人教版（2024）九年级上册（2024）25.2.2 公式法教学设计

这是一份人教版（2024）九年级上册（2024）25.2.2 公式法教学设计，共3页。教案主要包含了教材分析，教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教材分析
《公式法解一元二次方程》是一元二次方程单元核心课时，承接配方法，是配方法一般化推导的成果，既是对配方变形知识的巩固升华，也是后续二次函数、一元二次不等式、二次方程综合应用题的必备基础.判别式 Δ= b2－4ac是中考高频考点，可快速预判方程根的情况，求根公式是解一元二次方程通用解法，完善一元二次方程解法体系，在初中代数运算体系中承上启下，搭建代数式变形与方程综合应用的桥梁.
本课遵循“旧知回顾——一般推导——分类归纳——定义命名——例题实操——巩固练习”的编排逻辑：先用配方法探究一般形式ax 2+bx+c=0 (a≠ 0)求解过程；通过对b2－4ac分三种取值讨论，得到根的三种情况，引出判别式概念；归纳推导出求根公式，定义公式法；设置四道梯度例题，示范化一般式、定a，b，c、算判别式、代公式求解完整步骤，包含两不等实根、两相等实根、无实根三类题型；结合实际应用题体现公式实用价值；最后配套课堂练习夯实解题步骤，形成完整探究应用闭环.

二、教学目标
1. 理解求根公式推导过程，熟记判别式与求根公式，能用公式法解方程，借助判别式判断方程根的情况.
2. 完整推导一元二次方程求根公式，精准判定a、b、c符号，弄懂判别式不同取值对应根情况的内在原理.
3. 经历公式推导、分类归纳、练习应用的完整流程，体会转化与分类思想，提升代数运算与逻辑推导能力.
4. 在公式推导中养成严谨计算习惯，体会特殊到一般的数学思想，树立克服繁琐运算的探究信心.

三、教学重难点
重点：理解求根公式推导过程，熟记判别式与求根公式，能用公式法解方程，借助判别式判断方程根的情况.
难点：完整推导一元二次方程求根公式，精准判定a、b、c符号，弄懂判别式不同取值对应根情况的内在原理.

四、教学过程
复习回顾
问题1：请写出配方法完整的解题步骤.
答：移项 → 二次项系数化为1 → 配方(两边加一次项系数一半的平方)→ 开平方→ 求解.
问题2：将下列一元二次方程写成一般形式.
(1) 3x(x－3)=2(x－1)(x+1) (2)(x+2)2=2x+12
解：(1)原方程可化为：x2－9x+2=0.
(2)原方程可化为：x2+2x－8=0.
小提示：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式：ax2 + bx + c = 0(a≠0).
师生活动：教师提问回顾配方法步骤、一元二次方程一般式转化；学生口述配方法流程，独立展开整理两个方程，上台书写化简结果，师生共同核对正误，纠正去括号、移项易错点.
设计意图：巩固旧知，夯实配方解题基础与方程变形运算能力，为本节课推导求根公式、运用公式法解方程做好铺垫，快速衔接新课内容.
探究新知
活动一：探究根的判别式
问题3：能否用配方法得出 ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的解？
师生活动：教师引导学生对一元二次方程一般式配方推导，逐层设问启发学生分类讨论b2－4ac取值；学生跟随演算推导，自主归纳判别式定义与根的三种对应情况，独立完成随堂练习题，师生讲评易错注意点.
分析：我们可以根据用配方法解一元二次方程的经验来解决这个问题.
移项，得：ax 2+ bx=-c
二次项系数化为1，得：x2+bax=−ca
配方，得： x2+bax+b2a2=−ca+b2a2
即 x+b2a2=b2−4ac4a2 ①
追问：能用直接开平方解吗?
问题4：如何解 x+b2a2=b2−4ac4a2 ①？
思路：需要对b2−4ac4a2的值进行分类讨论，因为a ≠ 0，所以 4a2 > 0. 因此只需要对b2－4ac 的值讨论.
（1）当b2－4ac>0时
b2−4ac4a2>0，由①得，x+b2a=±b2−4ac2a .
方程有两个不相等的实数根
x1＝−b+b2−4ac2a，x2＝−b−b2−4ac2a .
（2）当b2－4ac=0时
b2−4ac4a2=0，由①可知，方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝−b2a .
（3）当b2－4ac0，
∴m=−1±32
解得m1=1，m2=−2．
设计意图：拓展公式法应用场景，训练列方程建模、判别式证明、含参数方程求解能力，整合新旧知识，提升学生分析综合题型、规范完整解题的能力.
课堂练习
【教材练习】
用公式法解下列方程：
(1) x2+x－6=0； (2) x2－3x－14=0；
(3) 3x2－6x+4=0； (4) 2x2－3x=0；
(5) x2+4x+8=4x+11； (6) x(2x－4)=5－8x.
解：(1)∵a=1，b=1，c=－6
∴Δ=b2－4ac=12－4×1×(－6)=25>0
方程有两个不相等的实数根
x=−b±b2−4ac2a=−1±252×1=−1±52
即 x1=2，x2=－3
(2)∵a=1，b=－3 ，c=－14
∴Δ=b2－4ac=−32－4×1×(－14 )=4>0
方程有两个不相等的实数根
x=−b±b2−4ac2a=−−3±42×1=3±22
即 x1=32+1，x2=32−1
(3)∵a=3，b=－6，c=4
∴Δ=b2－4ac=(－6)2－4×3×4=－120
方程有两个不相等的实数根
x=−b±b2−4ac2a=−−3±92×2=3±34
即 x1=0，x2=32 .
(5)移项，合并得 x2-3=0
此时 a=1，b=0 ，c=-3
∴Δ=b2－4ac=02-4×1×(-3)=12>0
方程有两个不相等的实数根
x=−b±b2−4ac2a=−0±122×1 =±3
即 x1=3，x2=−3 .
(6)方程化为 2x2+4x－5=0
此时 a=2，b=4 ，c=－5
∴Δ=b2－4ac=42－4×2×(－5)=56>0
方程有两个不相等的实数根
x=−b±b2−4ac2a=−4±562×2=−4±2144
即 x1=−1+142，x2=−1−142 .
师生活动：教师布置六道梯度练习题，学生独立用公式法完整求解，选取学生板演作答；全班对照订正答案，梳理去括号、整理一般式、判别式运算中的常见错误，灵活对比简便解法，夯实解题规范.
设计意图：分层巩固公式法解题四步骤，覆盖判别式三种结果题型，强化整理方程、识别a，b，c的运算能力，查漏补缺，提升运算准确率与解题熟练度.
【限时训练】
1.已知关于x的一元二次方程x2−2(a−1)x+a2−a−2=0有两个不相等的实数根，当a为正整数时，a的值为( )
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 4
【答案】C
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2(a−1)x+a2−a−2=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=[−2(a−1)]2−4×1×(a2−a−2)>0，
整理，得：−4a+12>0，
则a