初中数学第二十五章 一元二次方程25.2 降次 —— 解一元二次方程25.2.3 因式分解法优质学案

这是一份初中数学第二十五章 一元二次方程25.2 降次 —— 解一元二次方程25.2.3 因式分解法优质学案学案主要包含了学习目标，复习导入，合作探究等内容，欢迎下载使用。
25.2.3 因式分解法
【学习目标】
1. 理解因式分解法降次解一元二次方程的思路，会用因式分解法解一元二次方程.(重点)
2. 学会观察方程的特征，选用适当的方法解一元二次方程.(难点)
3. 通过探索因式分解法解一元二次方程的过程，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，体会转化的思想方法.
学习重点：会运用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.
学习难点：会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.
【复习导入】
问题1：因式分解的方法有哪些？
(1) 提取公因式法： .
(2) 公式法： .
(3)十字相乘法： .
问题2：我们学过的解一元二次方程的方法有哪些？


【合作探究】
探究点1：因式分解法解方程
问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 后的离地高度 (单位：m) 约为 10x－5x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面?
用配方法和公式法解方程 10x－5x2 = 0.①


思考1 除上述方法以外，有更简单的方法解方程①吗？


思考2 解方程①时，二次方程是如何降为一次的？

要点归纳：
因式分解法的概念：
先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于 0的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
因式分解法的基本步骤：
一移—— ；
二分—— ；
三化—— ；
四解—— .
简记歌诀：右化零，左分解；两因式，各求解.
典例精析
例1 解下列方程：
(1)； (2)
练一练 1.解下列方程：
(x+1)2=5x+5； (2)x2-6x+9=(5-2x)2．
拓展提升：十字相乘法
运算法则：x2 + (p + q)x + pq= (x + p)(x + q)
条件：1. 多项式为二次三项式；
2. 多项式的常数项可分解成两个因数，且两个因数的和等于一次项系数.
简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中.
典例精析
例2 解方程：x2 − 5x + 6 = 0.
步骤：
① 竖分常数项与二次项；
② 交叉相乘，积相加；
③ 检验确定，横写因式.
练一练 2.解下列方程：
(1)x2 - 6x + 8 = 0； (2)x2+4x-5=0；
探究点2：灵活选用适当的方法解方程
例2 用适当的方法解方程：
3x(x+5)=5(x+5)； (2) (5x+1)2=1；
(3) x2－12x=4； (4) 3x2 = 4x + 1.
练一练 3. 解方程：
(1) 3x²－6x =－3； (2) 4x²－121=0.
(3) 2x2 − 5x +1 = 0； (4) x2 + 4x − 2 = 2x + 3.
拓展提升
填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型.

当堂反馈
1.已知一元二次方程的两根分别为x1＝1，x2＝－3，则这个方程可以是( )
A.(x－1)(x－3)＝0B.(x－1)(x＋3)＝0
C.(x＋1)(x＋3)＝0D.(x＋1)(x－3)＝0
2.[高频易错]方程x2＝2026x的根为( )
A.x＝0B.x＝2026C.x1＝0，x2＝2026D.无实数根
3.[教材变式]用因式分解法解下列方程：
(1)3y2－6y＝0；
书写通关
解：因式分解，得 .
∴ .
解得y1＝ ，y2＝ .
(2) x2－3x＝x－3；
(3) (2x－1)2＝(x＋3)2.
参考答案
【合作探究】
探究点1：因式分解法解方程
典例精析
例1 解：(1)因式分解，得(x－2)(x＋1)=0.∴x－2＝0或x＋1=0,解得x1=2，x2=－1.
(2)移项、合并同类项，得4x2－1=0,因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0. ∴2x＋1=0或2x－1=0，
解得
练一练
解：(1)∵(x+1)2=5(x+1)，∴(x+1)2-5(x+1)=0，则(x+1)(x-4)=0，∴x+1=0，或x-4=0，
即x1=4，x2=-1．
(2)方程整理得(x-3)2-(5-2x)2=0，则[(x-3)+(5-2x)][(x-3)-(5-2x)]=0，(2 − x)(3x − 8) = 0，∴2-x=0，或3x-8=0，
典例精析
例2 解：分解因式，得 (x − 2)(x − 3) = 0 . 于是 x − 2 = 0，或 x − 3 = 0，
即 x1 = 2，x2 = 3.
练一练 2.解：（1）分解因式，得(x-2)(x-4)=0，解得x1=2，x2=4；
（2）分解因式，得(x+5)(x-1)=0，解得x1=-5，x2=1；
探究点2：灵活选用方法解方程
例3 解：（1）化简 (3x - 5) (x + 5) = 0.即 3x -5 = 0 或 x + 5 = 0.
开平方,得5x + 1 = ±1.
配方，得x2 - 12x + 62 = 4 + 62,即 (x - 6)2 = 40.开平方，得
解：化为一般形式3x2-4x-1 = 0. ∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0,
.
3. (1)解得 x1 = x2 = 1. (2) 解得
(3) (4)
填一填
从上到下，(ax + m)2 = n (a≠0，n≥0)
x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0)
ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0)
(ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0)
当堂检测
1.B 2.C
3.(1)
书写通关
解：因式分解，得 3y(y－2)＝0 .
∴ 3y＝0或y－2＝0 .
解得y1＝ 0 ，y2＝ 2 .
(2)解法一：左边提公因式，得x(x－3)＝(x－3).移项，
得x(x－3)－(x－3)＝0.
提公因式，得(x－3)(x－1)＝0.
∴x－3＝0或x－1＝0.解得x1＝3，x2＝1.
解法二：移项合并，得x2－4x＋3＝0.
因式分解，得(x－3)(x－1)＝0.
∴x－3＝0或x－1＝0.解得x1＝3，x2＝1.
(3)解：移项，得(2x－1)2－(x＋3)2＝0.
由平方差公式可得[(2x－1)－(x＋3)][(2x－1)＋(x＋3)]＝0，
即(x－4)(3x＋2)＝0，解得x1＝4，x2＝－23.
一元二次方程的解法
适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解