初中数学沪科版（2024）九年级上册（2024）22.2 相似三角形的判定评课课件ppt

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问题1 有两边对应成比例的两个三角形相似吗?
问题2 类比三角形全等的判定方法（SAS，SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？
改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？
我们来证明一下前面得出的结论：
如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′，
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D，使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A.∴ △A′DE≌△ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（可以简单说成：两边成比例且夹角相等的两个三角形相）．
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
对于 △ABC 和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB = A′C′ : AC. ∠B = ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等.
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：(1)AB = 5，AC = 3，∠A = 45°，A'B' = 10，A'C' = 6， ∠A = 45°；
又 ∠A′ = ∠A = 45°，∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
(2)∠A = 38°，∠C = 97°，∠A' = 38°，∠B' = 45° .
解：(2)∵∠B = 180° - ∠A - ∠C = 45°
∴∠B =∠B' = 45°.
又 ∠A′ = ∠A = 38°，∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
1. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F = 70°，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm. 求证：△DEF∽△ABC.
证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC.
2. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD = AE，AB = AC，∠DAB = ∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
证明：∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形，∴ AD = AE，AB = AC，
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE.
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
解：∵ AE = 1.5，AC = 2，
例2 如图，D、E 分别是 △ABC 的边 AC、AB 上的点，AE = 1.5，AC = 2，BC = 3，且 ，求 DE 的长.
又∵∠EAD=∠CAB，∴ △ADE ∽△ABC，
提示：解题时要找准对应边.
证明： ∵ CD 是边 AB 上的高，∴ ∠ADC =∠CDB = 90°.
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
例3 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且，求证 ∠ACB = 90°．
方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
∴△ADC ∽△CDB.
∴∠ACD = ∠B.
(1) 两个等边三角形相似 ( )(2) 两个直角三角形相似 ( )(3) 两个等腰直角三角形相似 ( )(4) 有一个角是 50° 的两个等腰三角形相似 ( )
2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使 △ABC ∽ △DBA 的条件是 ( ) A. AC : BC=AD : BD B. AC : BC=AB : AD C. AB2 = CD · BC D. AB2 = BD · BC
3. 如图 △AEB 和 △FEC (填 “相似” 或 “不相似”) .
4. 如图，已知 △ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB 上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似.
解析：当 △ADP ∽△ACB 时，AP : AB = AD : AC ，∴ AP : 12 = 6 : 8 ，解得 AP = 9；当 △ADP ∽△ABC 时，AD : AB = AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ，解得 AP = 4. ∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，△ADP 和 △ABC 相似．
5. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ，求 AD 的长．
又∵∠B =∠ACD，∴ △ABC ∽ △DCA，
6. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB · AD = AE · AC，求证 △ABC ∽△AED.
证明：∵ AB · AD = AE · AC，
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，即∠DAE =∠BAC，∴ △ABC ∽△AED.
又∵∠DAB =∠CAE，