初中数学第二十五章 一元二次方程25.2 降次 —— 解一元二次方程25.2.3 因式分解法第2课时教案

这是一份初中数学第二十五章 一元二次方程25.2 降次 —— 解一元二次方程25.2.3 因式分解法第2课时教案，共7页。教案主要包含了方法总结，针对训练，课堂小结，知识网络等内容，欢迎下载使用。
第2课时 一元二次方程解法的灵活选用
课题
25.2.3 第2课时 一元二次方程解法的灵活选用
授课人
教学目标
1.掌握用直接开平方、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.能根据方程的特征，会灵活选择适当的方法解一元二次方程.
2.通过对一元二次方程解法的复习,使学生进一步理解“降次”的数学方法,进一步获得对事物可以转化的认识.
3.培养学生的观察猜想、归纳总结、分析问题、解决问题等能力.
教学重点
熟练运用直接开平方、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.
教学难点
灵活选择适当的方法解一元二次方程.
授课类型
新授课
课时
1
教学步骤
师生活动
设计意图
情境导入
学生解下列方程．
（1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法）
分析：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去
（）2．
（2）直接用公式求解．
我们学过了直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法4种常用的解方程方法，那么具体选用哪一种方法解方程呢？这节课我们一起学习灵活选用方法解一元二次方程.
学生带着问题去学习，并由此引出本节课的学习探究.
探究新知
灵活选用方法解一元二次方程
思考: (1)直接开平方法的方程特征是什么？
一般地，对于一元二次方程ax2＋c＝0，能变形为x2＝p的形式，再利用直接开平方法求解.其中，
①当p＞0时，方程有两个不等的实数根x1＝－eq \r(p)，x2＝eq \r(p)；
②当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0；
③当p＜0时，因为对任意实数x，都有x²≥0，所以方程无实数根．
（2）配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？配方的关键是什么？
①移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项．
②化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数．
③要在方程两边各加上一次项系数一半的平方．(注：一次项系数是带符号的)
④方程变形为(x+m)2=n的形式．
⑤如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解．
常数项成为一次项系数一半的平方，化为完全平方形式.
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？
①确定a，b，c.
②把a，b，c所代表的数值代入△=b²-4ac，根据△的值确定根的情况.
③把a，b，c所代表的数值代入求根公式x=，求出方程的值.
（4）分解因式法的条件是什么?
①将方程的右边化为0，左边进行因式分解；
②令每个因式为0，得到两个一元一次方程；
③解一元一次方程，得到方程的解．
师生活动：学生相互讨论.指名回答，其他学生相互补充，师生一起总结.
思考：归纳总结直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法.
方法
适合方程类型
注意事项
直接开平方法
(x＋a)2＝b
b＞0时，x1＝－a＋eq \r(b)，x2＝－a－eq \r(b)；b＝0时，x1＝x2＝－a；b＜0时，无解.
配方法
x2＋px＋q＝0
二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方求解.
公式法
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
b2－4ac≥0时，方程有解；求根公式为x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a).
因式分解法
方程的一边为0，另一边分解成两个一次式的积.
方程的一边必须是0，另一边可用因式分解法求解.
师生活动：学生相互讨论.指名回答，其他学生相互补充，师生一起总结.
通过问题引发学生思考，引导学生探究.
通过探究，总结一元二次方程的解法的特点及注意事项.
典例精析
例 用适当的方法解方程：
（1）3x(x＋5)＝5(x＋5)；
（2）(5x＋1)2＝1；
（3）x2－12x＝4； （4）3x2＝4x＋1．
解：（1）变形得(3x－5)(x＋5)＝0．
即3x－5＝0，或x＋5＝0．
解得x1＝53，x2＝-5.
（2）开平方，得
5x＋1＝±1．
解得x1＝0，x2＝-25.
（3）配方，得x2－12x＋62＝4＋62，
即(x－6)2＝40．
开平方，得x-6=±210.
解得x1＝6+210，x2＝6-210.
（4）整理成一般形式，得3x2－4x－1＝0．
∵Δ＝b2－4ac＝28＞0，
∴x=−−4±282×3=2±73.
∴x1＝2+73，x2＝2−73.
【方法总结】
一元二次方程的解法选择基本思路
（1）一般地，当一次项系数为0时(ax2＋c＝0)，应选用直接开平方法；
（2）若常数项为0(ax2＋bx＝0)，应选用因式分解法；
（3）化为一般式(ax2＋bx＋c＝0)后，若一次项系数和常数项都不为0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法．系数含根式时也可选公式法．
【针对训练】若a，b，c为△ABC的三边长，且a，b，c满足a2－ac－ab＋bc＝0，试判断△ABC的形状．
【解】∵a2－ac－ab＋bc＝0，
∴(a－b)(a－c)＝0，
∴a－b＝0或a－c＝0，
∴a＝c或a＝b，
∴△ABC为等腰三角形．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
通过例题，加强学生灵活选用一元二次方程的解法能力，发展计算能力.
随堂检测
1．将下列序号填到对应的横线上．
①x2－3x＋1＝0；②3x2－1＝0；③－3t2＋t＝0；④x2－4x＝2；
⑤2x2－x＝0；⑥5(m＋2)2＝8；⑦3y2－y－1＝0；⑧2x2＋4x－1＝0；⑨(x－2)2＝2(x－2)．
适合运用直接开平方法：___________________；
适合运用因式分解法：___________________ ；
适合运用公式法：___________________ ；
适合运用配方法：___________________ ．
答案：②⑥ ③⑤⑨ ①⑦⑧ ④
2．按题目要求的方法解下列方程：
（1）(x−1)2−4＝0；（直接开平方法）
（2）3x(2x＋3)−2(2x＋3)＝0；（因式分解法）
（3）x2＋4x−3＝0．（配方法）
解：（1）(x−1)2＝4，
∴x−1＝±2，
∴x1＝3，x2＝−1．
（2）(3x−2)(2x＋3)＝0，
∴x1＝23，x2＝−32．
（3）x2＋4x＝3，
∴(x＋2)2＝7，x＋2＝±7，
∴x1＝7-2，x2＝−7-2．
3．用适当方法解下列方程：
（1）(2x＋3)2－25＝0；
（2）x2＋5x＋7＝3x＋11；
解：（1）化简，得
4x2＋12x＋9－25＝0，
整理，得x2＋3x－4＝0，
分解因式，得(x－1)(x＋4)＝0，
解得x1＝1，x2＝－4．
（2）化简，得x2＋2x＝4，
配方法，得x2＋2x＋1＝5，
即(x＋1)2＝5，
可得x＋1=±5，
解得x1＝-1+5，x2＝－1-5．
4．用公式法和因式分解法解方程x(5x＋4)－(4＋5x)＝0．
解：公式法：原方程化为一般形式，得5x2－x－4＝0．
∵a＝5，b＝－1，c＝－4，
b2－4ac＝(－1)2－4×5×(－4)＝81＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
∴x＝1±812×5=1±812×5，
∴x1＝-45，x2＝1．
因式分解法：方程左边提公因式，得
(5x＋4)(x－1)＝0，
则x1＝-45，x2＝1．
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.
课堂小结
【课堂小结】
引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么策略？从知识内容上学到了什么内容？分清楚各种方法的适用场景与优劣？
1.方法层面：学习了一元二次方程解法的灵活选用，体会 “择优而治”的核心策略。不机械套用某一种方法，而是根据方程特征，高效选择最简便的解法，感受数学解题中的优化思维与分类讨论思想。
2.知识内容层面：系统梳理四种解法的逻辑关联与操作要点：
直接开平方法：适用于形如 x2=p 或 (x+m)2=p 的特殊结构。
因式分解法：适用于左边能轻松分解为因式乘积、右边为 0 的方程，追求运算速度。
配方法：适用于推导公式、求代数式最值，或作为其他方法的理论基础。
公式法：适用于所有一元二次方程，是通解通法，追求普适性。
3.概念联系与区别：明确四种方法并非孤立，而是层层递进的有机整体：
优先序：能因式分解 → 能直接开方 → 公式法。
核心区别：因式分解法和直接开平方法是特殊速解，配方法和公式法是通用通解。
决策逻辑：解题前先观察系数与结构，判断是否能因式分解、能否直接开方，再决定是否使用公式法兜底。
【知识网络】
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳配方法的概念及解题步骤．
巩固所学知识，加深对一元二次方程的解法的灵活运用.
作业布置
《课时训练》p13—p14练习题
板书设计
一元二次方程解法的灵活选用
1.解法
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
2.根的判别式
教学反思