3.2 代数式的值 初中数学七年级上册同步讲义（人教版2024）

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第3章 3.2 代数式的值内 容 导 航考 点 演 练题型1 代数式求值【典例1】按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是3，则输出y的值为1．若输出y的值为3，则输入x的值是（　　）A．7B．−13C．7或−13D．﹣7或13【答案】A【解答】解：由条件可知：3−b2=1，解得b＝1，∴当x≥﹣1时，y=x−12；当x＜﹣1时，y＝﹣3x+2；当x−12=3时，解得x＝7≥﹣1，符合题意；当﹣3x+2＝3时，解得x=−13＞−1，不符合题意；故选：A．【变式1】如图，根据流程图中的程序，当输入数值x为﹣5时，输出数值y是（　　）A．0B．3C．5D．6【答案】D【解答】解：∵x＝﹣5，∴x＜1．将x＝﹣5代入y=−35x+3，得：y=−35×(−5)+3=6．故选：D．【变式2】若x﹣3y＝﹣4，则（x﹣3y）2+2x﹣6y﹣10的值为（　　）A．14B．2C．﹣18D．﹣2【答案】D【解答】解：∵x﹣3y＝﹣4，∴（x﹣3y）2+2x﹣6y﹣10＝（﹣4）2+2（x﹣3y）﹣10＝16+2×（﹣4）﹣10＝16﹣8﹣10＝﹣2．故选：D．【变式3】已知x+2y＝4，则代数式6+2x+4y的值为（　　）A．14B．10C．4D．﹣2【答案】A．【解答】解：∵6+2x+4y＝2x+4y+6，∴当x+2y＝4时，原式＝2x+4y+6＝2（x+2y）+6＝2×4+6＝14．故选：A．【变式4】下列说法正确的是（　　）①已知a，b，c是非零有理数，若a|a|+b|b|+c|c|=−1，则|a|a+b|b|的值为0或﹣2；②已知x≤5时，那么|x+3|﹣|x﹣5|的最大值为8，最小值为﹣8；③若|a|＝|b|且|a−b|=43，则代数式a+b−abb2+1的值为413．A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】D【解答】解：①∵a，b，c是非零有理数，若a|a|+b|b|+c|c|=−1，∴a，b，c中有两个负数一个正数，∴a，b有可能同为负数或一个正数一个负数，当a，b同为负数时，|a|a+b|b|=−aa+b−b=−1﹣1＝﹣2；当a，b一个正数一个负数时，设a＜0，b＞0，∴|a|a+b|b|=−aa+bb=−1+1＝0，综上，|a|a+b|b|的值为0或2．故①正确；②∵x≤5，∴|x﹣5|＝5﹣x．当﹣3≤x≤5时，∴|x+3|﹣|x﹣5|＝（x+3）﹣（5﹣x）＝2x﹣2，∴当x＝5时，原式有最大值2×5﹣2＝8，当x＝﹣3时，原式有最小值2×（﹣3）﹣2＝﹣8；当x＜﹣3时，|x+3|﹣|x﹣5|＝﹣x﹣3﹣（5﹣x）＝﹣x﹣3+x﹣5＝﹣8．综上，当x≤5时，那么|x+3|﹣|x﹣5|的最大值为8，最小值为﹣8，∴②正确；③∵|a|＝|b|且|a−b|=43，∴a，b互为相反数，∴a+b＝0，a＝﹣b．∴﹣ab＝b2．∴|﹣2b|=43，∴|b|=23，∴b2=49．∴a+b−abb2+1=0+b2b2+1=4949+1=413．∴③正确．综上，正确的说法有：①②③．故选：D．【变式5】已知代数式3x﹣2y的值是5，则代数式6x﹣4y+3的值是（　　）A．13B．8C．10D．11【答案】A．【解答】解：当3x﹣2y＝5时，原式＝2（3x﹣2y）+3＝2×5+3＝13．故选：A．【变式6】若x﹣3y+4＝0，则（x﹣3y）2+2x﹣6y﹣9＝（　　）A．﹣1B．1C．﹣17D．17【答案】A．【解答】解：∵x﹣3y+4＝0，∴x﹣3y＝﹣4，∴当x﹣3y＝﹣4时，原式＝（x﹣3y）2+2（x﹣3y）﹣9＝（﹣4）2+2×（﹣4）﹣9＝﹣1．故选：A．【变式7】当x＝2时，整式px3+qx+1的值等于2002，那么当x＝﹣2时，整式px3+qx+1的值为（　　）A．2001B．﹣2001C．2000D．﹣2000【答案】D【解答】解：x＝2代入px3+qx+1＝2002中得，23p+2q+1＝2002，即23p+2q＝2001，∴当x＝﹣2时，px3+qx+1＝﹣23p﹣2q+1，＝﹣（23p+2q）+1，＝﹣2001+1，＝﹣2000．故选：D．【变式8】如图，小红用长为120cm，宽为30cm的宣纸书写了一幅毛笔字参加书法大赛，根据大赛要求需对作品进行装裱，装裱后作品的长上下各增加了acm，宽左右各增加了12acm．（1）装裱后的书法作品的长是　（120+2a）　 cm，宽为　（30+a）　 cm（用含a的代数式表示）；（2）若a＝2cm，求装裱后的书法作品的周长．【答案】（1）（120+2a）；（30+a）；（2）装裱后的书法作品的周长为312cm．【解答】解：（1）装裱后的书法作品的长是（120+2a）cm；宽为（30+a）cm．故答案为：（120+2a）；（30+a）；（2）装裱后的书法作品的周长＝2（120+2a）+2（30+a）＝300+6a，当a＝2时，原式＝300+6×2＝312，∴装裱后的书法作品的周长为312cm．【变式9】学校办公楼前有一长为m，宽为n的长方形空地（如图），在中心位置留出一个直径为2a的圆形区域建一个喷泉，两边是长为b，宽为a的两块长方形的休息区，阴影部分为绿地．（1）用代数式表示阴影部分的面积；（结果保留π）（2）当m＝8，n＝6，a＝1，b＝2时，阴影部分的面积是多少？（π取3）【答案】（1）mn﹣2ab﹣πa2；（2）41．【解答】解：（1）阴影部分的面积为mn﹣2ab﹣πa2；（2）当m＝8，n＝6，a＝1，b＝2时，阴影部分面积为8×6﹣2×1×2﹣π×12＝48﹣4﹣π≈41．【变式10】如图，小明家的住房结构平面图（单位：米），装修房子时，他打算将卧室和客厅的地面铺上木地板砖，厨房、卫生间和阳台的地面铺上瓷砖．卧室和客厅分别制作一个宽为a和b米的落地窗．经调查了解：住房高度为3米，瓷砖价格为120元/平方米，木地板砖的价格是200元/平方米．（1）小明购买木地板砖的费用为　2400xy 元；购买瓷砖的费用　（360xy+60πx2）　 元；两个落地窗的面积之和为　（3a+3b）　 平方米．（用含x、y的代数式表示）（2）在（1）的条件下，若x＝1.5，y＝2，请问小明铺完整个房间地面共要花费多少元？（π取3）【答案】（1）2400xy；（360xy+60πx2）；（3a+3b）；（2）小明铺完整个房间地面共要花费8685元．【解答】解：（1）由题意，购买木地板砖的费用为200[2y•（4x﹣2x）+2x•4y]＝200（4xy+8xy）＝2400xy（元）；购买瓷砖的费用为120[x⋅(4y−2y)+y⋅(4x−2x−x)+12π⋅(2x2)2]=120(2xy+xy+12πx2) =120(3xy+12πx2) ＝360xy+60πx2（元）；两个落地窗的面积之和为（3a+3b）平方米．故答案为：2400xy；（360xy+60πx2）；（3a+3b）；（2）当x＝1.5，y＝2时，总费用为：2400xy+360xy+60πx2＝2760xy+60πx2＝2760×1.5×2+60×3×1.52＝8685（元）．答：小明铺完整个房间地面共要花费8685元．过 关 验 收已知代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4y+1的值是（　　）A．1B．4C．7D．不能确定【答案】C【解答】解：∵x+2y＝3，∴2x+4y+1＝2（x+2y）+1，＝2×3+1，＝6+1，＝7．故选：C．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，则代数式|a+b|+|a+c|﹣|b﹣c|的值等于（　　）A．2a+2bB．2cC．2c﹣2bD．0【答案】D【解答】解：由数轴知：a+b＜0，a+c＞0，b﹣c＜0，∴|a+b|+|a+c|﹣|b﹣c|＝﹣（a+b）+a+c+b﹣c＝﹣a﹣b+a+b＝0．故选：D．已知|a|＝3，|b|＝4，且a＜b，则a−ba+b的值为（　　）A．﹣7或−17B．7或﹣7C．1或﹣1D．7或﹣1【答案】A【解答】解：已知|a|＝3，|b|＝4，则a＝±3，b＝±4；且a＜b，∴a＝3，b＝4或a＝﹣3，b＝4．当a＝3，b＝4时，a+b＝3+4＝7，a﹣b＝3﹣4＝﹣1，∴原式=−17．当a＝﹣3，b＝4时，a+b＝﹣3+4＝1，a﹣b＝﹣3﹣4＝﹣7∴原式＝﹣7．则a−ba+b的值为﹣7或−17．故选：A．如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数x，若输入x＝3的数，则输出的结果为（　　）A．15B．13C．11D．﹣5【答案】C【解答】解：当x＝3时，3×（﹣2）+1＝﹣6+1＝﹣5＜10，当x＝﹣5时，（﹣5）×（﹣2）+1＝10+1＝11＞10，输出11，故选：C．若a2﹣a﹣1＝0，则代数式3a2﹣3a+7的值为 　10　 ．【答案】10．【解答】解：∵a2﹣a﹣1＝0，∴a2﹣a＝1，∴原式＝3（a2﹣a）+7＝3×1+7＝10．故答案为：10．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的x值为81，我们看到第一次输出的结果为27，第二次输出的结果为9，…，则第8次输出的结果为 　1　 ．【答案】1．【解答】解：把x＝81代入，第1次结果为：13×81＝27，第2次结果为：13×27＝9，第3次结果为：13×9＝3，第4次结果为：13×3＝1，第5次结果为：1+2＝3，第6次结果为：13×3＝1，第7次结果为：1+2＝3，第8次结果为：13×3＝1．故答案为：1．若a﹣2b＝﹣3，则（a﹣2b）2+5（2b﹣a）﹣36＝　﹣12　 ．【答案】﹣12．【解答】解：当a﹣2b＝﹣3时，原式＝（a﹣2b）2+5[﹣（a﹣2b）]﹣36＝（﹣3）2+5[﹣（﹣3）]﹣36＝﹣12．故答案为：﹣12．当x＝2025时，代数式ax3+bx+1的值为5，当x＝﹣2025时，该代数式的值为　﹣3　 ．【答案】﹣3．【解答】解：当x＝2025时，ax3+bx+1＝20253a+2025b+1＝5，∴20253a+2025b＝4，∴当x＝﹣2025时，ax3+bx+1＝﹣20253a﹣2025b+1＝﹣（20253a+2025b）+1＝﹣4+1＝﹣3．故答案为：﹣3．当x＝1时，代数式px3+qx+1的值为2025；则当x＝﹣1时，代数式px3+qx+1的值为　﹣2023　 ．【答案】﹣2023．【解答】解：当x＝1时，px3+qx+1＝p+q+1＝2025，∴p+q＝2024，∴当x＝﹣1时，px3+qx+1＝﹣p﹣q+1＝﹣（p+q）+1＝﹣2024+1＝﹣2023．故答案为：﹣2023．设a为最小的正整数，﹣b为最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a+c﹣b的值为　0　 ．【答案】0．【解答】解：由题意可得：a＝1，﹣b＝﹣1，c＝0∴b＝1，∴a+c﹣b＝1+0﹣1＝0，故答案为：0．已知a、b都是实数，若|a+1|+（b﹣2025）2＝0，则ab＝　﹣1　 ．【答案】﹣1．【解答】解：∵|a+1|+（b﹣2025）2＝0，∴a+1＝0，b﹣2025＝0，∴a＝﹣1，b＝2025，∴ab＝（﹣1）2025＝﹣1．故答案为：﹣1．如图所示是计算机程序计算，当输入的数为1时，则输出的结果n＝　﹣4　 ．【答案】﹣4．【解答】解：由题意可得：∵1＞﹣1，∴1﹣2＝﹣1，∵﹣1＝﹣1，∴﹣1﹣2＝﹣3，∵﹣3＜﹣1，∴﹣（﹣3）+（﹣7）＝3﹣7＝﹣4，故答案为：﹣4．已知a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数，数轴上有理数m所表示的点到表示2的点的距离为3个单位长度，则3a+3b+(2cd−ab)−m的值为　4或﹣2　 ．【答案】4或﹣2．【解答】解：由题意可得：m＝5或﹣1，a+b＝0，ab=−1，cd＝1，当m＝5时，∴3a+3b+(2cd−ab)−m＝0+（2+1）﹣5＝﹣2；当m＝﹣1时，∴原式＝0+（2+1）﹣（﹣1）＝4；故答案为：4或﹣2．天平在初中物理学科中是用来测量物体质量的一种重要工具，它依据的是杠杆平衡原理．在数学学科中我们定义：若a﹣b＝0，则称a与b互为“天平数”．若3x2﹣5与﹣x+4互为“天平数”，则代数式6x2+2x＝ 　18　 ．【答案】18．【解答】解：∵3x2﹣5与﹣x+4互为“天平数”，∴3x2﹣5＝﹣x+4，∴3x2+x＝9，∴原式＝2（3x2+x）＝9×2＝18．故答案为：18．已知a2﹣b＝b+1，则多项式﹣3a2+6b+2025的值为　2022　 ．【答案】2022．【解答】解：∵a2﹣b＝b+1，∴a2﹣2b＝1，∴﹣3a2+6b+2025＝﹣3（a2﹣2b）+2025＝﹣3×1+2025＝2022．任意给一个非零数，按下列程序进行计算，输出结果是 m ．【答案】m．【解答】解：（m2+m）÷m﹣1＝m+1﹣1＝m．故答案为：m．有一个运算程序Sgn（　　）．当在括号内输入一个负数时，它会将这个负数变为﹣1，例如Sgn（﹣5）＝﹣1；当在括号内输入一个正数时，它会将这个正数变为1，例如Sgn（8）＝1．那么Sgn（﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）]}）＝　1　 ．【答案】1．【解答】解：由题意，∵﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）]}＝﹣{﹣[﹣（﹣3）]}＝3，∴Sgn（﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）]}）＝Sgn（3）＝1．故答案为：1．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，且|m|＝4，则代数式m﹣（a+b）+cd的值为　5或﹣3　 ．【答案】5或﹣3．【解答】解：∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，且|m|＝4，∴a+b＝0，cd＝1，m＝4或m＝﹣4．将a+b＝0，cd＝1代入m﹣（a+b）+cd，得：m﹣0+1＝m+1，当m＝4时，原式＝4+1＝5；当m＝﹣4时，原式＝﹣4+1＝﹣3；综上，代数式m﹣（a+b）+cd的值为5或﹣3．故答案为：5或﹣3．如图，这是2025年1月的月历，其中“T”形、“L”形两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内可上下左右移动，可重叠．设“T”形阴影图形覆盖的最小数字为a，四个数字之和为M；“L”形阴影图形覆盖的最小数字为b，四个数字之和为N．若M﹣N＝﹣17，则M+N的最大值为 　207　 ．【答案】207．【解答】解：设“T”形阴影图形覆盖的四个数分别为a，a+1，a+2，a+8，“L”形阴影图形覆盖的四个数分别为b，b+7，b+8，b+9，∴M＝a+a+1+a+2+a+8＝4a+11，N＝b+b+7+b+8+b+9＝4b+24，∵M﹣N＝﹣17，∴4a+11﹣4b﹣24＝﹣17，∴a＝b﹣1，∴M+N＝4a+11+4b+24＝4（b﹣1）+11+4b+24＝8b+31，∵a，b都是正整数，由日历表可知，b的最大值为22，∴M+N的最大值为8×22+31＝207，故答案为：207．如图，一种圆环的外圆直径是8cm，环宽1cm．若把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为ycm，则当x＝2024时，y的值为 　12146　 ．【答案】12146【解答】解：由题意可得，y＝8+（8﹣2）×（x﹣1）＝6x+2，当x＝2024时，y＝6×2024+2＝12146，故答案为：12146．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为5，则100(a+b)3+7cd−2x的值为　﹣3或17　 ．【答案】﹣3或17．【解答】解：由题意可得：a+b＝0，cd＝1，x＝±5，∴当x＝5，100(a+b)3+7cd−2x=1003×0+7−2×5=−3；当x＝﹣5，100(a+b)3+7cd−2x=1003×0+7−2×(−5)=17，故答案为：﹣3或17．若有理数a，b互为相反数，c，d互为倒数，则(a+b)2008+(1cd)2009=　1　 ．【答案】1【解答】解：∵有理数a、b互为相反数∴a+b＝0∵c、d互为倒数∴cd＝1把它们当成整体代入得：∴（a+b）2008+（1cd）2009＝02008+12009＝1，故本题答案为：1．某学校准备在网上订购一批某品牌羽毛球拍和羽毛球，在查阅网店后发现该品牌羽毛球拍每副定价200元，羽毛球每个定价5元，现有甲，乙两家网店均提供包邮服务，并提出各自的优惠方案：甲网店：买1副羽毛球拍送5个羽毛球；乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的90%付款．已知学校要购买羽毛球拍20副，羽毛球x个（x＞100）．（1）若在甲网店购买，需付款　（5x+3500）　 元；若在乙网店购买，需付款　（4.5x+3600）　 元；（用含x的式子表示）（2）若x＝200时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？（3）若x＝250时，你能给出一种最省钱的购买方案吗？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵甲网店：买1副羽毛球拍送5个羽毛球，∴若在甲网店购买，需付款20×200+5（x﹣20×5）＝4000+5（x﹣100）＝（5x+3500）元，∵乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的90%付款，∴若在乙网店购买，需付款90%（20×200+5x）＝18＝（4.5x+3600）元，故答案为：（5x+3500），（4.5x+3600）；（2）将x＝200分别代入甲、乙网店的购买方案所需付款的代数式，在甲网店购买，需付款：5×200+3500＝4500（元），在乙网店购买，需付款：4.5×200+3600＝4500（元），∵4500＝4500，∴此时在甲、乙网店购买一样划算；（3）将x＝250别代入甲、乙网店的购买方案所需付款的代数式，甲：5×250+3500＝1250+3500＝4750（元），乙：4.5×250+3600＝4725（元），若在甲网店买20副球拍赠送100个羽毛球，在乙网店买150个羽毛球，此时需付款：200×20+5×150×90%＝4675元，∵4675＜4725＜4750，∴最省钱的购买方案为：在甲网店买20副球拍赠送100个羽毛球，在乙网店买150个羽毛球．如图，正方形ABCD的边长为a．（1）根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S；（2）当a＝6，b＝2时，求阴影部分的面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）S阴影＝S正方形﹣S△ABC﹣S△DEF＝a2−12a2−12×4b=12a2−2b；（2）当a＝6，b＝2时，S阴影=12×62−2×2＝14．题型1 代数式求值解｜题｜知｜识（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种： ①已知条件不化简，所给代数式化简； ②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简．