2025_2026学年3.2.2代数式的值的实际应用与程序计算学案人教版七年级数学上学期 [含答案]

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3.2.2 代数式的值的实际应用与程序计算一、学习目标【知识技能】能运用代数式的值解决实际问题，理解程序计算的原理，掌握整体代入的思想方法。【数学思考】经历将实际问题转化为代数式求值的过程，发展建模思想和应用意识。【问题解决】能分析实际问题中的数量关系，列出代数式并代入求值，能读懂简单的程序框图。【核心素养】通过实际应用和程序计算，培养数学建模能力和逻辑推理能力，体会数学的应用价值。二、学习重难点【重点】实际问题中列代数式并求值，程序计算，整体代入法。【难点】分析实际问题中的数量关系，整体代入思想的灵活运用。三、情境导入在日常生活中，我们经常需要用代数式来表示数量关系，然后代入具体数值计算结果。这就是代数式求值的实际应用。四、合作探究探究点1：程序计算在计算机程序中，我们可以把代数式设计成计算程序。输入一个值，程序就会按照设定的步骤计算，输出结果。图1：程序计算流程图【思考】程序计算与代数式求值有什么关系？程序实际上就是用流程图的形式表示一个代数式，输入值就是字母的取值，输出值就是代数式的值。探究点2：实际问题中的代数式求值图2：实际应用问题解题流程探究点3：整体代入思想图3：整体代入思想示意五、典型例题题型一：程序计算问题【例1】根据如图所示的程序计算，若输入 x 的值为 3，求输出的结果。输入 x → 平方 → 加上 2x → 减去 1 → 输出结果根据程序，对应的代数式为：x² + 2x - 1当 x = 3 时，x² + 2x - 1 = 3² + 2 × 3 - 1 = 9 + 6 - 1 = 14所以输出的结果是 14。【方法总结】解程序计算问题的关键是根据程序写出对应的代数式，然后将输入值代入计算即可。题型二：销售利润问题【例2】某商店购进一批文具，每件进价为 a 元，零售价为每件 b 元。第一天卖出了 15 件，第二天卖出了 20 件。(1) 用代数式表示这两天的总利润；(2) 当 a = 5，b = 8 时，求这两天的总利润；(3) 如果第三天卖出的件数是前两天总和的一半，求三天的总利润（用代数式表示）。(1) 每件利润 = 售价 - 进价 = (b - a) 元两天总销量 = 15 + 20 = 35 件总利润 = 35(b - a) 元(2) 当 a = 5，b = 8 时，35(b - a) = 35 × (8 - 5) = 35 × 3 = 105（元）答：这两天的总利润是 105 元。(3) 第三天销量 = 35 ÷ 2 = 17.5？不对，销量应该是整数。 第三天销量是前两天总和的一半，即 352 件？ 三天总利润 = (15 + 20 + 17.5)(b - a) = 52.5(b - a) 元 或写成分数形式：105(b-a)/2 元题型三：整体代入求值【例3】已知 x + 2y = 4，求代数式 3x + 6y - 2 的值。观察发现：3x + 6y = 3(x + 2y)所以 3x + 6y - 2 = 3(x + 2y) - 2把 x + 2y = 4 整体代入，得：3 × 4 - 2 = 12 - 2 = 10答案：10【例4】已知 x² - 2x = 3，求代数式 2x² - 4x + 7 的值。观察发现：2x² - 4x = 2(x² - 2x)所以 2x² - 4x + 7 = 2(x² - 2x) + 7把 x² - 2x = 3 整体代入，得：2 × 3 + 7 = 6 + 7 = 13答案：13六、错误诊所七、达标检测A组 基础巩固1. 按程序：输入 x → 乘以 2 → 加上 5 → 输出。若输入 x = 3，则输出为（ ）A. 11 B. 10 C. 9 D. 82. 已知 a + b = 2，则代数式 2a + 2b + 3 的值为（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 83. 一支铅笔的售价为 m 元，小红买了 5 支铅笔，她付给售货员 20 元，应找回（ ）A. 5m 元 B. (20 - 5m) 元 C. (5m - 20) 元 D. (20 + 5m) 元4. 某班有男生 a 人，女生比男生多 3 人，则全班人数为____人；当 a = 25 时，全班有____人。5. 根据程序计算：输入 x → 平方 → 减去 3 → 输出结果。 (1) 当 x = 2 时，输出结果为____； (2) 当 x = -2 时，输出结果为____； (3) 当输出结果为 6 时，输入的 x = ____。B组 能力提升6. 若 2a - b = 3，则代数式 2b - 4a + 5 的值为（ ）A. -1 B. 1 C. 11 D. -117. 一个长方形的长是 a 厘米，宽比长短 3 厘米。当 a = 10 时，这个长方形的面积是（ ）A. 70 平方厘米 B. 30 平方厘米 C. 13 平方厘米 D. 26 平方厘米8. 某书店出售一种图书，每本定价 15 元。为了促销，书店规定：买 10 本以上，从第 11 本开始打八折。(1) 小明买了 8 本，需要付多少钱？(2) 小红买了 15 本，需要付多少钱？(3) 如果买 x 本（x > 10），需要付多少钱？（用代数式表示）9. 已知 x² + 3x = 2，求代数式 2x² + 6x - 5 的值。C组 拓展创新10. 【程序循环】有一个程序：输入 x → 乘以 2 → 减去 1 → 检查结果是否大于 100，如果大于就输出结果；如果不大于，就把结果作为新的输入值继续计算。 若开始输入 x = 10，那么经过几次运算后输出？输出的结果是多少？11. 【方案选择】某通讯公司推出两种手机话费套餐： 套餐A：月租费 20 元，通话每分钟 0.2 元； 套餐B：无月租费，通话每分钟 0.3 元。 (1) 设一个月通话时间为 x 分钟，用代数式分别表示两种套餐的费用； (2) 当每月通话 150 分钟时，选择哪种套餐更合算？ (3) 当每月通话多少分钟时，两种套餐费用相同？八、中考链接九、数学文化十、小结与反思【知识框架】• 程序计算：读懂程序框图 → 写出代数式 → 代入求值• 实际应用：审题 → 列代数式 → 代入计算 → 检验作答• 整体代入：观察已知与待求的关系 → 变形 → 整体代入计算【思想方法】• 建模思想：将实际问题转化为数学问题（代数式）• 整体思想：将某个代数式看作整体，简化计算• 转化思想：程序问题 → 代数式问题 → 计算问题• 分类思想：方案选择问题需要分类讨论不同情况【注意事项】1. 程序计算要严格按照步骤顺序，注意运算顺序，必要时加括号；2. 实际问题中要注意单位统一，结果要符合实际意义；3. 整体代入时，要正确运用去括号和添括号法则，注意符号变化；4. 列代数式时要准确理解题意，理清数量关系；5. 结果要检验，确保答案合理。【学习反思】□ 我能读懂简单的程序框图并列代数式□ 我能解决实际问题中的代数式求值问题□ 我掌握了整体代入的思想方法□ 我能进行方案选择类的计算与比较□ 我能在解题后检验结果是否合理我的困惑：________________________________________________我的收获：________________________________________________答案一、学习目标（略，见正文）二、学习重难点（略，见正文）三、情境导入问题(1). 0.8x 元（八折后）问题(2). 150 × 0.8 = 120 元问题(3). 300 × 0.8 = 240 元，满200减20：240 - 20 = 220 元，会员再打九五折：220 × 0.95 = 209 元问题(4). 设原价为 x 元，0.8x = 200 → x = 250 元四、合作探究探究点1 试一试. (1) 3×4 - 2 = 10； (2) 3×(-1) - 2 = -5； (3) 3x - 2 = 7 → x = 3探究点2 活动探究. (1) 距甲地：vt 千米；距乙地：(200 - vt) 千米(2) 距甲地：60×2 = 120 千米；距乙地：200 - 120 = 80 千米(3) 需要 200/v 小时(4) 当 v = 80 时，20080 = 2.5 小时探究点3 探究活动. (1) 2×3 = 6； (2) 2×3 = 6； (3) 6 + 5 = 11① a和b的值不确定，有无数种可能；② 可以，用整体代入法；③ 把某个代数式看成整体代入，可以不用求每个字母的值，简化计算。五、典型例题例1. 输出结果为 14例2. (1) 35(b - a) 元； (2) 105 元； (3) 52.5(b - a) 元例3. 10例4. 13六、错误诊所（略，见正文解析）七、达标检测A组 基础巩固1. A. 112. C. 73. B. (20 - 5m) 元4. (2a + 3) 人；当 a = 25 时，全班有 53 人5. (1) 4 - 3 = 1； (2) 4 - 3 = 1； (3) x² - 3 = 6 → x = ±3B组 能力提升6. A. -1 （2b - 4a + 5 = -2(2a - b) + 5 = -6 + 5 = -1）7. A. 70 平方厘米 （10 × (10-3) = 70）8. (1) 8 × 15 = 120 元；(2) 10×15 + 5×15×0.8 = 150 + 60 = 210 元；(3) 10×15 + (x-10)×15×0.8 = 150 + 12(x-10) = (12x + 30) 元9. 2x² + 6x - 5 = 2(x² + 3x) - 5 = 2×2 - 5 = -1C组 拓展创新10. 第1次：2×10 - 1 = 19（不大于100，继续）第2次：2×19 - 1 = 37（不大于100，继续）第3次：2×37 - 1 = 73（不大于100，继续）第4次：2×73 - 1 = 145（大于100，输出）答案：经过4次运算，输出结果为145。11. (1) 套餐A：(20 + 0.2x) 元；套餐B：0.3x 元(2) A: 20 + 0.2×150 = 50 元；B: 0.3×150 = 45 元；选择套餐B更合算(3) 20 + 0.2x = 0.3x → x = 200 分钟八、中考链接真题试卷1. C真题试卷2. (1) (20 - x) 元；(2) 销量 30 件，总利润 450 元九、数学文化（略，阅读了解）十、小结与反思（略，自行总结）【生活情境】超市购物促销某超市在国庆期间推出促销活动：• 所有商品一律打八折销售• 购物满 200 元再减 20 元• 会员还可以再享受九五折优惠问题：(1) 如果一件商品的原价为 x 元，那么打折后的价格是多少元？(2) 小明买了一件原价 150 元的商品，实际需要付多少钱？(3) 妈妈买了一件原价 300 元的商品，她是会员，实际需要付多少钱？(4) 如果你有 200 元钱，最多可以买原价多少元的商品（非会员）？【试一试】程序计算按下图所示的程序计算：输入 x → 乘以 3 → 减去 2 → 输出结果(1) 若输入 x = 4，则输出的结果是多少？(2) 若输入 x = -1，则输出的结果是多少？(3) 若输出的结果是 7，那么输入的 x 是多少？【活动探究】行程问题甲、乙两地相距 200 千米，一辆汽车从甲地出发，以 v 千米/时的速度匀速行驶。(1) 汽车行驶 t 小时后，距离甲地有多远？距离乙地还有多远？(2) 当 v = 60，t = 2 时，汽车距离甲地和乙地各有多远？(3) 汽车从甲地到乙地需要多长时间？用代数式表示。(4) 当 v = 80 时，汽车从甲地到乙地需要多长时间？【方法归纳】实际问题解题步骤1. 审题：弄清题意，找出已知量和未知量；2. 列代数式：用字母表示问题中的数量关系；3. 代入求值：将已知数值代入代数式，计算结果；4. 检验作答：检验结果是否符合实际意义，写出答案。关键：正确理解题意，找准数量关系。【探究活动】整体代入已知 a + b = 3，求下列代数式的值：(1) 2(a + b) (2) 2a + 2b (3) 2a + 2b + 5思考：① 你能求出 a 和 b 分别是多少吗？有多少种可能？② 不求出 a 和 b 的具体值，能算出结果吗？③ 什么是整体代入法？它有什么好处？【知识提炼】整体代入法定义：当已知条件和所求代数式中含有相同的部分时，我们可以将这部分看成一个整体，不用求出每个字母的具体值，直接整体代入计算。适用情况：已知某个代数式的值，求另一个与之相关的代数式的值。常见变形：• 若已知 a + b = m，则 2a + 2b = 2m，a + b + 3 = m + 3• 若已知 a - b = n，则 2a - 2b = 2n，b - a = -n核心：观察发现已知式与待求式之间的倍数关系或相反数关系。【易错点1】程序计算中运算顺序理解错误病例：程序：输入 x → 加上 3 → 平方 → 输出。当 x = 2 时，求输出值。错解：2 + 3² = 2 + 9 = 11诊断：程序是先加3，再对整个结果平方，即 (x+3)²，而不是 x + 3²。正确解法：(2 + 3)² = 5² = 25警示：程序计算要严格按照步骤顺序来，每一步都是对上一步结果进行操作，不是对原始输入值分别操作。必要时加括号明确运算顺序。【易错点2】实际问题中单位不统一病例：汽车以 60 千米/时的速度行驶，问 30 分钟行驶多少千米？错解：60 × 30 = 1800 千米诊断：速度单位是千米/时，时间是分钟，单位不统一，不能直接相乘。30分钟 = 0.5小时，应该是 60 × 0.5 = 30 千米。正确解法：30分钟 = 0.5小时，60 × 0.5 = 30（千米）警示：在实际问题中，一定要注意单位是否统一，不统一的要先统一单位再计算。【易错点3】整体代入时符号处理错误病例：已知 a + b = 5，求 3 - a - b 的值。错解：3 - a - b = 3 - (a - b) = 3 - 5 = -2诊断：添括号时符号错误。-a - b = -(a + b)，而不是 -(a - b)。正确解法：3 - a - b = 3 - (a + b) = 3 - 5 = -2（结果相同但过程错，换数就错了）警示：整体代入时，要正确运用添括号法则：括号前是负号，括号里各项都要变号。【中考真题试卷1】（2024·重庆中考）若 a - 2b = 3，则代数式 2a - 4b + 1 的值为（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 82a - 4b + 1 = 2(a - 2b) + 1 = 2×3 + 1 = 7答案：C【中考真题试卷2】（2023·湖北武汉中考改编）某商店销售一批玩具，每件进价为 40 元，售价为 60 元，平均每天可售出 20 件。为了扩大销售，商店决定降价销售。经调查发现，每件玩具每降价 1 元，平均每天可多售出 2 件。设每件玩具降价 x 元。(1) 降价后每件玩具的利润是多少元？(2) 当 x = 5 时，每天的销售量是多少件？每天的总利润是多少元？(1) 降价后每件利润 = (60 - x) - 40 = (20 - x) 元(2) 当 x = 5 时，销量 = 20 + 2×5 = 30 件总利润 = 30×(20 - 5) = 30×15 = 450 元【数学史话】程序思想的起源程序计算的思想可以追溯到古代。早在公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中就提出了求最大公约数的"辗转相除法"，这可以看作是最早的算法程序之一。中国古代数学也有很多程序化的算法，比如《九章算术》中的"盈不足术""方程术"等，都是按照固定的步骤来解决一类问题。在现代，程序计算已经成为计算机科学的基础。计算机本质上就是按照程序（指令序列）来执行计算的机器。我们使用的所有软件——从手机APP到游戏、从搜索引擎到人工智能——都是由各种各样的程序组成的。代数式求值是最简单的程序之一。通过学习程序计算，我们可以初步体会算法的思想，为以后学习编程和计算机科学打下基础。有趣的是，最早的计算机程序是由一位女性——阿达·洛芙莱斯（Ada Lovelace）在19世纪编写的。她被称为"世界上第一位程序员"。