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米.
根据题意，得(12-x)2+(5+x)2=132，整理，得x2-7x=0.
解这个方程，得x1=0(舍)，x2=7.
因此，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离相等时为7m.
设计意图：在原有梯子问题基础上增设等量滑动距离的设问，由浅入深递进探究；通过学生板演、自主演算、教师巡辅订正的模式，让学生实操借助勾股定理建立一元二次方程模型，学会检验并舍去不符合实际意义的根.两组数据对比练习，强化几何实际问题建模思路，规范完整解题流程，提升学生提取等量关系、处理实际解取舍的能力.
如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200nmile处有一重要目标B，在B的正东方向200nmile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC中点.一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.
已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1nmile)？
学生根据题干回答以下问题：
(1)要求DE的长，需要如何设未知数？
(2)怎样建立含DE未知数的等量关系？
(3)利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？
(4)构造出Rt△DEF后，三条边长DE，DF，EF分别是多少？
答案预设：(1)一般求什么设什么，可设DE的长为xnmile.
(2)根据已知条件，可考虑利用勾股定理建立等量关系.
(3)连接DF，由三角形中位线得AB∥DF，从而DF⊥EF，构造出Rt△DEF.
(4)DF=100nmile，DE=xnmile，EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)nmile.
根据以上分析，教师引导学生解题.
解：连接DF.
∵AD=CD，BF=CF，
∴DF是△ABC的中位线.
∴DF∥AB，且DF=AB，
∵AB⊥BC，AB=BC=200nmile，
∴DF⊥BC，DF=100nmile，BF=100nmile.
设相遇时补给船航行了xnmile，
那么DE=xnmile，AB+BE=2xnmile，EF=AB+BF−(AB+BE)=(300−2x)nmile.
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2=1002+(300−2x)2.
整理，得3x2−1200x+100000=0，
解这个方程得，(不合题意，舍去).
所以，相遇时补给船大约航行了118.4nmile.
设计意图：选取海军巡航的行程几何综合应用题，层层拆解设问引导学生分步分析题意；借助三角形中位线性质搭建直角三角形，把行程速度路程关系与勾股定理结合构建一元二次方程模型.通过分步提问降低复杂应用题的理解门槛，训练学生拆解复杂题干、转化几何线段、筛选符合实际的方程根的综合解题能力，巩固用一元二次方程解决实际问题的完整流程.
通过以上探究学习，归纳运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤，学生做笔记.
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：
教师强调：在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求.
设计意图：借助流程图直观梳理完整解题闭环，把实操经验提炼成标准化解题流程，帮助学生形成固定解题思维框架；特意强调根的实际意义检验环节，纠正学生只解方程不取舍答案的常见疏漏，强化方程建模解决实际问题的严谨性，完成本节课方法体系的总结升华.
四、随堂练习
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，加深学生对新知的理解，牢牢掌握新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.利用一元二次方程解决简单的行程问题和几何问题；
2.运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤.
六、板书设计
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：