初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学设计

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学设计，共3页。教案主要包含了教材分析，教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教材分析
本节课《一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)》安排在一元二次方程解法之后，是一元二次方程板块核心拓展内容. 横向来看，它以一元二次方程求根公式和因式分解法为基础，从“解方程求根”延伸至“由系数直接分析根的性质”，完善了方程求解与根的分析的知识体系；纵向来看，为后续二次函数零点分析、分式方程、二次代数式求值、高中一元n次方程根与系数推广铺垫基础. 在中考题型中，根与系数关系常出现在代数式求值、含参方程、几何综合题中，是承上启下的关键知识点，实现“解方程”到“用方程性质分析根”的思维升级.
教材先借助求根公式，直接对两根做加法、乘法运算，通过代数化简推导出两根之和、两根之积与系数a，b，c的关系式；再借助二次三项式因式分解ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，展开对比多项式系数，第二种路径印证韦达定理，体现定理双向推导逻辑；随后配置例题，示范先整理方程标准形式，再直接套用结论求两根和与积；最后配套随堂练习，巩固公式使用前提与运算步骤，整体遵循“公式推导——双向印证——例题示范——巩固练习”由浅入深的编排逻辑，兼顾代数推理严谨性与实操应用性.

二、教学目标
1. 熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系.
2. 灵活运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题.
3. 经历探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察、分析、归纳和判断的能力.
4. 感受数学知识内在关联统一之美，养成严谨验算、主动推导不盲从结论的习惯，激发代数探究学习兴趣.

三、教学重难点
重点：熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系.
难点：灵活运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题.

四、教学过程
复习回顾
问题1：一元二次方程的求根公式是什么?
答：x=−b±b2−4ac2a (b2-4ac≥0)
问题2：如何判定一元二次方程的根的情况?
答：b2-4ac＞0↔方程有两个不等的实数根
b2-4ac=0↔方程有两个相等的实数根
b2-4ac＜0↔方程没有实根
师生活动：教师依次抛出两个复习问题，点名学生口头作答求根公式、判别式判定根的三种情况；其余学生倾听纠错，教师板书梳理核心式子，查漏补缺，快速唤醒旧知.
设计意图：回顾一元二次方程求根公式与判别式知识，夯实本节课推导韦达定理的运算基础，搭建新旧知识桥梁，为后续由求根公式推导根与系数关系做好铺垫.
探究新知
活动：探究一元二次方程的根与系数的关系
问题3：观察求根公式 x=−b±b2−4ac2a 它有什么特点?由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发?
师生活动：教师递进抛出3个探究问题，引导学生观察两根结构，分组演算两根相加、相乘的化简过程，推导韦达定理；教师板书公式，点明使用注意事项，安排例题演算验证结论，最后设问引出第二种推导思路.
答：求根公式 x=−b±b2−4ac2a (b2-4ac≥0)可以表示由方程的系数a，b，c决定根的值.
由 x=−b±b2−4ac2a 得
x1=−b+b2−4ac2a=−b2a+b2−4ac2a →m+n
x2=−b−b2−4ac2a=−b2a−b2−4ac2a→m-n
可以发现：从整体上看，两个根分别是“m+n”和“m-n”的形式，而且式子“n”中含有根号.
问题4：观察这两个式子，它们有什么特点?可以相加减或者乘除吗?
答：可以发现这两个式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式更简便.
两式相加：x1+x2=−b2a+b2−4ac2a+−b2a−b2−4ac2a=−b2a+−b2a=−ba
两式相乘：x1x2=−b2a+b2−4ac2a×−b2a−b2−4ac2a=b24a2−b2−4ac4a2=ca
总结：由此得出，一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2与其系数a，b，c有如下关系：
x1+x2=−ba， x1x2= ca ．
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数.
两个根的积等于常数项与二次项系数的比.
这种表示方式中，交换x1，x2的位置，不影响它们的和、积的值，随着后续的学习，研究一元n次方程的根与系数的关系时，我们会认识到这种表示更具一般性.
特别地，(当二次项系数a=1时)方程可以化为x2+px+q=0的形式，则有
x1+x2=−p， x1x2= q ．
注意：(1)不是一般形式的，要化成一般形式.
(2)在方程有实数根的条件下应用，即b2-4ac≥0.
(3)在使用x1+x2=−ba 时，注意“-”不要漏写.
问题5：解方程2x2-3x+1=0，验证上述关系?
解：∵a=2，b=-3，c=1.
∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×1=1>0
方程有两个不相等的实数根
x=−b±b2−4ac2a=−−3±12×2=3±14，
即 x1=1，x2=12.
x1+x2=1+12=32，
x1x2=1×12=12
追问：还有其他方法得出上述根与系数的关系吗？
设计意图：依托求根公式自主探究推导根与系数关系，培养代数推理运算能力；借助实例验证加深理解，明确定理适用前提，完善知识逻辑，为后续灵活运用定理解题铺垫.
问题6：如果一元二次方程ax2+bx+c=0的左边可以分解因式为a(x-x1)(x-x2)，那么方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2. 反过来，如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2，你能看出x1，x2与a，b，c之间的关系吗?
师生活动：教师出示问题6，引导学生自主展开多项式，对比等式两边同类项系数推导韦达定理；学生上台板书推导步骤，师生共同纠错梳理. 教师介绍韦达生平事迹，学生阅读感悟，完善定理两种推导思路.
答：推导过程：把方程ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)的右边展开，化成一般形式，得，
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
即 ax2+bx+c=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2
由此可得 -a(x1+x2)=b，ax1x2=c
结论：因此，根与系数的关系为： x1+x2=−ba ， x1x2= ca .
读一读：韦达生于法国的普瓦图.年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码.
韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，推动了符号代数的发展.
韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系(所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”).
韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”.
小结：韦达通过引入字母和系统研究方程根与系数的关系，为代数学的发展奠定了重要基础.
设计意图：借助因式分解法再次推导定理，完善推导逻辑；借助数学史渗透德育，提升数学学习兴趣，加深学生对韦达定理来源与本质的理解.
应用新知
【教材例题】
师生活动：教师出示三道例题，先点拨解题要点，学生独立动笔完成求解；指名学生口述答案，师生共同订正，着重强调先整理方程一般式、留意两根和公式自带负号两处易错点，梳理规范解题步骤.
例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
(1) x2-6x-15=0； (2)3x2+7x-9=0； (3) 5x-1=4x2.
解：(1) x1+x2=-(-6)=6，x1x2=-15.
(2) x1+x2=−73，x1x2=−93=−3.
注意：注意公式自身的符号及系数的符号.
(3) 方程化为4x2-5x+1=0. 所以 x1+x2=−−54=54，x1x2=14.
用根与系数的关系前，一定要化成一般式.
设计意图：借助基础例题巩固韦达定理运用方法，让学生熟练找准对应系数计算两根和与积，针对性突破符号、方程未标准化的易错问题，夯实公式实操应用能力.
【经典例题】
师生活动：教师出示两道进阶例题，先引导学生分析解题思路，学生独立演算；挑选学生板演步骤，师生共同点评订正，归纳代数式整体变形套路，强调含参问题必须结合判别式检验取值合理性.
例2已知实数a，b，c满足 a−2+b−42+c+1=0，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根分别为x1，x2，不解方程求下列各式的值：
(1)x12+x22； (2) (x1−x2)2； (3)1x1+1x2；
(4) (x1−2)(x2−2)； (5)x13x2+x1x23．
解：(1)∵ a−2+b−42+c+1=0，
∴ a＝2，b＝4，c＝-1，
∴方程为2x2＋4x-1＝0，∴x1＋x2＝-2，x1x2=−12．
x12+x22=x1+x22−2x1x2=−22−2×−12=5．
(2)x1−x22=x1+x22−4x1x2=−22−4×−12=6．
(3)1x1+1x2=x1+x2x1x2=−2−12=4．
(4)x1−2x2−2=x1x2−2x1+x2+4=−12−2×−2+4=152 .
(5)x13x2+x1x23=x1x2x12+x22=−12×5=−52．
总结：巧用根与系数的关系，求特殊代数式的值
(1)计算：计算出x1+x2，x1x2的值；
(2)变形：将所求的代数式变形为用x1+x2和x1x2表示的式子；
(3)代入：代入所求的代数式计算．
例3 已知关于x的一元二次方程x2−x+2m−4=0有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若方程的两根满足(x1−3)(x2−3)=m2−1，求m的值．
解：(1)根据题意得Δ=b2−4ac=(−1)2−4×1×(2m−4)≥0，
解得：m≤178；
(2)根据题意得：x1+x2=−ba=1，x1x2=ca=2m−4，
∵(x1−3)(x2−3)=m2−1，
∴x1x2−3(x1+x2)+9=m2−1，
∴2m−4−3×1+9=m2−1，
∴m2−2m−3=0，
解得：m1=−1，m2=3(根据m≤178舍去)．
故m的值是−1．
设计意图：深化韦达定理灵活运用，掌握代数式恒等变形技巧，建立整体代换思想；融合判别式综合考查，培养严谨审题，检验取舍的解题习惯，突破本节重难点.
课堂练习
【教材练习】
不解方程，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积：
(1) x2-3x=15； (2) 3x2+2=1-4x；
(3) 5x2-1=4x2-x； (4) 2x2-x+2=3x+1.
解：(1)方程化为 x2-3x-15=0.
∴x1+x2=-(-3)=3，x1x2=-15
(2)方程化为3x2+4x+1=0
∴x1+x2=−43，x1x2=13
(3)方程化为 x2+x-1=0.
∴x1+x2=-1，x1x2=-1
(4)方程化为2x2-4x+1=0
∴x1+x2=2，x1x2=12
师生活动：教师布置教材随堂练习，学生独立完成四道习题，要求先整理成一元二次方程一般形式，再利用韦达定理求两根和与积. 完成后同桌互查核对答案，教师集中订正共性符号错误，梳理标准化方程的解题步骤.
设计意图：当堂巩固韦达定理基础用法，强化“先化为一般式再套公式”的解题习惯，及时排查符号、移项易错问题，夯实基础运算，检测课堂新知掌握情况.
【限时训练】
1.已知一元二次方程的两根分别是3和−5，则这个一元二次方程可以是( )
A. x2−2x+15=0 B. x2+2x−15=0
C. x2−x−6=0 D. x2−2x−15=0
【答案】B
2.若关于x的方程x2+2x+a=0两根异号，则a的取值范围是( )
A. a1C. a