北师大版（2024）九年级上册（2024）4 一元二次方程的应用优质第1课时学案

这是一份北师大版（2024）九年级上册（2024）4 一元二次方程的应用优质第1课时学案，共12页。学案主要包含了学习目标，复习导入，合作探究等内容，欢迎下载使用。
第1课时 行程(动点)问题及平均变化率问题
【学习目标】
1. 掌握列一元二次方程解决行程(动点)、几何、变化率等问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性.
2. 理解将实际问题抽象为方程模型的过程，并能运用所学的知识解决问题．
学习重点：掌握列一元二次方程解决行程(动点)、几何、变化率等问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性.
学习难点：理解将实际问题抽象为方程模型的过程，并能运用所学的知识解决问题.
【复习导入】
还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？
如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m. 如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？

【合作探究】
探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题
(1) 在这个问题中，梯子顶端下滑 1 m 时，梯子底端滑动的距离大于 1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？
(2) 如果梯子的长度是 13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为 12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？
典例精析
例1 如图，某海军基地位于A处，在其正南方向 200 n mile 处有一目标B，在B的正东方向 200 n mile 处有一重要目标C. 小岛D位于AC 的中点，岛上有一补给码头，小岛F位于BC的中点. 一艘军舰沿A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.
已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里 (结果精确到0.1海里)？
练一练
1.如图，在矩形ABCD中，AB = 6 cm，BC = 12 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以 1 cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以 2 cm/s 的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后五边形APQCD的面积为 64 cm2？
探究点2：平均变化率问题与一元二次方程
前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x，则去年生产1 吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，那么现在生产1吨甲种药品的成本是 元.
例2 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 4050 元，试求甲种药品成本的年平均下降率.
注意：下降率不可为负，且不大于1.
例3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求平均增长率是多少？
想一想 你能总结出有关增长率和下降率的有关数量关系吗？
练一练
2. 前年生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是 3600元，试求乙种药品成本的年平均下降率.

当堂反馈
1.为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶2500个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，则可列方程为( )
A.1000(1＋x)2＝2500
B.1000(1－x)2＝2500
C.(1－x)2＋1000＝2500
D.x2＋1000＝2500
2.某种过季绿茶的价格两次大幅下降，原来每袋250元，现在每袋90元，则平均每次下降的百分率是 .
3.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为 .
4.随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从前年的200万元增长到今年的392万元.求该购物网站平均每年销售额增长的百分率.
书写通关
解：设 ，
根据题意得 .
解得 .
(x＝ 不合题意，舍去)
答： .
5.如图，在△ABC中，AC＝50m，BC＝40m，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由点C开始以3m/s的速度沿着CB边向点B匀速移动，几秒时，△PCQ的面积等于450m2？
书写通关
解：设xs时，△PCQ的面积等于450m2，
由题意可得AP＝ m，PC＝ m，CQ＝ m，
所以可得方程 .
解得 .
当x＝ 不合题意，舍去.
答： s时，△PCQ的面积等于450m2.
参考答案
【合作探究】
探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题
(1) 解：设梯子顶端下滑 x m 时，梯子底端滑动 x m ，根据题意，得
(8 - x)2 + (6 + x)2 = 102. x2 - 2x = 0
解得 x1 = 0 （舍）， x2 = 2.
答：梯子顶端下滑 2 m.
(2) 解：设梯子顶端下滑 x m 时，梯子底端滑动的距离和它相等，根据题意，得
(12 - x)2 + (5 + x)2 = 132，x2 - 7x = 0
解得 x1 = 0 (舍)，x2 = 7.
典例精析
例1 解：连接 DF.∵AD = CD，BF = CF，∴DF 是△ABC 的中位线.
∴DF∥AB，且 DF = 12 AB，∵AB⊥BC，AB = BC = 200 n mile，
∴DF⊥BC，DF = 100 n mile，DF = 100 n mile.
设相遇时补给船航行了 x n mile，那么DE = x n mile，AB + BE = 2x n mile，
EF = AB + BF - (AB + BE) = (300 - 2x) n mile.
在 Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程
x2 = 1002 + (300 - 2x)2.
整理，得 3x2 - 1200x + 100000 = 0，
解这个方程得 (不合题意，舍去).
所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 n mile.
练一练
1.解：设所需时间为 t s，根据题意，得
2t(6 - t)÷2 = 6×12 - 64.
整理得 t2 - 6t + 8 = 0.
解方程，得 t1 = 2，t2 = 4 .
答：在第 2 秒和第 4 秒是五边形面积是 64 cm2.
探究点2：平均变化率问题与一元二次方程
例2 解：设甲种药品的年平均下降率为 x. 根据题意，列方程，得
5 000 (1 - x)2 = 4050，
解方程，得 x1 = 0.1，x2 = 1.9.
根据问题的实际意义，取 x = 0.1，
即甲种药品成本的年平均下降率为 10％.
例3 解：设平均增长率为 x. 根据题意，得
200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 950，
整理方程，得 4x2 + 12x - 7 = 0.
解得 x1 = −3.5(舍去)，x2 = 0.5 = 50％.
答：平均增长率为 50％.
练一练
2. 解：设乙种药品的年平均下降率为 y. 根据题意，列方程，得
6000(1 − y)2 = 3600
解方程，得 y1≈0.225， y2≈1.775.
根据问题的实际意义，取 y≈0.225，
即甲种药品成本的年平均下降率为 22.5％.

当堂反馈
1.A
2. 40％ .
3. 15＋15(1＋x)＋15(1＋x)2＝60 .
4.
解：设 该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x ，
根据题意得 200(1＋x)2＝392 .
解得 x1＝0.4，x2＝－2.4 .
(x＝ －2.4 不合题意，舍去)
答： 该购物网站平均每年销售额增长的百分率为40％ .
5.
解：设xs时，△PCQ的面积等于450m2，
由题意可得AP＝ 2x m，PC＝ (50－2x) m，CQ＝ 3x m，
所以可得方程 12(50－2x)·3x＝450 .
解得 x1＝10，x2＝15 .
当x＝ 15时，CQ＝45m＞40m， 不合题意，舍去.
答： 10 s时，△PCQ的面积等于450m2.