初中数学沪科版（2024）九年级上册（2024）23.2 解直角三角形及其应用精品第4课时随堂练习题

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本课核心问题
面对角、边、仰俯角、方位或坡度等不同信息，怎样建立准确的直角三角形模型并选择最短、可检验的求解路径？
一、学习目标
1. 掌握解直角三角形的条件和基本关系，能根据不同已知组合选择适当方法求未知边、角
2. 能把仰角、俯角和坡度等实际语言转化为条件明确的直角三角形模型，并规范列式
3. 能完成含仪器高、两点观测或多段距离的应用问题，按要求处理单位与近似值并进行自检
二、重点
• 直角三角形边、角和边角关系的选择
• 仰角俯角、坡度及多三角形应用的建模流程
三、难点
• 从实际图景中准确确定水平线、铅垂线、距离和高度差，并在两个直角三角形间建立正确的线段和差
学习支架
Rt△ABC的六个元素
解直角三角形与应用建模七步法
1. 读题并统一单位
2. 画图、标直角和方向
3. 列出已知与所求
4. 选择同时含已知和所求的关系
5. 列式或方程并求解
6. 最后按题意舍入并带单位
7. 用角和、勾股、代回或情境边界自检
仰角与俯角：都从观察点的水平线量起
坡度模型：i=竖直高度/水平长度=tanα
条件—关系—自检速查
四、知识要点
1. 解直角三角形：先选关系，再计算
在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A、∠B所对的边分别为a、b，斜边AB=c。基本关系有：a²+b²=c²；A+B=90°；sinA=a/c，csA=b/c，tanA=a/b。已知其余五个元素中的两个，且至少一个是边，就能求出另外三个元素；只知道两个锐角只能确定形状，不能确定边长。关系选择以“同时出现已知和所求”为准。已知斜边c和A，求a用sin、求b用cs最直接；已知两直角边求角可用tan，求斜边用勾股定理；已知一条直角边和锐角，应先判断这条边相对该角是对边还是邻边。计算器求一般角时使用DEG模式。中间值保留足够位数，最后按要求舍入。一个完整答案还应写出另一锐角，并用A+B=90°或a²+b²=c²复核。
2. 仰角、俯角与测高模型
仰角和俯角都以观察点处的水平线为起始边：视线在水平线上方形成仰角，在下方形成俯角。若目标点与观察点不在同一高度，应先找“高度差”，不能直接把目标总高塞进三角函数。单点测高时，过仪器位置作水平线与目标铅垂线相交，形成直角三角形。水平距离为d、仰角为α，则目标高出仪器的部分h=d·tanα；若仪器高为h₀，总高H=h+h₀。飞机俯视地面点时，飞机处水平线与地面水平线平行，俯角等于地面点看飞机的仰角，可在同一个直角三角形中使用。画图必须标清视线、水平距离、铅直高度和仪器高，最终带上m等单位。
3. 两点观测、航行与测速：用共享高度连接两个三角形
当不能到达目标底部时，可在同一直线上的两个位置观测。设近点到目标底部的水平距离为x，两观测点间距为d，则远点距离为x+d；两式共享同一高度差h：tanα近=h/x，tanα远=h/(x+d)。通常近点仰角更大，这也是画图和列式的第一道合理性检查。航行和测速题也常由共享的垂距连接两个直角三角形。先根据东、西、南、北或道路方向画基准线和垂线，再分别求两个水平投影，最后取和或差。若求速度，先算路程除以时间得到m/s，再乘3.6换成km/h，才能和限速比较。数学结果必须翻译成“安全/不安全”“超速/未超速”等情境结论。
4. 坡度与坡角：区分三种长度
坡度i定义为坡面的铅直高度h与水平长度l之比，即i=h/l=tanα，其中α是坡面与水平面的夹角。坡度1∶m表示h∶l=1∶m，所以若竖高为h，水平长度为mh；坡面长度则是√(h²+m²h²)，不能把m h当作坡长。路基、水坝等梯形横断面通常分成左坡直角三角形、中间矩形和右坡直角三角形。下底宽=左侧水平投影+顶宽+右侧水平投影。坡角用α=tan⁻¹i求，坡长再由勾股定理求。复核时，坡长必须大于相应的竖高和水平长度；坡度越小，同样高度下水平铺展越长、坡角越缓。
五、典型例题
【例1】
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=38°，斜边c=12.5。解这个直角三角形（边长精确到0.1）。
【解答】∠B=90°-38°=52°。相对于∠A，a是对边，b是邻边。a=c·sinA=12.5sin38°≈7.6958≈7.7；b=c·csA=12.5cs38°≈9.8501≈9.9。所以A=38°，B=52°，C=90°，a≈7.7，b≈9.9，c=12.5。自检：用未舍入值检验a²+b²≈59.23+97.02=156.25=c²。
【点拨】边长只在最后舍入。若先把sin38°、cs38°过早取两位小数，勾股复核会出现较大偏差。
【例2】
例2 学生在距一棵树12 m处测得树顶仰角为41°，测角器中心离地1.5 m。求树高，精确到0.1 m。假设地面水平、树干铅直。
【解答】设树顶高出测角器水平线的部分为h。水平距离为12 m。tan41°=h/12，h=12tan41°≈10.4314（m）。树高H=h+1.5≈11.9314（m）≈11.9 m。答：树高约为11.9 m。自检：仰角小于45°，所以高度差应小于水平距离12 m；10.4 m符合，且总高应比高度差多1.5 m。
【点拨】三角函数算出的是树顶相对仪器的高度差，不能漏加测角器高度。
【例3】
例3 某路基横断面为梯形，上底宽8 m，高6 m；左、右坡度分别为1∶1.5和1∶2。求下底宽和两个坡角（底宽精确到0.1 m，坡角精确到1°）。
【解答】左侧水平投影=1.5×6=9（m），右侧水平投影=2×6=12（m）。下底宽=9+8+12=29.0（m）。左坡角α满足tanα=1/1.5，所以α≈33.69°≈34°；右坡角β满足tanβ=1/2，所以β≈26.57°≈27°。答：下底宽约29.0 m，左、右坡角约为34°、27°。自检：右坡坡度更小，因此水平铺展更长、坡角更小，与12>9、27°h且>mh
两点观测
近距x、远距x+间隔分别列tan
近点仰角应更大
典型已知
优先关系
可用自检
斜边c与锐角A
a=c·sinA，b=c·csA
a²+b²≈c²
两直角边a、b
tanA=a/b，c=√(a²+b²)
A+B=90°
水平距离d与仰角α
高度差=d·tanα
高度差应为正
坡度1∶m与竖高h
水平长度=mh，坡角=tan⁻¹(1/m)
坡长>h且>mh
两点观测
近距x、远距x+间隔分别列tan
近点仰角应更大