人教版（2024）七年级上册（2024）有理数的乘方优秀导学案

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内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 有理数的乘方
【典例1】下列各组数相等的有（ ）
A．（﹣2）2与﹣22B．（﹣1）3与﹣（﹣1）2
C．﹣|﹣0.3|与0.3D．|a|与a
【变式1】一个数的平方等于16，则这个数的立方与这个数的绝对值的和是（ ）
A．±4B．﹣60C．68D．﹣60或68
【变式2】下列各组数中，相等的一组是（ ）
A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1|B．﹣32与（﹣3）2
C．（﹣4）3与﹣43D．223与(23)2
【变式3】下列各数：①﹣12；②﹣（﹣1）2；③﹣13；④﹣（﹣1）4其中结果等于﹣1的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【变式4】在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示．
则第5个方框中最下面一行的数可能是（ ）
A．1296B．2809C．3136D．4225
【变式5】方方与圆圆两位同学计算−42÷(−2)3×(−18)的过程如下：
（1）以上计算过程中，方方开始出错的是第 步，圆圆开始出错的是第 步（填序号）；
（2）写出你的计算过程．
题型2 非负数的性质：偶次方
【典例1】若有理数x，y满足|x+2|+（y﹣3）2＝0，则xy的值是（ ）
A．﹣8B．8C．9D．﹣9
【变式1】已知|m﹣1|+（n+3）2＝0，则m﹣n的值等于（ ）
A．4B．﹣2C．2D．﹣4
【变式2】若|m﹣2|+（n+3）2＝0，则m+n＝ ．
【变式3】若|a+2|与（b﹣6）2互为相反数，则ab＝ ．
【变式4】已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答问题：
（1）请直接写出a、b、c的值．a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）画一条数轴，并将下列各数标在数轴上．
﹣（﹣1），﹣22，−12，|﹣3|．
【变式5】如图1，点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，且|a+24|+（b﹣10）2＝0．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）如图2所示，现将该数轴沿着点C折叠，使得点A的对应点A1与点B重合．
①点C表示的数为 ；
②点D为该数轴上点C左侧的一点，沿着点C进行同样的折叠后，对应点记作点E．若点E与点B之间相距5个单位长度，借助数轴求出点D所表示的数．
题型3 有理数的混合运算
【典例1】有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：
若输入的值为π，则y10的值为（ ）
A．256π255π+1B．512π511π+1
C．1024π1023π+1D．2048π2047π+1

【变式1】下列算式正确的是（ ）
A．（﹣5）+（+3）＝﹣8B．（﹣5）﹣（+3）＝﹣2
C．(−3)÷(−12)=6D．|﹣3|×（﹣2）2＝﹣12
【变式2】二进制数（101）2可用十进制表示为1×22+0×21+1×20＝5，同样地，三进制数（102）3可用十进制表示为1×32+0×31+2×30＝11．现有二进制数a＝（11101）2、三进制数b＝（1010）3，那么a、b的大小关系是（ ）
A．a＜bB．b＜aC．a＝bD．不能确定
【变式3】计算2+2+⋯+︸m个22+3×3×⋯×3︸n个3的结果是（ ）
A．2m+3nB．2m+3nC．m2+3nD．2m+n3
【变式4】如表，张老师把教室里的白板密码设置成了数学问题，小明同学看到图表后思索了片刻，之后输入密码，顺利地进入了白板页面，那么她输入的密码是（ ）
A．jia666666B．jia723672C．jia123636D．jia363672
【变式5】上海举办过第十四届国际数学教育大会（简称ICME﹣14），会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进仿数字3745．我们常用的数是十进制数，如4657＝4×103+6×102+5×101+7×1，在电子计算机中用的二进制，如二进制中110＝1×22+1×21+0×1等于十进制的数6、八进制数字3745换算成十进制是 ．
题型4 近似数和有效数字
【典例1】下列说法正确的是（ ）
A．近似数1.8945精确到0.001
B．近似数0.520精确到百分位
C．近似数3.72精确到百分位
D．近似数5000精确到千位
【变式1】按括号内的要求用四舍五入法取近似数，下列错误的是（ ）
A．1.804≈1.80（精确到0.1）
B．0.0296≈0.03（精确到0.01）
C．304.35≈304（精确到个位）
D．1.804≈1.80（精确到百分位）
【变式2】为了测试一款智能焊接机器人的精确度，将四个机器人分别对同一焊接处的长度进行两次测量，下面是每个机器人两次测量结果的差，则对应的两次测量结果最接近的是（ ）
A．0.03毫米B．﹣0.02毫米C．0.02毫米D．﹣0.01毫米
【变式3】下列说法正确的是（ ）
A．任何有理数的正偶次方总为正数
B．若a+b＞0且ab＜0，则a，b异号且负数的绝对值较大
C．若a+b＝0且ab≠0，则ab=−1
D．近似数5.23×107精确到了百分位
【变式4】把3.1415926精确到百分位的近似值为 ．
【变式5】我国的国土面积为9596950平方千米，把它四舍五入精确到万位是 平方千米．
题型5 科学记数法—表示较大的数
【典例1】2025年12月4日，“春节﹣中国人庆祝传统新年的社会实践”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．2026年是第一个“非遗版”春节，某电商平台年货节期间，河南特产销售总额突破了12600000000元．将数据“12600000000”用科学记数法表示为（ ）
A．126×109B．1.26×1010
C．12.6×109D．0.126×1010
【变式1】据统计我国每年浪费的粮食约35000000吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示35000000是（ ）
A．3.5×106B．3.5×107C．35×106D．35×107
【变式2】ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.75×103B．1.75×1012C．1750×108D．1.75×1011
【变式3】中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，将这个数用科学记数法表示为（ ）
A．44×108B．4.4×108C．4.4×109D．4.4×1010
【变式4】 2021年12月9日，“天宫课堂”第一课在中国空间站正式开讲，青少年参与踊跃．这是时隔8年之后，中国航天员再次进行太空授课．早在2013年6月20日，全国6000余万中小学生观看了首次太空授课直播．数6000万用科学记数法表示为（ ）
A．6×103B．60×106C．6×107D．0.6×108
【变式5】下列说法正确的是（ ）
A．一个数的绝对值越大，在数轴上表示这个数的点离原点越远
B．(−213)3=−8127
C．−8，2025，314，0，π+1，19，−7.3中，非负整数有1个
D．2025年九三阅兵中洲际导弹东风﹣31A射程超过11000公里，11000用科学记数法表示为1.1×103
过 关 验 收
下列选项中，互为相反数的是（ ）
A．（﹣3）3和﹣33B．|−12|和12
C．12025和2025D．﹣22和（﹣2）2
下列关于描述正确的个数是：（ ）
①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③平方等于它本身的数只有0；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．
A．1个B．2个C．3个D．4个
下列各组算式中，计算结果相等的是（ ）
A．32与23B．﹣23与（﹣2）3
C．﹣32与（﹣3）2D．[﹣2×（﹣3）]2与2×（﹣3）2
平方根等于本身的数是 ．
如果|x﹣1|+（y+2）2＝0，那么yx的值是（ ）
A．﹣2B．2C．1D．﹣1
若（a﹣1）2+|b﹣2|＝0，则（a﹣b）2025＝ ．
已知x，y是有理数，且满足|x−3|+(y+12)2=0，则﹣yx＝ ．
如图是一个简单的运算程序，如果输入的x值为﹣2，则输出的结果为（ ）
A．6B．﹣6C．﹣12D．﹣14
远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）天
A．343B．466C．441D．462
如图是一个计算程序，若输入a的值为﹣1，则输出的结果b为（ ）
A．﹣5B．﹣6C．5D．6
下列说法：①平方等于它本身的数是1；②倒数等于它本身的数是±1；③若|a|＝a，则a≥0；④若|a|＞|b|，则有（a﹣b）是正数；⑤A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝2；⑥a+b＝0（a、b都不为0），则b|a|+a|b|的值为0．其中正确的是 ．（填写序号）
一条山路，从A地到B地是下坡路，从B地到C地是上坡路．小张从A地出发经B地到C地所用的时间，比从C地出发经B地回到A地的时间多5分钟，已知小张上坡的速度是下坡的23，AB两地的路程与BC两地的路程的比是5：7．那么，小张在这条山路上往返一次要 小时．
DeepSeek﹣R1发布后用户数量爆发，在1月份累计获得约1.25亿用户，数据1.25亿精确到（ ）
A．亿位B．千万位C．百万位D．百分位
用四舍五入法将3.818精确到百分位，所得到的结果为 ．
DeepSeek﹣V3是一款基于混合专家（ME）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，DeepSeek的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ）
A．6.71×1012B．6.71×1011C．67.1×1010D．671×109
“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”．二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类历史上的奇迹．将25000用科学记数法可表示为 ．
题型1 有理数的乘方
题型2 非负数的性质：偶次方
题型3 有理数的混合运算
题型4 近似数和有效数字
题型5 科学记数法—表示较大的数
解｜题｜知｜识
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
方方：
−42÷(−2)3×(−18)
＝﹣16÷（﹣8）×（−18）①
=−16÷[(−8)×(−18)]②
＝﹣16÷1③
＝﹣16④
圆圆：
−42÷(−2)3×(−18)
＝（﹣8）÷（﹣6）×（−18）①
=−48×(−18)②
＝﹣6③
解｜题｜知｜识
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
解｜题｜知｜识
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
账号：wenxinzhijia
wen⊕5*3*6＝wen301848
xin⊕2*6*7＝xin144256
jia⊕6*6*6＝密码
解｜题｜知｜识
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
解｜题｜知｜识
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．