初中数学21.3 实际问题与一元二次方程当堂检测题

这是一份初中数学21.3 实际问题与一元二次方程当堂检测题，共12页。试卷主要包含了3实际问题与一元二次方程等内容，欢迎下载使用。

第二十一章 21.3实际问题与一元二次方程
一、单选题（共10题；共20分）
1.某校组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式是（ ）
A. x（x+1）=28 B. 12 x（x-1）=28 C. x（x-1）=28 D. 2x（x-1）=28
2.某商品原价100元，连续两次涨价x%后售价为120元，下面所列方程正确的是( )
A. 100（1+2x%）2=120 B. 100（1+x2）2=120
C. 100（1-x%）2=120 D. 100（1+x%）2=120
3.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（ ）
​
A. 7m B. 8m C. 9m D. 10m
4.如果抛物线y=－x2+2(m－1)x+m+1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴正半轴上，B点在x轴的负半轴上，则m的取值范围应是( )
A. m>1 B. m>－1 C. m<－1 D. m<1
5.某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ）.
A. 19% B. 20% C. 21% D. 22%
6.某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为 （ ）
A. 120（1－x）2=100 B. 100（1－x）2=120
C. 100（1＋x）2=120 D. 120（1＋x）2=100
7.如图，形如 x2−6ax=b2 的方程的图解是：画 RtΔABC ，使 ∠ACB=90° ， BC=3a ， AC=b ，再以B为圆心， BC 长为半径画弧，分别交边 AB 及延长线于点D、E，则该方程的一个正根是（ ）
A. AE 的长 B. AB 的长 C. ED 的长 D. AD 的长
8.在俄罗斯民间流着这样一道数学趣题：甲、乙两人合养了若干头羊，而每头羊的卖价又恰与羊的头数相等，全部卖完后，两人按下面的方法分钱：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该找补给乙多少元？（ ）
A. 1元 B. 2元 C. 3元 D. 4元
9.为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元，设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为 ，则下列方程正确的是（ ）
A. B. ​
C. D. ​
10.某市2004年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2006年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ）
A. 300（1+x）=363 B. 300（1+x）2=363 C. 300（1+2x）=363 D. 363（1﹣x）2=300
二、填空题（共10题；共20分）
11.某服装原价120元，经两次打折，售价为100元，若两次打折幅度相同，设每次降价的百分数为x，则可列方程为 ________ ．
12.为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒价格由原来的60元降至48.6元．若平均每次降价的百分率是x，则关于x的方程是________ ．
13.某市体育局要组织一次篮球赛，每两队之间都赛一场，计划安排5天，每天4场比赛，设邀请x支球队参加比赛，则可以列出方程为________.
14.在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由今年9月份的7000元/m2下降到11月份的5670元/m2 ， 则10、11两月平均每月降价的百分率是________ ．
15.如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60米2 ， 两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为________米．
16.某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是________．
17.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有________个飞机场.
18.某初中毕业班的每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为纪念，全班共送了2550张照片，如果全班有x名学生，根据题意，可列方程________
19.某小组同学，新年时每人互送贺年卡一张，共送贺年卡56张，这个小组共有________ 人.
20.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为________ m．
三、解答题（共3题；共22分）
21.某单位通过旅行社组织职工去上海世博会.下面是领队与旅行社导游收费标准的一段话：
领队：每人的收费标准是多少？
导游：如果人数不超过30人，人均旅游费用为120元.
领队：超过30人怎样优惠呢？
导游：如果超过30人，每增加1人，人均旅游费用就降低2元，但人均旅游费用不得低于90元.
该单位按旅行社的收费标准组团参观世博会后，共支付给旅行社4000元.请你根据上述信息，求该单位这次参观世博会的共有几人？
22.一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字与十位数字互换后平方，所得的数值比原来的两位数大138，求原来的两位数.

23.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
四、综合题（共3题；共38分）
24.某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）．
注：步数×平均步长=距离．
（1）根据题意完成表格填空；
（2）求x；
（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长．
25.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．

（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：
（2）在（1）条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．

（3）在（1）条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？

26.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？请完成下列问题：
（1）未降价之前，某商场衬衫的总盈利为________ 元．
（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利________元，平均每天可售出________件（用含x的代数式进行表示）
（3）请列出方程，求出x的值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】【解答】若有x个队伍参赛，则比赛的场次一共为x+（x－1）+（x－2）+…+2+1= x（1+x）2 ，所以 x（1+x）2 =4×7，即 12 x（x－1）=28.
故答案为：B.
【分析】由题意得相等关系“球队总数×每支球队所需比赛的场数=比赛的时间×每天比赛的场数=7×4”，根据相等关系即可列方程求解.
2.【答案】 D
【解析】【分析】解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x)2=c，那么两次涨价后售价为100（1+x%)2 ， 然后根据题意可得出方程．
【解答】依题意得两次涨价后售价为100（1+x%)2 ，
∴方程为：100（1+x%)2=120．
故选D．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x)2=c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．
3.【答案】 A
【解析】【解答】设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣3）（x﹣2）=20，
解得：x1=7，x2=﹣2（不合题意，舍去）
即：原正方形的边长7m．
故选：A．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．
4.【答案】 B
【解析】【解答】解：由题意得 {m+1>04(m−1)2−4×(−1)×(m+1)>0 ，
解得m＞-1，
故答案为：B．
【分析】 对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
5.【答案】 B
【解析】【解答】设这两年平均每年绿地面积的增长率是x，根据题意列方程得： (1+x)2=1+44% ，解得x=0.2=20%，x=-2.2舍去.
故答案为：B.
【分析】设这两年平均每年绿地面积的增长率是x，根据题意列出方程，求出x的值，注意不合题意的要舍去.
6.【答案】 A
【解析】【分析】等量关系为：第一次降价后的价格×第二次降价占第一次降价的百分比=100．
【解答】第一次降价后的价格为120×（1-x)，那么第二次降价后的价格为120×（1-x)×（1-x)，∴可列方程为120（1-x)2=100．
故选：A
【点评】解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上得到的．
7.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵ RtΔABC ， ∠ACB=90° ， BC=3a ， AC=b ，
∴ AB=AC2+BC2=b2+(3a)2=9a2+b2
又∵ x2−6ax=b2
∴ x=6a±(−6a)2+4b22=6a±36a2+4b22=6a±29a2+b22
∴该方程的正根为 x=6a+29a2+b22=3a+9a2+b2
∴ x=3a+AB
∵ AE=AB+BE=3a+AB
∴x即为AE的长
故答案为：A.
【分析】用公式法解出一元二次方程的解，再表示出线段的长度，通过比较选择即可。
8.【答案】 B
【解析】
【分析】先设甲、乙两人合养了n头羊，两人先分了x次，每人每次10元，最后一次甲先拿了10元，乙拿了2y（0＜2y＜10，2y是整数)元，当甲找给乙钱后，甲乙都得到了（5+y)元，甲给了乙10-（5+y)=5-y元，再根据2y是奇数和偶数两种情况进行讨论即可．
【解答】设甲、乙两人合养了n头羊，两人先分了x次，每人每次10元，最后一次甲先拿了10元，乙拿了2y（0＜2y＜10，2y是整数)元，当甲找给乙钱后，甲乙都得到了（5+y)元，甲给了乙10-（5+y)=5-y元，
∴有n2=20x+10+2y，
∵（20x+10)个位为0，2y是完全平方数的个位数，2y=1，4，5，6，9，
若2y是奇数，则2y=1，5，或9，
∴20x+10+2y=20x+11，20x+15或20x+19，
∵20x+11、20x+15、20x+19除以4的余数都是3，它们不是完全平方数，
∴2y是偶数，2y=4或6，y=2或3．
若y=2，n2=20x+14=2（10x+7)，右边不是完全平方数
∴y=3，
∴甲应该找给乙5-3=2（元)钱．
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的整数根与有理根，解答此题的关键是根据题意设出相应的未知数，得出关于n、x、y的方程，再分类讨论
9.【答案】 B
【解析】【解答】根据题意可知：2007年投入的教育经费为 ，2008年投入的教育经费为 ，∴B所列方程正确．
【分析】将前一年的投入看作整体1．
10.【答案】 B
【解析】【解答】解：设绿化面积平均每年的增长率为x，
300（1+x）2=363．
故选B．
【分析】知道2004年的绿化面积经过两年变化到2006，绿化面积成为363，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意可列出方程．
二、填空题
11.【答案】 120（1﹣x）2=100
【解析】【解答】解：如果设每次降价的百分数为x，则两次打折后价格为120（1﹣x）2 ，
根据“经两次打折，售价为100元”可得出方程：
120（1﹣x）2=100．
故填空答案：120（1﹣x）2=100．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可参照增长率问题，如果设每次降价的百分数为x，可以用x表示两次打折后价格，根据“经两次打折，售价为100元”可得出方程．
12.【答案】 60（1﹣x）2=48.6
【解析】【解答】解：第一次降价后每盒价格为60（1﹣x），
则第二次降价后每盒价格为60（1﹣x）（1﹣x）=60（1﹣x）2=48.6，
即60（1﹣x）2=48.6．
故答案为：60（1﹣x）2=48.6．
【分析】本题可先列出第一次降价后药品每盒价格的代数式，再根据第一次的价格列出第二次降价的售价的代数式，然后令它等于48.6即可列出方程．
13.【答案】 12 x（x﹣1）＝20
【解析】【解答】解：设邀请x个队，每个队都要赛(x﹣1)场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得， 12 x(x﹣1)＝20，
故答案为： 12 x(x﹣1)＝20.
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数= 12 x（x-1），由此可得出方程.
14.【答案】 10%
【解析】【解答】解：设10、11两月平均每月降价的百分率是x，则10月份商品房成交均价是7000﹣7000x=7000（1﹣x），11月份商品房成交均价是7000（1﹣x）（1﹣x）=7000（1﹣x）2 ，
由题意，得7000（1﹣x）2=5670，
（1﹣x）2=0.81，
解得x1=0.1，x2=1.9（不合题意，舍去）．
答：10、11两月平均每月降价的百分率是10%．
故答案为：10%．
【分析】设10、11两月平均每月降价的百分率是x，那么10月份商品房成交均价为7000（1﹣x），11月份商品房成交均价为7000（1﹣x）2 ， 然后根据11月份的商品房成交均价为5670元/m2即可列出方程解决问题．
15.【答案】 1
【解析】【解答】解：设人行道的宽度为x米（0＜x＜3），根据题意得：
（18﹣3x）（6﹣2x）=60，
整理得，（x﹣1）（x﹣8）=0．
解得：x1=1，x2=8（不合题意，舍去）．
即：人行通道的宽度是1米．
故答案是：1．
【分析】设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米2 ， 列出一元二次方程，再进行求解即可得出答案．
16.【答案】 20%
【解析】【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，
故25（1﹣x）2=16，
解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去），
故该药品平均每次降价的百分率为20%．
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1﹣x），第二次后的价格是25（1﹣x）2 ， 据此即可列方程求解．
17.【答案】 6
【解析】【解答】设这个航空公司共有x个飞机场，
根据题意，得： 12 x（x﹣1）＝15
整理，得：x2﹣x﹣30＝0
解得x1＝6，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），
答：这个航空公司共有6个飞机场.
【分析】设这个航空公司共有x个飞机场，根据等量关系，列出方程，即可求解.
18.【答案】 x（x-1）=2550
【解析】【解答】全班有x名学生，那么每名学生送照片（x-1）张，全班应该送照片x（x-1）张，
则可列方程为：x（x-1）=2550．
故答案为：x（x-1）=2550．
【分析】如果全班有x名学生，那么每名学生送照片（x-1）张，全班应该送照片x（x-1），那么根据题意列出方程．找到关键描述语，根据等量关系列出方程；弄清每名同学送出的照片是（x-1）张是解决此题的关键．
19.【答案】 8
【解析】【解答】设这个小组有x人，那么每个人送的贺卡为x-1张，根据题意得：
x（x-1）=56
解得x=-7（不合题意舍去），x=8
【分析】设这个小组有x人，那么每个人送的贺卡为x-1张，那么根据题意可得出方程为x（x-1），即可列出方程求解．注意根据实际意义进行值的取舍．
20.【答案】 7
【解析】【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣3）（x﹣2）=20，
解得：x1=7，x2=﹣2（不合题意，舍去）
即：原正方形的边长7m．
故答案是：7．
【分析】本题可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m．根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．
三、解答题
21.【答案】 解：设共有x人，则人均旅游费为[120-2（x-30）]元
由题意得：x【120-2（x-30）】=4000
整理得：x1＝40,x2＝50
当x=40时，120—2（40-30）=100大于90
当x=50时，120—2（50.30）=80.小于 90（不合，舍去）
答：该单位这次参观世博会共又40人
【解析】【分析】设共有x人，则人均旅游费为[120-2（x-30）]元,根据人均旅游费用×旅游人数=支付给旅行社的费用，列出方程，解方程，求出x的值，然后根据人均旅游费用不得低于90元.对方程的解进行取舍，从而得出答案。
22.【答案】 解：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为(x+2)，
根据题意，得 (10x+x+2)2=10(x+2)+x+138.
解得x1=- 1411 (舍去)，x2=1.
答：原来的两位数为31
【解析】【分析】设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为(x+2)，原数表示为：10(x+2)+x，新数表示为：10x+x+2；根据新数的平方比原来的两位数大138列出方程，求解并检验即可。
23.【答案】 解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得
10（1+x）2=12.1，
解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意舍去）．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；
（2）今年6月份的快递投递任务是12.1×（1+10%）=13.31（万件）．
∵平均每人每月最多可投递0.6万件，
∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21=12.6＜13.31，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务
∴需要增加业务员（13.31﹣12.6）÷0.6=11160≈2（人）．
答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．
【解析】【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；
（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．
四、综合题
24.【答案】 （1）10000（1+3x）|0.6（1﹣x）
（2）解：由题意：10000（1+3x）×0.6（1﹣x）=7020
解得：x1= 1730 ＞0.5（舍去），x2=0.1．
则x=0.1，
答：x的值为0.1
（3）解：根据题意可得：10000+10000（1+0.1×3）=23000，
500÷（24000﹣23000）=0.5（m）．
答：王老师这500米的平均步幅为0.5米
【解析】【解答】解：（1）①根据题意可得：10000（1+3x）；②第二次锻炼的平均步长（米/步）为：0.6（1﹣x）；
故答案为：10000（1+3x）；0.6（1﹣x）；
【分析】（1）①直接利用王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍，得出第二次锻炼的步数；②利用王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x，即可表示出第二次锻炼的平均步长（米/步）；（2）根据题意表示出第二次锻炼的总距离，进而得出答案；（3）根据题意可得两次锻炼结束后总步数，进而求出王老师这500米的平均步长．
25.【答案】 （1）解：
（2）解：-10x2+1300x-30000=10000
解之得：x1=50，x2=80
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润，
（3）解：根据题意得
{1000−10x≥540x≥44
解之得：44≤x≤46，
w=-10x2+1300x-30000=-10（x-65）2+12250，
∵a=-10＜0，对称轴是直线x=65，
∴当44≤x≤46时，w随x增大而增大．
∴当x=46时，W最大值=8640（元）．
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．
【解析】【分析】（1）销售量y=600-减少的数量，售该品牌玩具获得利润w=（每件的售价-进件）×销售量y，即可求出结果。
（2）根据w=10000,建立方程求解即可。
（3）建立不等式组：销售单价≥44，且y≥540，解不等式组，再根据二次函数的增减性，即可求出结果。
26.【答案】 （1）900
（2）（45﹣x）；（20+4x）
（3）解：由题意得：（45﹣x）（20+4x）=2100，
解得：x1=10，x2=30．
因尽快减少库存，故x=30．
答：每件衬衫应降价30元
【解析】【解答】解：（1）20×45=900，
故答案为：900；（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利（45﹣x）元，平均每天可售出（20+4x）件，
故答案为：（45﹣x）；（20+4x）；
【分析】（1）利用销量20×每件的利润即可；（2）每件的盈利=原利润﹣降价；销量=原销量+多售的数量；（3）商场平均每天盈利数=每件的盈利×售出件数；每件的盈利=原来每件的盈利﹣降价数．设每件衬衫应降价x元，然后根据前面的关系式即可列出方程，解方程即可求出结果．项目
第一次锻炼
第二次锻炼
步数（步）
10000
①
平均步长（米/步）
0.6
②
距离（米）
6000
7020
销售单价（元）
x
销售量y（件）
1000-10x
销售玩具获得利润w（元）
-10x2+1300x-30000