数学九年级上册（2024）25.2.1 配方法第2课时教案设计

这是一份数学九年级上册（2024）25.2.1 配方法第2课时教案设计，共3页。教案主要包含了教材分析，教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时

一、教材分析
《用配方法解一元二次方程》是一元二次方程章节核心课时，承接直接开平方法，是推导求根公式的基础，也是后续学习二次函数顶点式、二次不等式的关键铺垫. 它首次系统渗透转化化归核心数学思想，衔接整式乘法中完全平方公式，打通代数式变形与方程求解的知识壁垒，在初中代数知识体系中起到承上启下的枢纽作用，同时为中考一元二次方程综合题型、函数综合题提供必备解题工具.
本节课遵循循序渐进的编排逻辑：首先复习直接开平方法，引出无法直接配方的普通一元二次方程，提出转化需求；以x2＋6x＋4＝0为例，探究移项后补常数构造完全平方式的思路，提炼配方法定义；接着分层例题教学，先二次项系数为1的配方，再二次项系数不为1的配方步骤，归纳标准化解题流程；随后分类讨论(x+n)2 = p三种取值下根的情况，完善方程解的认知；最后配套填空、解方程练习巩固基础，形成“旧知铺垫——提出问题——探究方法——归纳步骤——分类总结——巩固应用”完整逻辑闭环.

二、教学目标
1. 理解配方法原理，熟练掌握一元二次方程配方求解步骤，能判断配方后方程有无实数根.
2. 理解配方补常数的本质，灵活处理二次项系数不为 1 的配方变形，规避移项、分数运算易错点.
3. 经历配方探究全过程，体会转化思想，提升代数式变形与逻辑运算能力.
4. 在繁琐方程变形中培养严谨细致的计算习惯，感受数学变形之美，增强迎难而上的解题自信心.

三、教学重难点
重点：理解配方法原理，熟练掌握一元二次方程配方求解步骤，能判断配方后方程有无实数根.
难点：理解配方补常数的本质，灵活处理二次项系数不为 1 的配方变形，规避移项、分数运算易错点.

四、教学过程
复习回顾
问题1：用直接开平方法解下列方程：
(1)36x2=1； (2) (x+2)2+3=52.
解：(1) x2=136
x=±16
x1=16， x2= −16
(2) (x+2)2=49
x+2=±7
即 x+2=7，或x+2=－7
x1=5， x2=－9
问题2：你还记得完全平方公式吗?填一填.
(1) a2+2ab+b2=_________； (2) a2 – 2ab+b2=_________.
答：(a+b)2；(a – b)2
师生活动：教师出示两道直接开平方法习题，学生独立演算、上台板书；再出示完全平方公式填空，学生口头作答，师生共同订正纠错.
设计意图：复习直接开平方法与完全平方公式，夯实配方法所需基础，搭建新旧知识桥梁，为新课配方法解方程做好铺垫.
探究新知
活动：探究用配方法解一元二次方程
问题3：填一填并思考：等式左边的常数项和一次项系数有什么关系？你发现了什么规律?
师生活动：教师出示填空引导学生观察、小组交流，总结配方规律；示范配方法解方程步骤，抛出设问引发思考，学生跟读梳理流程、互动答疑.
x2 + 2x+___= ( )2； ② x2 + 8x + ___ = ( x + ____ )2.
答：
规律总结 通过观察可以发现，对于二次项系数为 1 的单字母二次三项式，将常数项配成一次项系数一半的平方时，可得完全平方式.
问题4：尝试用你发现的规律解方程 x2＋6x＋4＝0？
分析：要把方程x2＋6x＋4＝0转化为像(x＋3)2＝5这种形式的方程，关键是将方程的左边转化为一个完全平方式，然后直接(开平方法)降次解方程.
解方程 x2＋6x＋4＝0
移项 x2＋6x＝－4 （二次项和一次项在等号左边，常数项移到等号右边.）
配方 x2＋6x＋9＝－4＋9
（两边加622，即9，使左边配成x2＋2mx＋m2的形式→两边同时加上一次项系数一半的平方）
左边写成完全平方式 (x＋3)2＝5
求解 x1＝－3＋5，x2＝－3－5 （正数的平方根有两个）
验证 可以验证，－3±5是方程x2+6x+4 =0的两个根.
像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法.
总结：基本思路：将一般式 ax²+bx+c=0 (a≠0) 转化为(x+n)2 = p 的形式，再通过直接开平方法(降次)，转化为一元一次方程求解．
核心思想：配方是为了利用开方实现降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.
问题5：为什么在方程x2＋6x＝－4的两边加9？加其他数可以吗？
答：根据完全平方公式：9是一次项系数6一半的平方，加9刚好与x2＋6x能够配成一个完全平方式： x2＋6x＋9＝ (x＋3)2．所以不能加其他数．
总结：配方法关键：把握二次项系数为1的完全平方式的特点：
常数项等于一次项系数一半的平方 x2+ax+a22=x+a22 .
设计意图：由填空提炼配方规律，结合例题拆解配方法步骤，渗透转化降次思想，理解配方原理，掌握二次项系数为1时配方法解题流程.
问题6：解下列方程：
(1) x2－8 x＋1＝0； (2) 2 x2＋1＝3 x； (3) 3 x2－6 x＋4＝0．
师生活动：教师分层出示三类例题，分步板书示范；学生独立演算后互评，师生共同归纳四步解题流程，梳理易错点并纠错巩固.
分析：(1)方程的二次项系数为1，可直接运用配方法.
(2)方程的二次项系数为2，为了便于配方，可把二次项系数化为1.为此，方程的两边都除以2.
(3)与(2)类似，方程的两边都除以3后再配方.
解：(1)移项，得 x2－8x＝－1．
配方，得 x2－8x＋42＝－1＋42，
(x－4)2＝15．
由此可得 x－4＝±15 ，
x1＝4＋15，x2＝4－15．
(2)移项，得 2x2－3x＝－1．
二次项系数化为1，得x2－32x＝－12．
配方，得 x2－32x＋342＝－12＋342，
x−342=116
由此可得 x－34＝±14，
x1＝1，x2＝12 ．
(3)移项，得 3x2－6x＝－4．
二次项系数化为1，得 x2－2x＝－43．
配方，得 x2－2x＋12＝－43＋12，
(x－1)2＝－13．
因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，(x－1)2都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根．
总结：配方法解一元二次方程的步骤：
(1)移：把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边；
(2)化：把二次项系数化为1；
(3)配：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方；
(4)开：利用直接开平方法求出方程的解.
注意：配方时易出现的错误：(1)移项时忘记变号；(2)系数化为1时漏项；(3)方程两边没有同时加上一次项系数一半的平方.
设计意图：分层例题覆盖不同题型，掌握二次项系数不为1的配方方法，区分有无实数根情况，完整固化配方法解题步骤.
问题7：将一元二次方程通过配方法转化成(x+n)2 = p 形式后，它的根和 p 有什么关系？
师生活动：教师抛出核心问题引导学生结合上题自主讨论，分组归纳p的三种取值对应根的情况，师生共同梳理结论，齐读巩固规律.
答：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)²=p
的形式，那么就有：
(1)当 p ＞ 0时，方程有两个不等的实数根：x1＝－n＋p，x2＝－n－p；
(2)当 p = 0时，方程有两个相等的实数根：x1＝x2＝－n；
(3)当 p ＜ 0时，因为对任意实数x，都有( x + n )2 ≥ 0 ，所以方程无实数根.
设计意图：从配方结果分类探究根的情况，建立平方非负性与方程实数根的关联，为后续判别式学习铺垫，培养分类讨论思想.
应用新知
【经典例题】
师生活动：教师出示两道配方法典型例题，引导学生回顾配方步骤，板书示范解题思路；巡视观察学生演算情况，针对性纠错点拨. 学生独立动笔完成配方运算，对比形式确定参数、求解代数式最值，之后交流核对答案，梳理配方法易错点.
例1 用配方法将方程x2−4x−2021=0转化为(x+m)2=n的形式，则m−n的值为( )
A. 2027 B. −2027 C. 2023 D. −2023
分析：∵x2−4x−2021=0，
∴x2−4x+4=2021+4，
∴(x−2)2=2025．
与 (x+m)2=n 比较，
得n=2025，m=−2，
∴m−n=−2−2025=−2027
故选：B．
答案：B
例2 设a，b为实数，求代数式a2+b2−4a−2b+6的最小值．
解：a2+b2−4a−2b+6
=a2−4a+4+b2−2b+1+1
=(a−2)2+(b−1)2+1．
∵(a−2)2≥0，(b−1)2≥0，
∴(a−2)2+(b−1)2+1的最小值为1，
即代数式a2+b2−4a−2b+6的最小值为1．
设计意图：巩固一元二次方程配方变形技巧，拓展利用配方求代数式最值，深化完全平方非负性理解，夯实配方法核心知识点，提升学生代数式变形与逻辑运算能力.
课堂练习
【教材练习】
1.填空：
(1) x2+10x+ =(x+ )2
(2) x2–12x+ =(x– )2
(3) x2+5x+ =(x+ )2
(4) x2−23x+ =(x– )2
分析：对于ax²+bx+c，先把一次项系数除以2，得数填右边括号；再将这个数平方，结果就是横线上要补的常数项.
答：（1）25；5；（2）36；6；（3）522；52； （4）132 ；13.
2.解下列方程：
(1) x2 +10x+9=0； (2) x2－x－74=0；
(3) 3x2+6x－4=0； (4) 4x2－6x－3=0；
(5) x2+4x－9=2x－11； (6) x(x+4)=8x+4.
解：(1)移项，得 x2+10x=－9
配方，得 x2 +10x+52= － 9+52
(x+5)2=16
由此可得 x+5=4.
x1=－1，x2=－9.
(2)移项，得 x2－x=74
配方，得 x2－x+122=74+122
(x−12)2=2
由此可得 x−12=2 .
x1=12+2，x2=12−2.
(3)移项，得 3x2+6x=4
二次项系数化为1，得 x2+2x=43
配方，得 x2 +2x+12= 43+12
(x+1)2=73
由此可得 x+1=213.
x1=－1+213，x2=－1−213.
(4)移项，得 4x2－6x=3
二次项系数化为1，得 x2－32x=34
配方，得 x2－32x+342=34+342
(x−34)2=2116
由此可得 x−34=214 .
x1=34+214，x2=34−214.
(5)移项，得 x2+2x=－2
配方，得 x2 +2x+12= － 2+12
(x+1)2=－1
∵ (x+1)2 ≥0，而－1＜0，
∴原方程无实数根.
(6)去括号，得x2+4x=8x+4
移项，得 x2－4x=4
配方，得 x2－4x+22=4+22
(x－2)2=8
由此可得 x－2=22 .
x1=2+22，x2=2−22.
师生活动：教师出示教材分层练习题，先点拨配方凑常数项的方法，示范解方程完整步骤，针对二次项系数不为1、无实数根题型重点讲解. 学生先独立填空夯实配方基础，逐题用配方法解方程，完成后小组核对，订正易错步骤.
设计意图：分层巩固配方法基础，熟练移项、化二次项系数、配方全套流程，区分有、无实数根情况，查漏补缺运算漏洞，扎实掌握配方法解一元二次方程.
【限时训练】
1.用配方法解一元二次方程x2+8x=−7，下列步骤正确的是( )
A. x2+8x+42=−7+42 B. x2+8x+42=−7
C. x2+8x+82=−7 D. x2+8x+82=−7+82
【答案】A
2.若一元二次方程x2−2x−3599=0的两根分别为a，b，且a>b，则2a−b的值为
A. −57 B. 63 C. 179 D. 181
【答案】D
【解析】解：x2−2x−3599=0，
移项得：x2−2x=3599，
x2−2x+1=3599+1，
即(x−1)2=3600，
x−1=60，x−1=−60，
解得：x=61，x=−59，
∵一元二次方程式x2−2x−3599=0的两根为a、b，且a>b，
∴a=61，b=−59，
∴2a−b=2×61−(−59)=181，
故选D．
3.若关于x的方程x2+2x−3=0与2x+3=1x−a有一个解相同，则a的值为________。
【答案】−1
【解析】解：由x2+2x−3=0得
x1=−3，x2=1，
∵2x+3=1x−a中x≠−3，
∴方程x2+2x−3=0与2x+3=1x−a有一个解相同，这个解是x=1，
∴21+3=11−a，得a=−1，
故答案为：−1.
4.用配方法解方程2x2−8x−16=0时，可将方程变形为(x−m)2=n的形式，则方程m2x2−n2=0的解是 ．
【答案】x1=6，x2=−6
【解析】解：原方程变形为x2−4x=8，
配方得x2−4x+4=12，即(x−2)2= 12，
∴m=2，n=12，
∴方程m2x2−n2=0，
即为4x2−144=0，变形得4x2= 144，即x2=36，
∴x=±6，即x1=6，x2=−6．
5.阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
【问题】解方程：x2+2x+4 x2+2x−5=0．
【提示】可以用“换元法”解方程．
解：设 x2+2x=tt≥0，则有x2+2x=t2，原方程可化为t2+4t−5=0，
【续解】t2+4t−5=0．
【答案】解：配方，得(t+2)2=9，∴t+2=±3，即t1=1，t2=−5．
∵t= x2+2x≥0，∴t= x2+2x=1，则有x2+2x=1，
配方，得(x+1)2=2，解得x1=−1+ 2，x2=−1− 2．
经检验x1=−1+ 2，x2=−1− 2是原方程的解．
师生活动：学生独立完成限时训练，自主运用配方法、换元法解题；教师巡视批改，针对配方易错步骤、分式方程增根、换元取值范围等误区集中讲评，指名口述解题思路，订正错题.
设计意图：巩固配方法解一元二次方程核心解法，渗透换元转化思想，辨析易错细节，提升学生方程变形、验根与综合运算能力.
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.什么是配方法？
3.利用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
4.配方法的关键是什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
特色作业
主题：探寻配方法的多元应用与本质内涵
任务：1.自主创编 3 道二次项系数为 1、3 道二次项系数不为 1 的一元二次方程，完整写出每道题配方求解步骤，同步标注移项、系数化 1、配方添常数等步骤易错点.
2.思考总结：配方法核心是什么，解方程为什么要先构造完全平方式，写下简短感悟.
要求：1.书写步骤规范完整，符号、分数运算准确；
2.创编题目要有代表性，感悟不少于三句话；
3.对比直接开平方法，说明配方法是如何实现 “降次” 转化的，整体作业条理清晰，独立探究完成，杜绝照搬答案.