初中数学沪科版（2024）九年级上册（2024）22.1 比例线段优秀第2课时课后练习题

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本课核心问题
怎样从线段或平行线图形中找准对应关系，并用比例式求长度、作推理和检验？
一、学习目标
1. 理解线段的比、成比例线段和比例中项，能统一单位后正确计算与判定。
2. 掌握比例的基本性质、合比性质和等比性质，能写明条件并完成规范变形。
3. 能依据平行条件辨认对应线段，运用平行线分线段成比例的基本事实及三角形推论解决问题。
4. 会把黄金分割关系转化为一元二次方程，并依据线段长度舍去不合题意的根。
二、重点
• 比例线段、比例中项与比例性质
• 平行线截线中的对应线段及比例式
三、难点
• 在不同图形位置中保持对应次序一致，并把几何条件、比例式、代数求解连成完整证据链。
学习支架
比例关系与使用边界
比例线段解题链
1. 统一单位或确认线段均为正
2. 圈出平行条件并配对对应线段
3. 按相同次序列比例
4. 交叉相乘或使用合比、等比
5. 求解并代回比例复核
平行于三角形一边的截线
四、知识要点
1. 线段的比、成比例线段与比例中项
用同一单位度量两条线段a、b，它们长度的比叫作这两条线段的比，记作a/b或a:b。先统一单位，再求比；比值是一个数，不带长度单位。四条线段a、b、c、d中，若a/b=c/d，就说它们成比例。a、d是比例外项，b、c是比例内项。若a:b=b:c，则b是a、c的比例中项。由b²=ac且线段长度为正，得b=√(ac)。
2. 比例的三类性质
基本性质：a/b=c/d等价于ad=bc，其中b≠0、d≠0。它既可用于判定比例，也可用于求未知项。合比性质：由a/b=c/d可得(a+b)/b=(c+d)/d，因为等式两边分别加1。等比性质：若a₁/b₁=a₂/b₂=…=aₙ/bₙ=k，且b₁+b₂+…+bₙ≠0，则(a₁+a₂+…+aₙ)/(b₁+b₂+…+bₙ)=k。证明时把aᵢ=k·bᵢ代入分子，提取k后约分。
3. 黄金分割中的方程模型
在线段AB上取点P，若AP>PB且AB:AP=AP:PB，则较长线段AP是AB与PB的比例中项，这种分割叫作黄金分割。设AB=a、AP=x，则PB=a-x，比例化为a/x=x/(a-x)。整理得x²+ax-a²=0。因为0PB，AB:AP=AP:PB。求AP（结果保留根式）。
【解答】设AP=x cm，则PB=(20-x) cm，且100，且各线段均为正，符合题意。（2）AB=AD+DB=9，所以AD/AB=6/9=2/3。另一边AC=AE+EC=8+4=12，AE/AC=8/12=2/3，与AD/AB相等，复核成立。数学思想：把平行线产生的几何对应关系转化为方程，再用合比关系交叉复核，体现转化化归与数形结合。
第15题：AP=15(√5-1) cm，PB=15(3-√5) cm。
【解析】设AP=x cm，则PB=30-x cm，且15