初中数学沪科版（2024）九年级上册（2024）22.2 相似三角形的判定精品第3课时课堂检测

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本课核心问题
面对不同图形条件，怎样选取最简判定方法，并把对应关系写成无跳步的证明？
一、学习目标
1. 掌握平行线模型、AA、SAS、SSS及直角三角形特殊判定
2. 能够准确确定对应顶点并规范书写相似式与证明证据链
3. 会辨析夹角、三边比例和直角前提等条件边界，并能用反例说明条件不足
二、重点
• 依据已知条件选择相似三角形判定方法
• 按对应顺序书写相似式并形成完整证据链
三、难点
• 识别SAS的夹角与复杂图中的隐含等角，避免对应关系错位
学习支架
平行线截三角形模型
相似三角形判定条件对比
条件边界反例
相似证明四步链
1. 圈出已知并标依据
2. 确定判定方法所需条件
3. 写对应顶点链
4. 写相似式并回查顺序
四、知识要点
1. 先定对应，再写相似
若∠A=∠D、∠B=∠E，则第三组顶点必为C↔F，应写△ABC∽△DEF。相似式本身记录了对应关系：AB↔DE、BC↔EF、AC↔DF。证明前先写对应链，可避免把正确条件配成错误比例。结论必须来自前面的证据，不能只凭图形外观。
2. 平行线截三角形
在△ABC中，D、E分别在AB、AC或其延长线上，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC。证据链为：由平行得∠ADE=∠ABC、∠AED=∠ACB，再由AA判定相似。这个模型的核心不是图形大小，而是平行线产生两组对应角。
3. AA：两角分别相等
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么两个三角形相似。第三组角由内角和180°自动相等。常见等角来源有平行线、对顶角、公共角、同角或等角的余角相等。只有一组角相等通常不足以判定。
4. SAS：两边成比例且夹角相等
若AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D，则△ABC∽△DEF。∠A和∠D分别是上述两组边的夹角。使用时按“边比—夹角—边比”核查；若相等角不是两组比例边的夹角，就不能直接使用该判定。
5. SSS：三边成比例
若AB/DE=BC/EF=AC/DF，则△ABC∽△DEF。三组边必须一一对应且比值方向一致。只有两组边成比例不够，例如3、4、5与6、8、9的前两组比相等，第三组不相等，所以不相似。
6. 直角三角形的特殊判定
若两个三角形都是直角三角形，且斜边与斜边、一条直角边与对应直角边的比相等，则两个直角三角形相似。先由直角标记确定斜边，再列比；若题目给的是两条直角边，也可直接用SAS，因为夹角都是90°。
五、典型例题
【例1】
例1 在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC。求证：△ADE∽△ABC。
【例2】
例2 在△ABC和△DEF中，AB=6，AC=9，DE=8，DF=12，且∠A=∠D。判断两三角形是否相似。
【例3】
例3 两个三角形的三边分别为4、6、8和6、9、12。判断它们是否相似，并写出相似比。
【例4】
例4 Rt△ABC与Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=10，AC=8，DE=15，DF=12。判断两三角形是否相似。
同 步 练 习
相似证明四步链
1. 圈出已知并标依据
2. 确定判定方法所需条件
3. 写对应顶点链
4. 写相似式并回查顺序
★ 基础巩固
1. 若∠A=∠D，∠B=∠E，则△ABC∽△（________），边AC的对应边是（________）。
2. 有一组角对应相等的两个三角形一定相似。（________）（ ）
3. 已知AB/DE=AC/DF，要用SAS判定△ABC∽△DEF，还需补充（________）。
A. ∠A=∠D B. ∠B=∠E
C. ∠C=∠F D. AB=DE
4. 边长分别为3、4、5和6、8、9的两个三角形相似。（________）（ ）
5. 两个等边三角形一定相似，最直接的判定依据是（________）。
A. AA B. SAS
C. SSS D. 直角三角形特殊判定
6. 在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，若DE∥BC，则△ADE∽△（________）。
7. 两个直角三角形的斜边成比例，就能判定它们相似。（________）（ ）
8. △ABC中AB=5、BC=7、AC=9，△DEF中DE=10、EF=14、DF=18，正确的相似式是（________）。
A. △ABC∽△DEF B. △ABC∽△DFE
C. △ACB∽△DEF D. △BAC∽△DEF
★★ 能力提升
9. 在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，∠B=68°，∠C=47°。（1）写出相似三角形；（2）求∠A、∠ADE、∠AED。
10. △ABC中AB=9，AC=12；△DEF中DE=6，DF=8，且∠A=∠D=52°。求证：△ABC∽△DEF。
11. 两个三角形的边长分别为6、8、10和9、12、15。判断它们是否相似，并写出相似比。
12. Rt△ABC与Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=13，AC=5，DE=26，DF=10。判断两三角形是否相似，并写相似式。
用直尺、圆规或量角工具画出两个三角形，并标注边长和对应顶点。
13. 画两个相似但不全等的三角形，并标出对应顶点。要求：第一个三角形三边为4 cm、5 cm、6 cm，第二个三角形的相似比（第二个/第一个）为3/2；写出第二个三角形三边并说明判定依据。
★★★ 拓展延伸
14. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）求证：△BCD∽△BAC；（3）由相似关系证明CD²=AD·BD。
15. 在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，AD=4，DB=2，AE=6，EC=3。（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）求证：DE∥BC。
16. 同学甲说：“两个等腰三角形一定相似。”同学乙说：“两个直角三角形一定相似。”（1）分别判断；（2）各举一个反例；（3）各补充一个能保证相似的条件。
判定
必须确认
位置或数量边界
常用证据
平行线模型
DE∥BC
交点在另两边或延长线上
同位角、公共角
AA
两组对应角相等
只给一组角不够
平行、对顶角、余角
SAS
两边对应成比例且夹角相等
必须是比例边的夹角
比例计算、公共角
SSS
三边分别对应成比例
三组比必须同向且相等
边长或勾股定理
直角特殊判定
均为直角三角形，斜边和一直角边成比例
斜边不可误作直角边
直角标记、边比
不足条件
核查结论
边长3、4、5与6、8、9：两组边的比都是1/2。
第三组5/9≠1/2，两个三角形不相似；仅两边成比例不充分。