数学九年级上册（2024）22.3 相似三角形的性质精品第4课时课后练习题

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本课核心问题
已知两个三角形相似，怎样从相似比有依据地推出线段、周长和面积之间的数量关系？
一、学习目标
1. 掌握相似三角形对应高、中线、角平分线与周长的比等于相似比
2. 理解并会证明相似三角形面积比等于相似比的平方
3. 能够区分k与k²，解决正向、逆向及实际建模问题
二、重点
• 对应线段比、周长比与面积比的性质
• 从相似比正确选择k或k²建立数量关系
三、难点
• 性质证明中的对应链，以及由面积比反求相似比时的方向与开平方
学习支架
对应高与相似比
相似比k统领的数量关系
面积比边界
性质题四步法
1. 由相似式锁定对应
2. 声明前/后的相似比k
3. 按长度k或面积k²列式
4. 检查方向、单位与大小
四、知识要点
1. 对应线段的比
若△ABC∽△A′B′C′，相似比AB/A′B′=k，那么对应高、对应中线、对应角平分线之比都等于k。关键词是“对应”：从A与A′作向对应边BC与B′C′的同类线段，才可直接列比。
2. 对应高性质的证明
设CD、C′D′是对应高。由原三角形相似得∠B=∠B′；又∠BDC=∠B′D′C′=90°，所以△BCD∽△B′C′D′。于是CD/C′D′=BC/B′C′=k。证明链为：原相似给等角→高给直角→小三角形相似→读取对应边比。中线、角平分线的证明也要先构造并证明相应小三角形相似。
3. 周长比
相似三角形三组对应边的比都为k。利用等比性质，把三个分子与三个分母分别相加，可得C△ABC/C△A′B′C′=k。因此周长差问题可把两个周长分别设为ka与a，再用差量求解。
4. 面积比
取一组对应底与对应高：S△ABC/S△A′B′C′=(BC·CD)/(B′C′·C′D′)=k·k=k²。由面积比反求相似比时，k=正平方根(面积比)。例如面积比9/25，对应长度比与周长比都是3/5，不是9/25。
5. 性质的建模应用
遇到平行截线或内接图形，先证明小三角形与原三角形相似，再把图中的未知长度转化为相似比。若问题含面积，用k²；若含高、边或周长，用k。列方程后还要检查未知量是否小于原图相应长度、单位是否一致。
五、典型例题
【例1】
例1 已知△ABC∽△A′B′C′，CD、C′D′分别是BC、B′C′边上的高，相似比为k。证明CD/C′D′=k。
【解答】∵ △ABC∽△A′B′C′，∴ ∠B=∠B′，BC/B′C′=k。∵ CD⊥BC，C′D′⊥B′C′，∴ ∠BDC=∠B′D′C′=90°。∴ △BCD∽△B′C′D′（AA）。∴ CD/C′D′=BC/B′C′=k。
【点拨】图形描述：两组相似三角形分别向对应底边作高。证明的关键不是直接套结论，而是先证明由高分出的两个直角三角形相似。
【例2】
例2 △ABC∽△DEF，AB/DE=2/3。已知△ABC的中线AM=8，周长为30，面积为24，求对应中线DN、△DEF的周长和面积。
【解答】相似比k=2/3。AM/DN=2/3，得DN=12。C△ABC/C△DEF=2/3，得C△DEF=45。S△ABC/S△DEF=(2/3)²=4/9，得S△DEF=24×9/4=54。复核：后一个三角形较大，对应长度、周长和面积都应较大。
【点拨】同一个k统领长度与周长，面积必须使用k²。
【例3】
例3 两个相似三角形的面积比为36∶100，较大三角形周长为55 cm，求较小三角形周长。
【解答】面积比36∶100=9∶25。较小/较大的相似比k=√(9/25)=3/5。周长比等于相似比，所以较小周长/55=3/5。较小三角形周长=55×3/5=33 cm。复核：33/55=3/5，平方后为9/25。
【点拨】面积比开平方得到长度比；边长与周长为正，只取正平方根。
同 步 练 习
性质题四步法
1. 由相似式锁定对应
2. 声明前/后的相似比k
3. 按长度k或面积k²列式
4. 检查方向、单位与大小
★ 基础巩固
1. △ABC∽△DEF，相似比AB/DE=3/5，则对应高之比为（________），对应中线之比为（________）。
2. 两个相似三角形的相似比为4∶7，则周长比为（________）。
3. 两个相似三角形的相似比为2∶5，则面积比为（________）。
4. 相似三角形的面积比等于周长比。（________）（ ）
5. 两个相似三角形的面积比为9∶16，则较小与较大的周长比是（________）。
A. 9∶16 B. 3∶4
C. 81∶256 D. 4∶3
6. 若△ABC与△DEF的面积比为4∶9，则△DEF与△ABC的相似比为2∶3。（________）（ ）
7. 两个相似三角形的周长分别为24 cm和40 cm，则它们的相似比（前者/后者）为（________）。
8. 下列线段之比一定等于相似比的是（________）。
A. 任意两条高 B. 两条对应角平分线
C. 一条中线与一条高 D. 两条不对应的边
★★ 能力提升
9. △ABC∽△DEF，AB=8，DE=12，△ABC中BC边上的高为6。求△DEF中EF边上的对应高。
10. 两个相似三角形的相似比（小/大）为3/5，小三角形面积为45 cm²。求大三角形面积。
11. 两个相似三角形的一组对应边为8 cm和12 cm，周长相差20 cm。求两个三角形的周长。
12. 已知△ABC∽△A′B′C′，CM、C′M′分别是AB、A′B′边上的中线。若BC/B′C′=5/7，C′M′=14，求CM，并说明依据。
13. 如图，△ABC∽△A′B′C′，CD、C′D′是对应高。请补全“对应高之比等于相似比”的证明。
★★★ 拓展延伸
14. 在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC。已知S△ADE=16，四边形DBCE的面积为20。（1）求AD/AB；（2）求AD/DB。
15. 一块三角形铁皮底BC=80 cm，高AD=60 cm。要在其中加工矩形PQRS，SR在BC上，P、Q分别在AB、AC上，且PQ∶PS=2∶1。求矩形边长。
16. 已知△ABC∽△A′B′C′，CM、C′M′分别是对应中线，相似比为k。证明CM/C′M′=k。
参 考 答 案
第1题：3/5；3/5
【解析】对应高和对应中线都是长度，它们的比等于相似比。
第2题：4∶7
【解析】相似三角形周长比等于相似比。
第3题：4∶25
【解析】面积比等于相似比的平方：(2/5)²=4/25。
第4题：×
【解析】周长比等于k，面积比等于k²；只有k=1时二者数值相同。
第5题：B
【解析】周长比等于相似比，k=√(9/16)=3/4。
第6题：×
【解析】ABC/DEF的长度比为2/3；交换顺序后DEF/ABC应为3/2。
第7题：3/5
【解析】周长比等于相似比，24/40=3/5。
第8题：B
【解析】性质要求同类且对应。两条对应角平分线之比等于相似比。
第9题：9。
【解析】相似比ABC/DEF=AB/DE=8/12=2/3。设对应高为h，则6/h=2/3，得h=9。复核：较大三角形的高也按3/2放大。
第10题：125 cm²。
【解析】面积比小/大=(3/5)²=9/25。设大三角形面积为S，则45/S=9/25，S=45×25/9=125 cm²。
第11题：40 cm和60 cm。
【解析】周长比等于8/12=2/3。设两个周长为2x、3x，则3x−2x=20，x=20，所以周长分别为40 cm、60 cm。复核：40/60=2/3，差为20。
第12题：CM=10。
【解析】CM与C′M′是对应中线，其比等于相似比：CM/C′M′=BC/B′C′=5/7。因此CM=14×5/7=10。
第13题：证明见解析。
【解析】由原三角形相似，得∠B=∠B′。由高的定义，∠BDC=∠B′D′C′=90°，所以△BCD∽△B′C′D′（AA）。于是CD/C′D′=BC/B′C′，即对应高之比等于原三角形相似比。
第14题：（1）2/3；（2）2。
【解析】DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。S△ABC=16+20=36，因此(AD/AB)²=S△ADE/S△ABC=16/36=4/9。边长为正，AD/AB=2/3。设AD=2x、AB=3x，则DB=x，所以AD/DB=2。复核：面积比(2/3)²=4/9。数学思想：整体与部分转化，并由面积比开平方得到线段比。
第15题：48 cm和24 cm。
【解析】设PS=x cm，则PQ=2x cm。矩形对边平行，PQ∥BC，所以△APQ∽△ABC。小三角形相对于BC的高为60−x，于是PQ/BC=(60−x)/60，即2x/80=(60−x)/60。解得120x=4800−80x，200x=4800，x=24，2x=48。复核：48/80=36/60=3/5，且48∶24=2∶1。数学思想：用相似比把矩形的宽与剩余高度联系起来，建立方程。
第16题：证明见解析。
【解析】M、M′分别是AB、A′B′的中点，所以BM/B′M′=(AB/2)/(A′B′/2)=AB/A′B′=k。由原三角形相似，∠CBM=∠C′B′M′，且BC/B′C′=k。于是△CBM∽△C′B′M′（SAS），从而CM/C′M′=BC/B′C′=k。复核：相似式中C↔C′、B↔B′、M↔M′。数学思想：把中点条件转化为半边比例，再构造小三角形相似。量
关系
方向提醒
对应边、高、中线、角平分线
前/后=k
都是长度
周长
C前/C后=k
边长之和仍按k缩放
面积
S前/S后=k²
二维量，底和高各含一个k
由面积比反求k
k=正平方根(S前/S后)
边长为正，只取正根
错误
正确
相似比为2/3，所以面积比也是2/3。
面积比=(2/3)²=4/9；交换顺序则为9/4。