人教版（2024）25.2.1 配方法教学设计

这是一份人教版（2024）25.2.1 配方法教学设计，文件包含新高考英语二轮复习题型技能提升训练专题06语法填空原卷版docx、新高考英语二轮复习题型技能提升训练专题06语法填空解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
学习目标
1．理解一元二次方程的解法——配方法．会用开平方法解形如(x十m)＝n(n0)的方程．
2．理解一元二次方程的求根公式的推导，会用求根公式解一元二次方程
3．会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
考点整理
一、一元二次方程的解法
1．直接开方法解一元二次方程：
(1)直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
(2)直接开平方法的理论依据：
平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
若，则；表示为，有两个不等实数根；
若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
若，则方程无实数根．
②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
.
要点：
用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
2．配方法解一元二次方程：
(1)配方法解一元二次方程：
将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.
(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
要点：
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）配方法的理论依据是完全平方公式．
二、配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．
三、公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
一元二次方程，当时，.
2.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：．
①当时，原方程有两个不等的实数根；
②当时，原方程有两个相等的实数根；
③当时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
①把一元二次方程化为一般形式；
②确定a、b、c的值（要注意符号）；
③求出的值；
④若，则利用公式求出原方程的解；
若，则原方程无实根.
要点：
（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.
（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.
①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.
② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.
③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.
四、因式分解法解一元二次方程
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次
因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
题型归纳
【题型1 解一元二次方程---直接开平方法】
1．解方程
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【详解】（1）解：
开平方得
解得，；
（2）解：，
移项得 ，
配方，两边同时加得 ，
整理得 ，
开平方得 ，
解得，．
2．若，该方程的解为______．
【答案】
，
【详解】解：
或
∴，．
3．解方程：
【答案】，
【分析】利用直接开平方法得出两个一元一次方程，解一元一次方程即可得出答案．
【详解】解：
∴，
则或，
解得：，．
4．方程的根是________．
【答案】
【分析】等式两边同时除以，将未知数的系数化为1，再根据乘方的计算即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴或（舍去），
∴ ．
【题型2 解一元二次方程---配方法】
5．将方程化为的形式，n的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】通过配方将原方程化为题目要求的形式，即可得到的值.
【详解】解：∵原方程为，
∴移项得，
给方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，得，
整理得 ，
对比，可得.
6．解方程：．
【答案】，
【分析】根据配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
，
．
，
，．
7．用配方法将一元二次方程化为的形式为______．
【答案】
【分析】先把方程的常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，即可得到要求形式的结果．
【详解】解：，
，
，
即．
8．用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：∵配方法需要在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程为，一次项系数为，一半的平方为 ，
∴方程两边同时加，得，
整理得.
【题型3 配方法的应用】
9．将代数式配方后，发现它的最小值为______________________
【答案】
【分析】用配方法对二次代数式变形，根据完全平方式的非负性即可求出代数式的最小值．
【详解】解：对进行配方，
，
，
因此该代数式的最小值为．
10．若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____．
【答案】/
【分析】利用已知条件对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可．
【详解】解：，且都不为，
，
，
设则，原式，
，
，当时，原式取得最小值，
即的最小值为．
11．一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示：
（说明：均为常数）
有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②，则；③若有且只有一个的值，使代数式的值为0，则；④若，则的值不可能是．其中所有正确结论的序号是_____．
【答案】①④
【分析】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案．
【详解】解：∵，
，
，
，
∴，
①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；故正确；
②∵，
∴，
解得：，
∴；故错误；
③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴；故错误；
④当，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，所以c的值不可能是，说法正确；
综上所述：正确的结论有①④
12．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”．
解决问题：
(1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式；
(2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值；
(3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据完美数的定义变形成，即可得到答案；
（2）将根据完全平方公式进行配方即可；
（3）将式子化简成，根据“完美数”的定义得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
其中只有是两个平方数的和，
；
（2）解：
，
，
；
（3）解：，
要使S对任意整数x, y都为“完美数”，则，
解得．
【题型4 根据判别式判断根的情况】
13．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．只有一个实数根B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，只需计算根的判别式的值与0的大小关系即可判断方程根的情况．
【详解】解：对于一元二次方程
可得 ，，，
，
∴ 方程有两个不相等的实数根
14．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．有两个实数根
【答案】D
【详解】解：由题意，可得，
∴该方程有两个实数根．
15．当时，关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，根据的条件推导判别式的符号即可得到结论．
【详解】解：，
整理得，，
∴，
又∵，
∴，即，
∴原方程没有实数根．
16．关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可判断根的情况．
【详解】解：∵ 对于一元二次方程 ，，，，
∴，
∵ ，
∴，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
【题型5 根据根的情况求参数】
17．若关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值是______．
【答案】/0.25
【分析】根据一元二次方程根的判别式可得，再求出解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
18．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程需满足二次项系数不为0，且判别式大于等于0，据此列不等式组求解即可．
【详解】解：∵方程有两个实数根
∴，解得且．
综上，的取值范围是且．
19．若关于的方程有实数根，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】分两种情况讨论，分别根据方程有实数根求解，再综合得到的取值范围即可．
【详解】解：当时，原方程为，
解得：，方程有实数根，符合题意；
当时，方程是一元二次方程，
∵一元二次方程有实数根，
∴，即，
解得且；
综上所述：的取值范围是．
20．若关于方程有且只有一个实数根，则实数的值是（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题需分类讨论方程的类型，结合一元一次方程，一元二次方程根的概念求解，注意一元二次方程中两个相等的实数根仍属于两个根。
【详解】∵ 题目未明确方程为一元二次方程，需对二次项系数分类讨论，
当时，原方程化简为，属于一元一次方程，有且只有一个实数根，符合题意，
当时，原方程是一元二次方程，即使判别式，方程也只有两个相等的实数根，并非一个实数根，不符合题意，
∴ 只有满足条件．
【题型6 公式法求一元二次方程的根】
21．解下列方程：
(1)(配方法)；
(2)(公式法)．
【答案】(1)，
(2)，
【详解】（1）解：，
，
，
，
∴，
∴，；
（2）解：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
22．已知关于 的一元二次方程
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个根均为整数，求 的值．
【答案】(1)证明：方程为一元二次方程，故即，
判别式，
方程总有两个实数根．
(2)或
【分析】（1）证明即可；
（2）根据求根公式，表示出两个根，利用整数的性质，求解即可；
【详解】（1）略
（2）解：由求根公式得

计算得，，
两根均为整数，为整数，
，
解得或 ．
23．方程的正根介于正整数与之间，则________．
【答案】2
【分析】先求解方程得到正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值．
【详解】解：，
∴ ，
∴方程的正根为，
，
，
，则．
24．用公式法解方程：．
【答案】
，
【分析】找准方程各项系数，正确计算判别式后代入求根公式求解即可；
【详解】解：在中，，，，
∴Δ=b2−4ac=(−3)2−4×2×(−3)=9+24=33>0，
∴代入求根公式得，
∴，．
【题型7 因式分解法解一元二次方程】
25．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
，
(2)
【详解】（1）解：，
，
，
解得，；
（2）解：，
，
，
，
解得.
26．解方程：
(1)．
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）将原方程转化为，然后利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：∵，即，
∴，
∴，
∴或，
解得：，；
（2）解：∵，
∴，即，
∴或，
解得：，．
27．小明同学解方程：的过程如下：
小明：两边同除以，得，第一步
则．第二步
你认为小明的解法是否正确？若不正确，从第__________步开始出现错误；并写出你的解答过程．
【答案】解：小明的解法不正确，从第一步开始出错．
正确解答过程如下：
原方程为，
移项，得，
提取公因式，得，
整理得，
则 或 ，
解得，．
【分析】小明的错误是忽略了可能为0，等式两边不能同时除以值可能为0的式子，直接除以会漏掉这个根，正确方法为移项后用因式分解法求解．
【详解】略．
28．用适当的方法解一元二次方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据方程特征选择合适方法求解，整理一般的形式，可以因式分解就用因式分解法求解，无法直接因式分解，就选用求根公式法求解即可．
【详解】（1）解：

代入求根公式得
∴，
（2）解：
整理得
因式分解得
∴或
解得，
【题型8 换元法解一元二次方程】
29．（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）9或；（2）1
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，完全平方公式，幂的运算，掌握通过换元将复杂方程转化为简单方程，利用整体思想简化计算是解题的关键．
（1）设，将原方程转化为关于的一元二次方程，因式分解求解；
（2）设，将原方程转化为关于的完全平方式，求解后计算幂的值．
【详解】解：（1）设，
则原方程可化为，
因式分解，得，
解得，，
的值为9或．
（2）根据题意，设，
代入原方程，得，即，
解得，即，
．
30．关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______．
【答案】，
【分析】此题主要考查利用整体代换思想解方程．熟练掌握该知识点是关键；通过观察方程结构，可将第二个方程中的看作一个整体，则该整体的值应等于第一个方程的解，从而求出的值．
【详解】解：关于的方程的解是，，，均为常数，，
方程变形为，
即此方程中或，
解得或．
故答案为：，．
31．已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（ ）
A．B．
C．D．，方程无实数解
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键．
通过变量替换，令，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于的方程．
【详解】令，则方程化为,
∵方程的解为，，
∴或，
∴或，
解得或
∴新方程的解为，
故选：A．
32．阅读下面的材料：
换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化．
如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，．
利用以上学习到的方法解决下列问题：
(1)解方程：；
(2)已知实数x、y满足；求的值．
【答案】(1)，．
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，换元法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，模仿题干解题方法，进行计算，即可作答．
（2）先整理得，则，再得，解得，，再逐个分析检验，即可作答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
设，则，
原方程化为，
∴，
解得，．当时，无意义，舍去；
当时，，解得，
∴原方程的解为，．
（2）解：依题意，，
设，
原方程化为，
∴，
∴，
解得，．
当时，，
∴，
当时，，
∴无意义，舍去；
综上：．
【题型9 解分式方程（化为一元二次方程）】
33．方程的解为________．
【答案】
【分析】把分式方程转化为一元二次方程进行求解，需要对根进行检验．
【详解】，
，
，
，
，
，
解得：，
检验：当时，，是增根，舍去，
当时，，是原分式方程的根，
方程的解为．
34．方程的根是______．
【答案】
【详解】解：方程两边同乘得，
整理得，
解得，，
经检验，使原方程分母为0，是增根，舍去，是原方程的根.
35．解方程：．
【答案】
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得或，
检验，当时，，则是增根，舍去；
当时，，满足方程，
∴原方程的解为．
36．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______．
【答案】
【分析】将代入原方程，把原方程转化为含的分式方程，再去分母整理即可得到关于的整式方程．
【详解】解：设，则，，
原方程可化为，
两边同时乘以得，
整理得，
得到关于的整式方程是．
二次多项式
对二次多项式进行因式分解
对二次多项式使用配方法