初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）方程精品学案

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）方程精品学案，文件包含32代数式的值初中数学七年级上册同步讲义人教版2024原卷版docx、32代数式的值初中数学七年级上册同步讲义人教版2024解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共30页， 欢迎下载使用。
内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 方程的定义
【典例1】下列各式中，属于方程的是（ ）
A．2x+3﹣（x+2）B．3x+1＞（4x﹣2）
C．3x﹣1＝4x+2D．2+5＝7
【答案】C
【解答】解：A．2x+3﹣（x+2），不含“＝”，不是方程，故本选项不符合题意；
B．3x+1＞（4x﹣2），含不等号，不是方程，故本选项不符合题意；
C．3x﹣1＝4x+2是方程，故本选项符合题意；
D．2+5＝7，不含未知数，不是方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【变式1】若比某数的相反数大2的数是8，设某数为x，可列方程为（ ）
A．﹣x+2＝8B．﹣2x＝8C．﹣x＝2+8D．x﹣2＝8
【答案】A
【解答】解：设某数为x，根据题意得，﹣x+2＝8．
故选：A．
【变式2】下列说法正确的是（ ）
A．单项式和多项式统称为整式
B．倒数等于本身的数有0和1
C．所有等式都是方程
D．最小的有理数是0
【答案】A
【解答】解：单项式和多项式统称为整式，则A符合题意，
倒数等于本身的数有﹣1和1，则B不符合题意，
含有未知数的等式即为方程，则C不符合题意，
没有最小的有理数，则D不符合题意，
故选：A．
【变式3】在①2x﹣1；②2x+1＝3x；③|π﹣3|＝π﹣3；④t+1＝3中，等式有 ②③④ ，方程有 ②④ ．（填入式子的序号）
【答案】②③④；②④
【解答】解：等式有②③④，方程有②④．
故答案为：②③④，②④．
题型2 方程的解
【典例1】如果关于x的方程2x+k﹣4＝0的解x＝﹣3，那么k的值是（ ）
A．﹣10B．10C．2D．﹣2
【答案】B
【解答】解：把x＝﹣3代入方程2x+k﹣4＝0，
得：﹣6+k﹣4＝0
解得：k＝10．
故选：B．
【变式1】方程﹣3（★﹣9）＝5x﹣1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，那么★处的数字是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解答】解：将x＝5代入方程，得：﹣3（★﹣9）＝25﹣1，
解得：★＝1，
即★处的数字是1，
故选：A．
【变式2】小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解答】解：把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，得
2×（9﹣3）﹣■＝9+1，
解得■＝2；
故选：C．
【变式3】已知x＝﹣1是关于x的方程8x3﹣4x2+kx+9＝0的一个解，求3k2﹣15k﹣95的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：将x＝﹣1代入方程得：﹣8﹣4﹣k+9＝0，
解得：k＝﹣3，
当k＝﹣3时，3k2﹣15k﹣95＝27+45﹣95＝﹣23．
题型3 等式的性质
【典例1】下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c
B．如果ac=bc，那么a＝b
C．如果a＝b，那么ac=bc
D．如果a2＝2a，那么a＝2
【答案】B
【解答】解：A．根据等式两边加上或减去同一个数，等式仍然成立，那么由a＝b得a﹣c＝b﹣c或a+c＝b+c，故A不符合题意．
B．根据等式两边乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，那么由ac=bc（c≠0），得ac⋅c=bc⋅c，即a＝b，故B符合题意．
C．根据等式两边乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，那么由a＝b，得ac=bc（c≠0），故C不符合题意．
D．当a＝0时，a2＝2a，故A不符合题意．
故选：B．
【变式1】下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ）
A．若x＝y，则x+5＝y+5B．若a＝b，则ac＝bc
C．若ac=bc，则a＝bD．若x＝y，则xa=ya
【答案】D
【解答】解：A、若x＝y，则x+5＝y+5，正确，不合题意；
B、若a＝b，则ac＝bc，正确，不合题意；
C、若ac=bc，则a＝b，正确，不合题意；
D、若x＝y，则xa=ya，a≠0，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
【变式2】已知等式ax+c＝ay+c，则下列等式不一定成立的是（ ）
A．ax＝ayB．x＝yC．m﹣ax＝m﹣ayD．2ax＝2ay
【答案】B
【解答】解：A、两边都减c，故A正确；
B、a＝0时，x≠y，故B错误；
C、两边都减c，两边都乘以﹣1，两边都加m，故C正确；
D、两边都减c，两边都乘以2，故D正确；
故选：B．
【变式3】由3x+5＝10，得到3x＝10﹣5的依据是 等式性质1 ．
【答案】等式性质1
【解答】解：从等式3x+5＝10得到3x＝10﹣5的依据是等式性质1，
故答案为：等式性质1．
题型4 一元一次方程的定义
【典例1】下列方程是一元一次方程的是（ ）
A．x+2y＝9B．x2﹣3x＝1C．1x=1D．12x−1=3x
【答案】D
【解答】解：A、x+2y＝9是二元一次方程，故错误；
B、x2﹣3x＝1是一元二次方程，故错误；
C、1x=1是分式方程，不是整式方程，故错误；
D、12x−1=3x即5x＝﹣2，是一元一次方程，正确．
故选：D．
【变式1】已知（m﹣2）x|m|﹣1﹣4＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为（ ）
A．±2B．﹣2C．2D．4
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，|m|﹣1＝1，m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2．
故选：B．
【变式2】下列数学问题中，不能用方程“x+13x=180”解决的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：A．
两底角度数和为13x°，由三角形内角和可知x+13x=180，不符合题意；
B．
由长方形面积公式可知大长方形的面积为1×(x+13)=180，即x+13=180，不能用方程“x+13x=180”解决，符合题意；
C．
车厘子重量为13x千克，根据总重量可知x+13x=180，不符合题意；
D．
由等底等高的圆锥的体积是圆柱的体积的13可知圆锥的体积是13xcm3，由体积和可知x+13x=180，不符合题意．
故选：B．
【变式3】若（k﹣4）x|k|﹣4﹣6＝0是关于x的一元一次方程，则k的值为 ±5 ．
【答案】±5．
【解答】解：∵（k﹣4）x|k|﹣4﹣6＝0是关于x的一元一次方程，
∴|k|﹣4＝1且k﹣4≠0，
解得：k＝±5．
故答案为：±5．
过 关 验 收
“某学校七年级学生人数为n，其中男生占45%，女生共有110人”，下列方程能表示上述语句中的相等关系的有（ ）
①（1﹣45%）n＝110；②1﹣45%=110n；③45%＝1−110n；④n=1101−45%；⑤1=110n+45%．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【解答】解：男生人数为（n﹣110），
∴45%n＝n﹣110，
∴（1﹣45%）n＝110，故①正确，
1﹣45%=110n，故②正确
45%＝1−110n，故③正确，
n=1101−45%，故④正确，
1=110n+45%，故⑤正确
故选：D．
某校长方形的操场周长为210m，长与宽之差为15m，设宽为xm，列方程为 2（x+x+15）＝210 ．
【答案】2（x+x+15）＝210
【解答】解：设宽为xm，则长为（x+15）m，
根据题意得，2（x+x+15）＝210．
故答案为：2（x+x+15）＝210．
如果x＝3，则下列等式中不正确的是（ ）
A．x+2＝3+2B．x2=32C．x﹣1＝3+1D．﹣x＝﹣3
【答案】C
【解答】解：当x＝3时，方程x+2＝3+2的左边＝3+2＝5＝右边，故A正确，不符合题意；
当x＝3时，方程x2=32的左边=32=右边，故B正确，不符合题意；
当x＝3时，方程x﹣1＝3+1的左边＝2≠右边，故C错误，符合题意；
当x＝3时，方程﹣x＝﹣3的左边＝﹣3＝右边，故D正确，不符合题意．
故答案为：C．
整式mx+2n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程﹣mx﹣2n＝2的解为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．0D．无法计算
【答案】C
【解答】解：∵﹣mx﹣2n＝2，
∴mx+2n＝﹣2，
根据表可以得到当x＝0时，mx+2n＝﹣2，即﹣mx﹣2n＝2．
故选：C．
已知关于x的方程（a+2）（x+5）＝2的解是x＝﹣6，那么a的值是 ﹣4 ．
【答案】﹣4．
【解答】解：把x＝﹣6代入关于x的方程（a+2）（x+5）＝2得，
（a+2）×（﹣6+5）＝2，
解得a＝﹣4．
故答案为：﹣4．
定义一种新的运算“⊗”，它的运算法则为：当a、b为有理数时，a⊗b=13a−14b，比如：6⊗4=13×6−14×4=1，则方程x⊗2＝1⊗x的解为x＝ 107 ．
【答案】107
【解答】解：∵x⊗2＝1⊗x，
∴13x−14×2=13×1−14x，
解得x=107，
故答案为：107．
小马虎在解关于x的方程2a﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3，则原方程的解为 x＝﹣3 ．
【答案】x＝﹣3
【解答】解：∵小马虎在解关于x的方程2﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3，
∴把x＝3代入2a+5x＝21得出方程2a+15＝21，
解得：a＝3，
即原方程为6﹣5x＝21，
解得x＝﹣3．
故答案为：x＝﹣3．
小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了x＝1−x−●5，他翻阅了答案知道这个方程的解为x＝1，于是他判断●应该是 1 ．
【答案】1
【解答】解：●用a表示，把x＝1代入方程得1＝1−1−a5，
解得：a＝1．
故答案为：1．
小艺在解关于m的方程2−2m−43=3c−2m时，误将﹣2m看作+2m，得方程的解为m＝1．
（1）请帮小艺求c的值．
（2）请帮小艺求方程正确的解．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）把m＝1代入看错的式子2−2m−43=3c+2m中，
得：2+23=3c+2，
解得：c=29；
（2）把c=29代入原方程得：2−2m−43=23−2m，
去分母得：6﹣（2m﹣4）＝2﹣6m，
去括号得：6﹣2m+4＝2﹣6m，
移项得：﹣2m+6m＝﹣10+2，
合并同类项得：4m＝﹣8，
解得：m＝﹣2．
若a，b互为相反数，c，d互为倒数，则关于x的方程（a+b）x2+3cd（x+1）−7x−54=3的解为多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得：a+b＝0，cd＝1，
原方程化为：3（x+1）−7x−54=3，
12（x+1）﹣（7x﹣5）＝12，
12x+12﹣7x+5＝12，
12x﹣7x＝12﹣12﹣5，
5x＝﹣5，
x＝﹣1．
下列变形中，错误的是（ ）
A．由x＝y，得x+5＝y+5B．由m＝n，得m﹣2＝n﹣2
C．由mx＝my，得x＝yD．由a＝b，得a|c|+1=b|c|+1
【答案】C
【解答】解：A、已知x＝y，等式两边同时加5，得到x+5＝y+5，该变形正确，不符合题意；
B、因为m＝n，等式两边同时减2，可得m﹣2＝n﹣2，该变形正确，不符合题意；
C、按照等式的基本性质2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等．当m＝0时，由mx＝my，不能得出x＝y，因为0乘任何数都为0，此时等式两边不能同时除以m（m＝0），所以该变形错误；
D、由于|c|≥0，那么|c|+1≥1，即|c|+1≠0，根据等式的基本性质2：等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立．已知a＝b，等式两边同时除以|c|+1，得到a|c|+1=b|c|+1，该变形正确．
故选：C．
下列由等式的性质进行的变形，不正确的是（ ）
A．如果x＝y，那么x+a＝y+a
B．如果xa=ya，那么x＝y
C．如果x＝y，那么xa2+1=ya2+1
D．如果ax+b＝ay+b，那么x＝y
【答案】D
【解答】解：A、如果x＝y，那么x+a＝y+a，原式变形正确，不符合题意；
B、如果xa=ya，那么x＝y，原式变形正确，不符合题意；
C、如果x＝y，那么xa2+1=ya2+1，原式变形正确，不符合题意；
D、如果ax+b＝ay+b，那么x＝y（a≠0），原式变形错误，符合题意；
故选：D．
若a＝b，则下列计算正确的有（ ）
①a+m＝b+m；②a﹣m＝b﹣m；③am＝bm；④a+b＝m+m
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：∵a＝b，
∴a+m＝b+m，故①正确，符合题意；
a﹣m＝b﹣m，故②正确，符合题意；
am＝bm，故③正确，符合题意；
由a＝b无法得出a+b＝m+m故④无法判断，不符合题意．
故选：C．
如图，若天平①平衡，则下列选项中，天平一定平衡的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：根据题意可知，a＝b，
∴2a＝2b，即a+a＝b+b，
∴天平一定平衡的是C，符合题意．
故选：C．
下列运用等式的性质变形错误的是（ ）
A．若a2＝2a，则a＝2
B．若x＝y，则xc＝yc
C．若x＝y，则xa2+1=ya2+1
D．若x＝y，则5﹣x＝5﹣y
【答案】A
【解答】解：若a2＝2a，当a≠0时，两边同除以a得a＝2，则A符合题意；
若x＝y，两边同乘c得xc＝yc，则B不符合题意；
若x＝y，两边同除以a2+1得xa2+1=ya2+1，则C符合题意；
若x＝y，两边同乘﹣1后再同时加上5得5﹣x＝5﹣y，则D符合题意；
故选：A．
下列利用等式的基本性质进行的变形中，正确的是（ ）
A．如果2x﹣4＝y+5，那么2x﹣y＝﹣4+5
B．如果x4−3＝5，那么x4=5﹣3
C．如果2x+2＝3，那么x+1＝3
D．如果﹣2x＝6，那么x＝﹣3
【答案】D
【解答】解：A、如果2x﹣4＝y+5，那么2x﹣y＝4+5，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、如果x4−3＝5，那么x4=5+3，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、如果2x+2＝3，那么x+1=32，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、如果﹣2x＝6，那么x＝﹣3，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
若方程x2a﹣1+5＝3是一元一次方程，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．0D．2
【答案】A
【解答】解：根据题意，得2a﹣1＝1，
解得a＝1．
故选：A．
下列是一元一次方程的是（ ）
A．x2+2x﹣1＝0B．12x−3=0C．1x+2x=1D．2x﹣y＝0
【答案】B
【解答】解：A．x2+2x﹣1＝0未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B．12x−3=0是一元一次方程，故此选项符合题意；
C．1x+2x=1的分母含有未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D．2x﹣y＝0含有2个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
故选：B．
如果关于x的方程（m﹣1）xn﹣2+5＝0是一元一次方程．那么m，n应满足的条件是（ ）
A．m＝1，n＝2B．m≠0，n＝3C．m≠1，n＝3D．m＞1，n＝3
【答案】C
【解答】解：由题意得，m﹣1≠0且n﹣2＝1，
∴m≠1，n＝3，
故选：C．
题型1 方程的定义
题型2 方程的解
题型3 等式的性质
题型4 一元一次方程的定义
解｜题｜知｜识
（1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程．
方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．
（2）列方程的步骤：
①设出字母所表示的未知数；
②找出问题中的相等关系；
③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程．
在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程，例如x+3＝8，在x＝5时等号成立．
解｜题｜知｜识
（1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性．
（2）规律方法总结：
无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．
解｜题｜知｜识
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
解｜题｜知｜识
（1）一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）
这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．
x
﹣2
﹣1
0
1
2
mx+2n
2
0
﹣2
﹣4
﹣6