数学九年级上册（2024）25.2.3 因式分解法教学设计

这是一份数学九年级上册（2024）25.2.3 因式分解法教学设计，共3页。教案主要包含了教材分析，教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教材分析
因式分解法是人教版一元二次方程四种解法收尾内容，承接直接开平方法、配方法、公式法，是解特殊一元二次方程最简便的解法. 它以整式因式分解、乘法分配律、零乘积性质为前置知识，既是对前面三种解法的补充优化，也为后续一元二次方程实际应用、二次函数、分式化简、高次方程降次求解奠定运算基础. 在整章体系里，它完善一元二次方程解法体系，凸显“降次转化”这一解一元二次方程核心思想，同时衔接初中代数恒等变形主线，是代数运算体系关键节点，兼具工具性与思想性双重价值.
教材先借助竖直上抛实际问题列出方程10x-5x2 =0，结合实际意义引出因式分解解法；依托“若ab=0；则a=0或b=0”原理，讲解因式分解法降次解方程的原理；通过例4两类典型题型，讲解移项整理、提公因式、平方差因式分解解方程步骤；对比配方法、公式法、因式分解法各自优缺点，归纳解一元二次方程通用思路“二次化一次、降次求解”；最后设置分层练习题，包含基础解方程、实际几何面积应用题，巩固解法并落地实际应用，由实际情境——原理推导——例题示范——方法对比——习题应用，逻辑层层递进，由具象到抽象，由方法学习到思想提炼.

二、教学目标
1.掌握因式分解法解一元二次方程步骤，理解零乘积原理，能规范用提公因式、平方差分解解方程.
2.会先移项整理方程为一边为 0 形式，辨析 “或” 逻辑含义，能根据方程特点择优选用三种解法.
3.经历实际列方程→因式分解降次→归纳解法的探究过程，深化 “二次转一次” 转化思想.
4.感受解法多样化与简便性，养成先观察再选法的运算习惯，体会数学简化思想的实用价值.

三、教学重难点
重点：掌握因式分解法解一元二次方程步骤，理解零乘积原理，能规范用提公因式、平方差分解解方程.
难点：会先移项整理方程为一边为 0 形式，辨析 “或” 逻辑含义，能根据方程特点择优选用三种解法.

四、教学过程
复习回顾
问题1：我们学过的解一元二次方程的方法有哪些?
答：(1)直接开平方法：x2=a(a≥0)或(mx+n)2=a(a≥0)
(2)配方法：(x+h)2=k(k≥0)
(3)公式法：x＝−b±b2−4ac2a (b2-4ac≥0)
问题2：将下列各题因式分解：
(1)am +bm +cm= .
(2)a2-b2= .
(3) a22ab+b2 = .
答：(1)m(a+b+c)；(2) (a+b)(a-b)； (3) (ab)2
师生活动：教师抛出两个回顾问题，点名学生口头回答一元二次方程三种解法；再请三名学生依次上台填写因式分解结果，其余学生草稿书写核对，师生共同订正纠错，梳理提公因式、平方差、完全平方公式.
设计意图：唤醒旧知，衔接因式分解与解方程知识，为因式分解法降次解方程铺垫基础，搭建新旧知识桥梁，顺势引出本节课新知.
探究新知
活动一：探究用因式分解法解一元二次方程
问题3：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 后的离地高度(单位：m)约为 10x-5x2 .
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面?
师生活动：教师抛出竖直上抛实际问题，引导学生列方程；学生先用配方法、公式法解题，教师顺势提问简便解法，组织学生探究因式分解降次思路，讲解零乘积原理，师生共同归纳因式分解法定义、依据与解题实质.
设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为0 m ，即 10x-5x2= 0
自己尝试用学过的方法解这个一元二次方程.
问题4：解一元二次方程10x-5x2=0 .
方法一：配方法
解：二次项系数化为1，得： x2-2x=0
配方，得： x2-2x+12=12
(x-1)2=1
由此可得 x-1=1
即 x1=0，x2=2
方法二：公式法
5x2-10x= 0
因为a=5，b=-10，c=0，
所以Δ=b2-4ac=100>0
方程有两个不相等的实数根
x=−b±b2−4ac2a=−−10±1002×5=10±1010
即 x1=0，x2=2
问题5：用配方法或公式法解方程10x-5x2=0 都不简单，你能想到别的简单方法解这个方程吗?
思路：方程的右边为0，左边可以因式分解，得x(10-5x) = 0
这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0.
我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0.
知识小贴士：如果ab=0，那么a=0，或b=0.
结论：利用“因式的乘积为0”的性质，可以求解此类方程.
①因式分解
原方程10x-5x2=0可因式分解为 x(10-5x)=0
②求根
由乘积为零的性质，得 x=0，或(10-5x) = 0
解得 x1= 0，x2=2.
结论：方程10x-5x2=0的两个根是 x1= 0，x2=2
③实际意义
对于这两个根，x1=0表示物体抛离地面的时刻，即在 0 s 时物体被抛出，此刻物体的高度是 0 m ；而x2=2表示物体在抛离地面 2 s 时落回地面.
问题6：解方程10x-5x2=0时，二次方程是如何降为一次的?
答：可以发现，在上述解法中，由10x-5x2＝0到x=0或10-5x=0的过程，不是用开平方降次，而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
总结：适合用因式分解法求解的一元二次方程的特点：方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式乘积的形式.
因式分解法的理论依据：若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0．
实质：将一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程．
注意：(1)解方程时需先将方程右边化为 0，再对左边因式分解.
整理后缺项的一元二次方程用因式分解法求解较简单.
设计意图：依托实际情境引出新知，对比旧解法凸显因式分解法简便性，理解降次转化核心思想，明晰解法原理与适用特征，完成新知自然生成.
问题7：解下列方程：
(1) x(x-2)＋x-2=0； (2)5x2-2x-14=x2-2x+34．
师生活动：教师出示两道典型例题，先让学生独立尝试求解，指名学生板演解题过程；师生共同订正点评，分析整体提公因式、平方差分解技巧，再组织学生分组梳理因式分解法四步解题步骤，教师补充丢根易错提醒.
解：(1)左边因式分解，得 (x-2)(x+1)=0．
于是 x-2=0，或x+1=0．
即 x1=2，x2=-1．
总结：因式分解法解一元二次方程，不必急于化为一般式，应先观察式子特征，有公因式就提取；如本例中把 x－2 看作一个整体提公因式，解题更简便．
(2)移项、合并同类项，得 4x2-1=0．
左边因式分解，得 (2x+1)(2x-1)=0．
于是 2x+1=0，或2x-1=0，
即 x1=-12 ，x2=12．
总结：常用方法：(1) 提公因式法：把多项式各项的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式．
(2) 逆用平方差公式(a＋b)(a-b)＝a2-b2和完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2来分解因式．
问题8：你能根据前面的解题过程，总结出用因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？
(1)移：移项，将方程的右边化为0.
(2)分：将方程左边分解为两个一次因式的乘积.
(3)化：令每个因式等于0，转化为两个一元一次方程.
(4)解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
简记歌诀：右化零，左分解，两因式，各求解.
注意：不能随意在方程两边约去含未知数的代数式，如x(x-1)=x，若约去x，则会丢失x=0这个根.
设计意图：巩固因式分解解方程的实操方法，突破整体分解难点，归纳标准化解题流程，明确易错陷阱，夯实本课解题规范，深化降次转化的核心思想.
活动二：探究择优合适方法解方程
问题9：学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗?
师生活动：教师抛出对比问题，组织学生小组交流三种解法特点，小组代表发言汇总；师生共同梳理不同形式方程的最优解法选择策略，提炼“降次转化”核心思路，教师点拨归纳解题择优判断技巧，完善知识体系.
答：配方法： 配方法要先配方，再开方，进而降次.
公式法： 直接利用求根公式解方程.
因式分解法：因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.
总结：配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便.
总之，解一元二次方程的基本思路是：先将二次方程化为两个一次方程，即降次，再分别解两个一次方程.
一元二次方程的解法选择：
1.一般地，当一次项系数为0时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法.
2.若常数项为0(ax2+bx=0)，应选用因式分解法.
3.化为一般式(ax2+bx+c=0)后，若一次项系数和常数项都不为0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法，系数含根式时也可选公式法.
设计意图：辨析三种解法优劣，建立方程题型与解法的匹配思维，形成择优解题意识，深化降次本质理解，提升学生灵活选择方法、高效解方程的综合能力.
应用新知
【经典例题】
师生活动：教师出示两道综合例题，先给学生独立思考时间，指名学生口述解题思路；教师点评零乘积性质的几何应用，带领学生完成根的代入求值运算，纠正逻辑疏漏，完整梳理解题步骤，全班订正完善书写格式.
例1 若a，b，c为△ABC的三边长，且a，b，c满足(a−b)(b−c)=0，则△ABC的形状是 三角形．
分析：∵(a−b)(b−c)=0 ，
∴a−b=0 或b−c=0
∴a=b 或b=c(含a=b=c的等边情形)
∴△ABC 是等腰三角形(含等边三角形情形)
故答案为：等腰或等边．
答：等腰或等边
例2如果x=−2是关于x的一元二次方程x2+x+c2−8c−2=0的一个根，求c的值及另一个根．
解：把x=−2代入方程，得
−22−2+c2−8c−2=0，
即c2−8c=0．
因式分解，得 cc−8=0．
于是得 c=0，或c−8=0，
即c1=0，c2=8．
把c=0或c=8分别代入方程，
得x2+x−2=0．
∵a=1，b=1，c=−2，
∴Δ=12−4×−2=9>0．
∴x=−1± 92=−1±32．
∴x1=−2，x2=1．
∴c的值为0或8，另一个根为1．
设计意图：拓展因式分解法应用场景，联动几何、方程知识，深化对“积为0则至少一因式为0”的理解，锻炼综合解题能力，落实知识融会贯通.
课堂练习
【教材练习】
1.解下列方程：
(1) x2+x=0； (2) x2-23x=0；
(3) 3x2-6x=-3； (4) 4x2-81=0；
(5) 3x(2x+1)=4x+2； (6) (x-4)2=(5-2x)2.
解：(1)左边因式分解，得 x(x+1)=0．
于是x=0，或x+1=0．
即 x1=0，x2=-1．
(2)左边因式分解，得 x(x-23)=0．
于是 x=0，或x-23=0．
即 x1=0，x2=23．
(3)移项，得 3x2-6x+3=0
二次项系数化为1，得 x2-2x+1=0
左边因式分解，得 (x-1)2=0．
即 x1=x2=1．
(4)左边因式分解，得 (2x-9)(2x+9)=0．
于是2x-9=0，或2x+9=0.
即 x1=92，x2=-92．
(5)移项，得 3x(2x+1)-(4x+2)=0
3x(2x+1)-2(2x+1)=0
左边因式分解，得 (2x+1)(3x-2)=0
2x+1=0，或3x-2=0．
即 x1=-12，x2=23．
(6)移项，得 (x-4)2-(5-2x)2=0
左边因式分解，得(x-4-5+2x)(x-4+5-2x)=0
(3x-9)(1-x)=0
于是 3x-9=0，或1-x=0.
即 x1=3，x2=1．
2.如图，把小圆形场地的半径增加 5 m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为 9∶4. 求小圆形场地的半径.
解：设小圆形场地的半径为 r m，则大圆形半径为 (r+5) m.
由题意，得：πr+52πr2=94
整理得：r+5r2=94
∵半径为正，∴方程取正平方根.
∴ r+5r=32，解得 r=10
答：小圆形场地的半径为 10 m.
师生活动：教师布置课堂练习，学生独立完成六道解方程与几何应用题，两名学生上台板演；师生逐题核对答案，针对整体提公因式、平方差分解易错点点评，梳理实际问题验根要点，规范解题步骤.
设计意图：分层巩固因式分解法各类题型解法，强化移项、变形、分解解题流程，对接几何实际应用，锻炼建模解题能力，查漏补缺夯实本节课重难点.
【限时训练】
1.若x2−2px+q=0的两根分别是−3与5，则多项式2x2−4px+2q可以分解为( )
A. x+3x−5 B. x−3x+5
C. 2x+3x−5 D. 2x−3x+5
【答案】C
【解析】解：∵x2−2px+q=0的两根分别是−3与5，
∴x2−2px+q=(x+3)(x−5)，
∴2x2−4px+2q=2(x2−2px+q)=2(x+3)(x−5)，
故选：C．
2.若关于x的一元二次方程(m−1)x2+2x+(m2−1)=0的常数项为0，则两个根为( )
A. −1，0B. −1，1C. −1，−1D. 0，1
【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(m−1)x2+2x+(m2−1)=0的常数项为0，
∴m−1≠0且m2−1=0，
解得：m=−1，
方程为−2x2+2x=0，
解得：x=0或1，
故选：D．
3.若三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程x2−5x=7(x−5)的根，则此三角形的周
长为( )
A. 12 B. 14 C. 12或14 D. 13或15
【答案】A
【解析】解：∵x2−5x=7(x−5)，
∴x(x−5)−7(x−5)=0，
∴(x−7)(x−5)=0，
∴x=7或x=5，
当x=7时，
∵3+4=7，
∴3、4、7不能组成三角形，
当x=5时，
∵3+4>5，
∴3、4、5能组成三角形，
∴该三角形的周长为3+4+5=12，
故选：A．
4.我们在八年级的因式分解中已经初步接触过“十字相乘法”因式分解，即x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).如：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).“十字相乘法”也可以用于解一元二次方程．
(1)一元二次方程x2−4x−12=0的解为 ；
(2)若x2−5x−6x−6=0，则x的值为 ；
(3)如果x2−x−1=(x2−3x−4)0，那么x的值为 ．
【答案】(1)x1＝6，x2＝－2
(2)－1
(3)2
5.用因式分解法解下列方程：
(1) x2−3x=0；
(2) 2y(2+y)=−(y+2)；
(3) (2x−1)2−x2=0；
(4) x2−2x−3=0．
【答案】(1)解：因式分解，得
x（x－3）＝0，
∴x＝0或x－3＝0，
∴x1＝0，x2＝3；
(2)移项，得2y（2＋y）＋（y＋2）＝0，
因式分解，得（2y＋1）（2＋y）＝0，
∴2y＋1＝0或2＋y＝0，
∴y1=−12， y2＝－2；
(3)因式分解，得
（2x－1＋x）（2x－1－x）＝0，
∴3x－1＝0或x－1＝0，
∴x1=13， x2＝1；
(4)因式分解，得
（x－3）（x＋1）＝0，
∴x－3＝0或x＋1＝0，
∴x1＝3，x2＝－1.
师生活动：教师出示分层提升练习题，学生独立完成作答，选取学生代表上台板演；师生逐题讲评，针对根与因式关系、参数取值、三角形三边取舍、分式与零指数隐藏限制条件重点剖析，梳理易错点，完善解题逻辑.
设计意图：拔高知识综合性，串联韦达雏形、几何三边、分式隐含约束等内容，灵活运用因式分解法解题，破除思维定式，提升学生审题辨析、综合解题与严谨验根的能力.
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.因式分解法解一元二次方程的定义是什么？
3.因式分解法解一元二次方程的理论依据是什么？
4.说一说因式分解法解一元二次方程的步骤？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
特色作业
主题：一元二次方程解法择优探究小报告
任务：1自行选取三道不同形式一元二次方程：①可提公因式型；②平方差结构型；③不易因式分解型.
2.分别用因式分解法、公式法逐一求解，对比每道题两种方法的计算步骤多少、运算繁琐程度.
3.梳理什么样的方程优先用因式分解法，总结因式分解法 “降次求解” 的本质逻辑.
要求：1. 解题步骤书写规范，对比分析条理清楚，明确提炼选择解法的判断技巧.
2.独立完成，感悟转化思想，全文控制在 180 字左右.