初中沪科版（2024）22.2 相似三角形的判定第3课时教案设计

这是一份初中沪科版（2024）22.2 相似三角形的判定第3课时教案设计教案主要包含了教学目标，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。
1.理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)
2.会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等.量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等.另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？
二、合作探究
探究点：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
【类型一】 直接利用判定定理判定两个三角形相似
已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是AB、CB延长线上的点，CE＝9，AD＝15，连接DE.若BC＝6，AC＝8，求证：△ABC∽△DBE.
解析：首先利用勾股定理可求出AB的长，再由已知条件可求出DB，进而可得到DB∶AB的值，再计算出EB∶BC的值，继而可判定△ABC∽△DBE.
证明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝eq \r(BC2＋AC2)＝10，∴DB＝AD－AB＝15－10＝5，∴DB∶AB＝1∶2.又∵EB＝CE－BC＝9－6＝3，∴EB∶BC＝1∶2，∴EB∶BC＝DB∶AB，又∵∠DBE＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△DBE.
方法总结：解本题时一定要注意必须是两边对应的夹角才行，还要注意一些隐含条件，如公共角、对顶角等.
【类型二】 添加条件使三角形相似
如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长度为________时，△ADP和△ABC相似.
解析：当△ADP∽△ACB时，eq \f(AP,AB)＝eq \f(AD,AC)，∴eq \f(AP,12)＝eq \f(6,8)，解得AP＝9.当△ADP∽△ABC时，eq \f(AD,AB)＝eq \f(AP,AC)，∴eq \f(6,12)＝eq \f(AP,8)，解得AP＝4，∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似.故答案为4或9.
方法总结：添加条件时，先明确已知的条件，再根据判定定理寻找需要的条件，对应本题可先假设两个三角形相似，再利用倒推法以及分类讨论解答.
【类型三】 利用三角形相似证明等积式
如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA的延长线于F.求证：AC·CF＝BC·DF.
解析：先证明△ADC∽△CDB可得eq \f(AD,CD)＝eq \f(AC,BC)，再结合条件证明△FDC∽△FAD，可得eq \f(AD,CD)＝eq \f(DF,CF)，则可证得结论.
证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠DAC＋∠B＝∠B＋∠DCB＝90°，∴∠DAC＝∠DCB，且∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴eq \f(AD,CD)＝eq \f(AC,BC).∵E为BC的中点，CD⊥AB，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠DCE，∵∠EDC＋∠FDA＝∠ECD＋∠ACD，∴∠FCD＝∠FDA，又∠F＝∠F，∴△FDC∽△FAD，∴eq \f(DF,CF)＝eq \f(AD,DC)，∴eq \f(AC,BC)＝eq \f(DF,CF)，∴AC·CF＝BC·DF.
方法总结：证明等积式或比例式的方法：把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边，然后证明两个三角形相似，得到要证明的等积式或比例式.
【类型四】 利用相似三角形的判定进行计算
如图所示，BC⊥CD于点C，BE⊥DE于点E，BE与CD相交于点A，若AC＝3，BC＝4，AE＝2，求CD的长.
解析：因为AC＝3，所以只需求出AD即可求出CD.可证明△ABC与△ADE相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出AD.
解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝eq \r(BC2＋AC2)＝eq \r(42＋32)＝5.∵BC⊥CD，BE⊥DE，∴∠C＝∠E，又∵∠CAB＝∠EAD，∴△ABC∽△ADE，∴eq \f(AB,AD)＝eq \f(AC,AE)，即eq \f(5,AD)＝eq \f(3,2)，解得AD＝eq \f(10,3)，∴CD＝AD＋AC＝eq \f(10,3)＋3＝eq \f(19,3).
方法总结：利用相似三角形的判定进行边角计算时，应先利用条件证明三角形相似或通过作辅助线构造相似三角形，然后利用相似三角形对应角相等和对应边成比例进行求解.
【类型五】 利用相似三角形的判定解决动点问题
如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，5AC－3AB＝0，点P从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，与此同时点Q从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动，经过多长时间△ABC和△PQC相似？
解析：由AC与AB的关系，设出AC＝3xcm，AB＝5xcm，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而得到AB与AC的长.然后设出动点运动的时间为ts，根据相应的速度分别表示出PC与CQ的长，由△ABC和△PQC相似，根据对应顶点不同分两种情况列出比例式，把各边的长代入即可得到关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，从而得到所有满足题意的时间t的值.
解：由5AC－3AB＝0，得到5AC＝3AB，设AB为5xcm，则AC＝3xcm，在Rt△ABC中，由BC＝8cm，根据勾股定理得25x2＝9x2＋64，解得x＝2或x＝－2(舍去)，∴AB＝5x＝10cm，AC＝3x＝6cm.设经过t秒△ABC和△PQC相似，则有BP＝2tcm，PC＝(8－2t)cm，CQ＝tcm，分两种情况：①当△ABC∽△PQC时，有eq \f(BC,QC)＝eq \f(AC,PC)，即eq \f(8,t)＝eq \f(6,8－2t)，解得t＝eq \f(32,11)；②当△ABC∽△QPC时，有eq \f(AC,QC)＝eq \f(BC,PC)，即eq \f(6,t)＝eq \f(8,8－2t)，解得t＝eq \f(12,5).综上可知，经过eq \f(12,5)或eq \f(32,11)秒△ABC和△PQC相似.
方法总结：本题的关键是根据三角形相似的对应顶点不同，分两种情况△ABC∽△PQC与△ABC∽△QPC分别列出比例式来解决问题.
【板书设计】
1.三角形相似的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
2.应用判定定理解决简单的问题.