北师大版（2024）九年级上册（2024）第一章 特殊平行四边形2 菱形的性质与判定第2课时教案

这是一份北师大版（2024）九年级上册（2024）第一章 特殊平行四边形2 菱形的性质与判定第2课时教案，共3页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时

一、教学目标
1.理解并掌握菱形的判定定理，并会用菱形的判定定理进行证明和计算；
2.经历菱形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力.
3.能够用综合法证明菱形的判定定理，进一步发展演绎推理能力.
4.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.

二、教学重难点
重点：理解并掌握菱形的判定定理，会用菱形的判定定理进行证明和计算.
难点：探究证明菱形的判定定理.

三、教学过程
情境导入
教师活动：先提出问题让学生观察，然后再动画演示.
问题：观察下列实物中的菱形，说一说什么是菱形？
预设答案：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
追问：菱形具有哪些性质呢？
预设答案：
菱形的性质：①四条边相等；②对角相等；③对角线互相垂直平分.
设计意图：通过对实物中的菱形的直观观察及动画演示复习回顾菱形的概念和性质，为本节课要学习的内容作准备.
探究新知
活动一：菱形的判定定理
墙面伸缩式挂衣架的支撑构件为平行四边形结构，若该平行四边形的对角线平分一组对角，则此支撑构件为菱形.
提问：你知道是怎样判断它是一个菱形的吗？
设计意图：通过生活中的实例，提出如何判断一个图形是菱形，目的是为了学习菱形的判定方法.
预设答案：判断支撑构件是菱形，可以根据菱形的定义：
设计意图：明确菱形的定义可以作为判定菱形的方法之一.
追问：还有其他判定方法吗？
想一想：(1)由菱形的性质定理可知，如果一个四边形是菱形，那么它的四条边相等.反过来，四条边相等的四边形一定是菱形吗？为什么？与同伴进行交流.
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
提问：你能证明这个猜想吗？
预设答案：已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
设计意图：通过证明让学生明确菱形的判定定理，培养学生的逻辑推理能力.
总结：菱形的判定定理：
定理 四条边相等的四边形是菱形.
几何语言：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
设计意图：通过归纳进一步熟悉菱形的判定定理，培养归纳概括能力.
(2)菱形的对角线具有怎样的性质？写出它的逆命题，这个逆命题成立吗？为什么？与同伴进行交流.
预设答案：菱形的对角线互相垂直.
逆命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
追问：你能证明这个猜想吗？
教师可以考虑让学生分组尝试证明，并交流反馈.
已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC.
又∵ AC⊥BD，
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形.
设计意图：通过证明让学生明确菱形的判定定理，培养学生的逻辑推理能力.
做一做：用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形.转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形？
动画演示木条转动过程，当两根木条相互垂直时，动画演示用直尺测量一组邻边，通过测量及菱形的定义猜测出所得的四边形是菱形.
预设答案：当对角线互相垂直时，平行四边形会变成菱形.
设计意图：借助动态演示，让学生直观感知对角线的变化带来平行四边形的改变.体会对角互相垂直的平行四边形是菱形，自然引出菱形的判定定理.
总结：菱形的判定定理：
定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
几何语言：
∵在▱ABCD中，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形.
设计意图：通过归纳进一步熟悉菱形的判定定理，培养归纳概括能力.
活动二：尺规作菱形
做一做：(1)如图，已知线段a，请用尺规作菱形ABCD，使它的对角线AC=a.
预设答案：方法一：
(1)如图所示，作线段AC=a，
(2)分别以A，C为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D.
则四边形ABCD是菱形.
方法二：(1)如图所示，作线段AC=a，
(2)作线段AC的垂直平分线MN交AC于点O,
(3)分别在射线OM,ON上截取OB与OD,使OB=OD,依次连接A，B，C，D.则四边形ABCD是菱形.
追问：(1)中两种作法的依据分别是什么？同学之间交流一下吧！
(2)满足(1)中条件的菱形唯一吗？如果不唯一，那么你认为添加怎样的条件，就可以使作出的菱形是唯一的？与同伴进行交流.
预设答案：不唯一，如添加另一条对角线的长度等.
设计意图：鼓励学生实际操作，通过菱形的作图，引导学生探索出菱形的判定方法.
应用新知
教材例题
例1：已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AB=5，OA=2，OB=1.
求证：▱ABCD是菱形.
证明：在△AOB中，∵AB=5，OA=2，OB=1，∴ AB²=OA²+OB².
∴ △AOB是直角三角形，∠AOB是直角.
∴AC⊥BD.∴▱ABCD是菱形 (对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
设计意图：让学生在探究过程中进一步加深对菱形的判定定理的认识和理解，培养学生的应用意识.
课堂练习
【自选练习】
1.画一个菱形，使它的两条对角线的长分别为 4 cm 和 6 cm.
解：①作AC=6cm，取AC的中点O,
②作BD⊥AC，OB=OD=2cm，
③依次连接点A，B，C，D.
2.如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分． 添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．AC⊥BD B．AB=AD C．AC=BD D．∠ABD=∠CBD
分析：由题知四边形ABCD是平行四边形
A．依据：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
B．依据：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
D．先证△ABC是等腰三角形，得AB=BC再判定.
答案：C
3.已知：如图，在▱ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线分别与 AD，AC，BC 相交于点 E，O，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.
证明：在▱ABCD 中，AD∥BC，即 AE∥FC.
∴∠EAO=∠FCO
又∵EF为 AC 的垂直平分线，
∴AC⊥EF，OA = OC，
即∠AOE=∠COF=90°.
∴△FOC≌△EOA，即AE=FC.
∴四边形 AFCE 为平行四边形.
又∵AC⊥EF，
∴四边形 AFCE 是菱形.
【教材练习】
4.你能用折纸等办法得到一个菱形吗？动手试一试，并说明你的方法的正确性.
解：如图所示，折纸剪下的三角形展开后是四边相等的四边形，它是菱形.
5.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？
解：重叠的部分ABCD是菱形.理由如下：
∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.
∵两张纸条等宽，∴AE=AF.
又∵平行四边形面积S▱ABCD=BC∙AE=CD∙AF，∴BC=CD.
∴四边形ABCD是菱形.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1.菱形的判定定理有哪些？
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.