专题03 函数的奇偶性与对称性（原卷版+解析版） 人教版（2019）高一数学必修一

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专题03 函数的奇偶性与对称性（解析版） 人教版（2019）高一数学必修一题型建模 专项突破题型一、用定义法判断函数的奇偶性（重点）1．（25-26高一上·新疆·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】由，写出各项对应函数的解析式，利用函数奇偶性的定义依次判断各项对应函数的奇偶性.【详解】因为，A：，而，显然不是奇函数，不符；B：，定义域为，显然不关于原点对称，不符；C：，其中且定义域为，易知为奇函数；D：，定义域为，显然不关于原点对称，不符；故选：C2．（24-25高一下·湖南长沙·期末）是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据函数是奇函数的定义计算判断即可.【详解】由题可知：是定义在上的奇函数，所以，对A，成立，故正确；对B，成立，故正确；对C，令，则，不成立，故错误；对D，，由，所以成立，故正确；故选：C3．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由奇函数定义及选项单调性可得正确答案.【详解】对于A，定义域为，，则函数为奇函数，又函数在递减，在上单调递增，则A错误；对于B，定义域为，，则函数为奇函数，又函数在上单调递增，故B正确；对于C，定义域为，，则函数为偶函数，故C错误；对于D，定义域为，定义域不关于原点对称，为函数非奇非偶函数，故D错误.故选：B4．函数 的图象大致是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题意，求得函数为奇函数，其图象关于原点对称，再求得在上单调递增，在上单调递减，结合选项，即可求解.【详解】由函数，可得函数的定义域为，且满足，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A选项，又由当时，，可得在上单调递增，当时，，可得在上单调递减，所以D选项符合题意.故选：D5．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列函数的奇偶性，并说理．(1)；(2)；(3)；(4) 【答案】(1)偶函数，理由见解析(2)既是奇函数又是偶函数，理由见解析(3)既不是奇函数，又不是偶函数，理由见解析(4)偶函数，理由见解析【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可.【详解】（1）∵函数的定义域为，定义域关于原点对称，又，∴为偶函数．（2）∵函数的定义域为，定义域关于原点对称，且，∴既是奇函数又是偶函数．（3）∵函数的定义域为，定义域不关于原点对称，∴既不是奇函数，又不是偶函数．（4）的定义域是，定义域关于原点对称．当时，，；当时，，．综上可知，对于，都有，所以为偶函数．题型二、利用函数的奇偶性求值和解析式1．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知是定义在上的偶函数，当时，，则（   ）A．B．7C．D．5【答案】B【分析】根据偶函数定义，求等价于求，即可解出.【详解】因为是定义在上的偶函数，所以.当，，所以.故选：B.2．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（    ）A．1B．-1C．2D．-2【答案】B【分析】根据，的奇偶性得到，然后求函数值即可.【详解】由①得，因为为奇函数，为偶函数，所以，，所以②，①-②得：，所以，则.故选：B.3．（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）已知函数是定义域为的偶函数，且当时，，则当时，（   ）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用偶函数的性质求函数解析式即得.【详解】当时，，则，∵函数是定义域为的偶函数，∴，∴.故选：A.4．函数是定义在上的偶函数，当时，，则在上的表达式为（   ）A．B．C．D．【答案】A【分析】令，则，再根据函数为偶函数求出时的解析式，即可得解.【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以，当时，，令，则，则，所以当时，，综上所述，.故选：A.5．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数，若，则（   ）A．B．C．1D．3【答案】C【分析】根据奇函数的性质即可求解.【详解】，则为奇函数，即，故选:C.6．（多选题）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ）A．B．是奇函数C．D．当时，【答案】AD【分析】AB选项，由奇函数得到，，进而得到，得到为偶函数，B错误；C选项，；D选项，由函数的奇偶性结合时的解析式，求出答案.【详解】AB选项，因为是定义在R上的奇函数，根据奇函数性质可知，，A正确；的定义域为R，由于，则，即为偶函数，B错误；C选项，当时，，则，故，C错误；D选项，当时，，则，所以，D正确．故选：AD．7．（2025高一·全国·专题练习）已知为定义在上的奇函数，当时有，求的解析式．【答案】【分析】由为定义在上的奇函数，则，再根据时，，求解即可.【详解】因为为定义在上的奇函数，所以．设，所以题型三、利用函数的奇偶性求参数（常考点）1．（25-26高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的奇函数，则 ， .【答案】 1 0【分析】由题知区间需对称，则，结合，即可求解，注意需检验.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以且，所以，.此时，是定义在上的奇函数.故答案为：1；02．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 .【答案】2【分析】根据奇函数性质得到，代入化简得到答案.【详解】若函数为奇函数，则，解得：.故答案为：.3．（25-26高一上·全国·开学考试）设是偶函数，且定义域为，则 ．【答案】【分析】由偶函数的定义域是关于原点对称求出，再结合求出即可.【详解】因为是偶函数，所以定义域关于原点对称，即，解得，由得，即，所以，，所以．故答案为：.4．（23-24高一上·河南郑州·期中）已知函数．(1)若为奇函数，求a的值；(2)试判断在上的单调性，并用定义证明．【答案】(1)；(2)在上递增，证明见解析.【分析】（1）由奇偶性定义，先确定函数定义域，再由求参数.（2）令，应用作差法比较大小即可证.【详解】（1）由题设，且定义域为，又为奇函数，则，所以.（2）在上递增，证明如下：令，则，，，故，即，所以在上递增.5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数是偶函数．(1)求实数的值；(2)若，用定义法证明函数在上单调递增．【答案】(1)实数的值为(2)证明见解析.【分析】（1）由偶函数的性质可得，代入化简后即可求解.（2）由函数单调性的定义，设，通过作差证明，即可得证.【详解】（1）由已知函数在上是偶函数，则有，即，即，即，又时均成立，解得.于是实数的值为.（2）由已知得，解出，则.证明如下：任取，则有，因为，所以，所以，即.故函数在上单调递增.题型四、函数的奇偶性结合单调性比较大小1．设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据函数为偶函数，将自变量转化到同一个单调区间，再根据函数的单调性比较大小即可.【详解】因为为定义在上的偶函数，所以，又因为在上为增函数，，所以，即.故选：B.2．设函数为上的偶函数，且在上为单调递减函数，则，，的大小顺序为 .（用“”连接）【答案】【分析】根据函数奇偶性与单调性的关系可得在上为单调递增函数，然后利用单调性比较大小即可.【详解】函数为上的偶函数，且在上为单调递减函数，则在上为单调递增函数，所以.故答案为：.3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中是偶函数，比较大小： ．【答案】＜【分析】根据是偶函数求出，即得解析式，然后求出函数值比较大小即可．【详解】是偶函数，对称轴为即，，，故答案为：＜．题型五、函数的奇偶性结合单调性解不等式1．已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据奇函数的性质化简不等式，然后根据函数的单调递减解关于的不等式，求出的取值范围.【详解】因为奇函数在上有定义，所以，所以所以，解得.所以的取值范围为.故选：D.2．已知奇函数的定义域为，当且，时，恒成立，则不等式的解集为（   ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意结合奇函数性质可知函数在内单调递减，再根据奇函数性质以及单调性解不等式即可.【详解】因为当且，时，恒成立，则在内单调递减，又因为函数为奇函数，可知在内单调递减，所以函数在内单调递减，若，则，可得，即，解得，所以不等式的解集为.故选：C.3．若定义在上的奇函数，对，且有，且，则满足的x的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性和在上的单调性，判断函数在上的单调性，从而得到函数的正负，分、、三种情况讨论，得到使得成立的的取值范围.【详解】因为对，且有，所以在上单调递减，因为是奇函数，所以在上也单调递减，且，所以当时，，当时，，当时，，①当时，要使得，则要求，所以，解得；②当时，符合；③当时，要使得，则要求，所以，解得；综上，x的取值范围是，故选：B.4．定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（   ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题干条件，构造函数，结合单调性的定义，可得的单调性，根据奇偶性的定义，可得的奇偶性，结合特殊值，计算分析，即可得答案.【详解】因为，且，，所以，设，则，，且，，根据单调性的定义可得，在上单调递增，因为在R上为奇函数，所以，所以在R上为奇函数，所以在上单调递增，因为，所以，则，所以的解集为，所以的解集为.故选：D5．（24-25高一上·浙江温州·期末）定义在上的奇函数在上递增，且，则满足的的取值范围是 .【答案】【分析】根据函数奇偶性判断出函数的单调性，再由单调性求解即可.【详解】因为定义在上的奇函数在上递增，所以在上单调递增，因为，所以，又，则，即的取值范围是.故答案为：6．（24-25高一下·湖南长沙·期末）设是定义域为的奇函数，且在上是增函数，又满足，则不等式的解集是 ．【答案】【分析】根据函数奇偶性和单调性得到当或时，，当或时，，从而符号法得到不等式的解集.【详解】因为是定义域为的奇函数，则，又在上是增函数，则在上也单调递增，因为，所以，当或时，，当或时，，故当时，，满足，当时，，满足，综上，的解集为.故答案为：7．已知函数的图象经过点．(1)求的解析式；(2)探究的奇偶性；(3)求不等式的解集．【答案】(1)(2)偶函数(3)【分析】（1）利用代入法进行求解即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可；（3）利用函数的单调性，结合偶函数的性质进行求解即可.【详解】（1）把点的坐标分别代入中，得；（2）显然函数的定义域为R，关于原点对称，又，所以函数是偶函数；（3）当时，函数单调递增，且，所以此时函数单调递减，因为函数是偶函数，所以由或，因此原不等式的解集为.题型六、伪奇函数最值问题（难点）1．已知函数．若的最小值为，则的最大值为（   ）A．3B．5C．7D．9【答案】B【分析】构造一个函数，通过证明函数为奇函数，说明函数的最大值，进而求出原函数的最大值.【详解】令函数，所以最小值为，已知，所以在上为奇函数，则在上的最大值为，所以的最大值为；故选：B.2．已知函数的最大值为，最小值为，则（   ）A．2B．4C．6D．8【答案】C【分析】由题意可得，可求的值.【详解】由，得，函数的定义域为，令，定义域为，定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，所以，则的图象关于点对称，所以.故选：C.3．（多选题）已知，设函数，，，若的最大值为，最小值为，那么和的值可能为（    ）A．3与1B．3与2C．4与2D．7与4【答案】AC【分析】令新函数，利用奇偶性的定义判断得函数为奇函数，设的最大值为，则最小值为，表示出和可得，判断得为偶数，即可得为偶数，综合选项即可得答案.【详解】令，，，为奇函数，设的最大值为，则最小值为，∴，，可得，，为偶数，即为偶数.综合选项可知，和的值可能为3与1或4与2.故选：AC4．函数是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 .【答案】【分析】利用奇函数的性质，可证明函数关于点成中心对称图形，即可求得.【详解】由函数，因为函数是定义在上的奇函数，所以有，则，所以可得函数关于点成中心对称图形，因为函数的最大值为，最小值为，所以最大值点与最小值点关于点成中心对称图形，即，故答案为：.题型七、函数的对称性1．已知函数的图象关于直线对称，且在(－∞，]上单调递增，，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由的图象关于对称，将问题转化为比较，，的大小.【详解】的图象关于对称，所以，又因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以.故选：B.2．（24-25高一上·天津·期中）已知函数 ，且 ，则下列不等式中成立的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据的单调性和对称性求得正确答案.【详解】二次函数的开口向上，由可知关于直线对称，，在上单调递减，所以，即.故选：C3．（24-25高一下·广东湛江·期中）已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调，若，，且，则的最小值是（   ）A．4B．C．8D．9【答案】D【分析】根据题意，可得，利用基本不等式求解.【详解】由题意可得，，则，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为9.故选：D.4．已知定义在上的奇函数满足，则下列说法错误的是（   ）A．的图象关于点对称B．C．D．【答案】C【分析】根据已知条件，利用奇函数定义及对称性的结论即可求解.【详解】对于A，已知，则有，即函数的图象关于点对称，故A正确；对于B，由于是定义在上的奇函数，则有，因，则有，用替换可得：，故B正确；对于D，再用替换可得：，故D正确；只有C项，无法推得.故选：C5．已知是定义在上不恒为的函数，为奇函数，为偶函数，则（   ）A．B．C．D．【答案】A【分析】首先根据为奇函数，得，然后根据为偶函数，得，然后通过对进行赋值进行求解即可.【详解】由于为奇函数，可得：，令，得：，解得：；又为偶函数，则，令，得：.故选：A6．若函数是偶函数，则函数的图像关于 对称．【答案】【分析】根据偶函数的定义和函数的对称性即可得到结果.【详解】因为函数是偶函数，其图象关于轴对称，所以.所以函数的图象关于对称.故答案为：.7．（24-25高一上·黑龙江·期末）已知函数为定义在上的奇函数，则 .【答案】【分析】根据对称性可得，即可求解.【详解】由于为定义在上的奇函数，故的对称中心为，则，.故答案为：20258．已知的定义域为，满足，且当时，为单调递增函数，则满足的的取值范围为 ．【答案】【分析】由确定函数的对称轴为，由对称性得出函数的单调性，从而得出结论：对而言，自变量离对称轴越远，函数值越大，由此化简不等式求解．【详解】根据确定函数的对称轴为，又当时，为单调递增函数，所以当时，为单调递减函数．对而言，自变量离对称轴越远，函数值越大，所以，解得．故答案为：．综合攻坚 能力跃升1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数是（    ）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数，又是偶函数【答案】B【分析】由函数奇偶性定义判断.【详解】因为，所以函数的定义域为，关于原点对称．又，所以是偶函数,而，故不是奇函数，故选：B.2．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则的值为（   ）.A．B．C．D．【答案】D【分析】由即可求解.【详解】依题意，函数是定义域为的奇函数，所以.故选：D3．（2025高一·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（    ）．A．B．C．D．【答案】D【分析】由函数奇偶性求解析式即可.【详解】解析 因为当时，，为奇函数，所以当时，，所以，即，故选：D．4．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的大致图象是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】由解析式求函数的定义域并判断奇偶性，结合上的单调性，应用排除法即可得.【详解】由得的定义域为，又，故为偶函数，排除B，C；当时，，则在上单调递增，排除D，故选：A5．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由题意知关于对称，，再由在上单调递增可判断大小关系.【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以对，，所以关于直线对称，所以，又因为在上单调递增，所以.故选：B6．（24-25高一上·云南楚雄·期末）下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递增的函数是（   ）A．B．C．D．【答案】D【分析】由奇偶性、单调性的概念、性质逐个判断即可；【详解】对于A，易知，所以不是奇函数．错；对于B，因为，，所以不是在定义域内单调递增的函数．错；对于C，因为的定义域，且不关于原点对称，所以不是奇函数．错；对于D，定义域为，，为奇函数，因为，均为增函数，所以为增函数，故选：D．7．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知是奇函数，则实数的值为（    ）A．1B．2C．D．1或2【答案】A【分析】由奇函数的定义构造等式求解即可；【详解】易知的定义域为，由奇函数的定义可知，，则，整理得恒成立，所以，解得.故选：A8．（24-25高一上·广东梅州·期末）函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据偶函数的性质，把函数不等式转化成代数不等式求解.【详解】因为为上的偶函数，且在上单调递增，所以在上单调递减.所以或，即或.所以所求不等式的解集为：.故选：C9．已知函数是奇函数，是偶函数，且，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性可得出关于、的等式组，由此可解得函数的解析式.【详解】因为是奇函数，是偶函数，所以，．所以，，即，因此，.故选：D.10．已知函数．若的最小值为，则的最大值为（   ）A．5B．6C．7D．9【答案】A【分析】由题意得，令，，可得为奇函数，然后根据奇函数的性质结合的最小值为，可求得其最大值.【详解】因为，所以，令，，则，所以为奇函数，因为的最小值为，所以，因为为奇函数，所以，即，所以.故选：A．11．已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称．当时，，则（    ）A．B．C．1D．3【答案】B【分析】由对称性可得，由为奇函数可得，再结合时的函数解析式求结论.【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，又因为函数是奇函数，所以，又当时，，所以所以，故选：B.12．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（   ）A．B．C．D．【答案】B【分析】先利用偶函数性质可得，再由偶函数单调性以及定义域列出不等式组计算求解即可.【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数，所以，解得，即函数的定义域为，当时，单调递增，所以当时，单调递减，关于的不等式，即，所以，解得，所以原不等式解集为.故选：B13．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据单调性的定义，在上为增函数，又函数为定义在上的奇函数，所以当时，，当时，即可得解．【详解】根据题意，在上为增函数，又函数为奇函数，所以在上也为增函数，又，所以，所以当时，，当时，，若，则，又，所以当时，．故选：D14．（2025高一·全国·专题练习）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则的值为（    ）A．B．1C．0D．无法计算【答案】C【分析】根据函数，的奇偶性，结合，推出，化简求解.【详解】因为是定义在上的奇函数，则有，又因为，所以，又因为是定义在上的偶函数， 所以，所以，可得因此，所以．故选：C.15．已知函数的定义域为，函数是奇函数，则（    ）A．B．C．5D．10【答案】A【分析】根据函数图象变换以及奇函数性质，可得函数的图象关于中心对称，得到，进而求得即可得答案.【详解】由的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得函数的图象，因为函数是奇函数，即该函数图象关于中心对称，所以函数的图象关于中心对称，所以，因此，，，所以，故选：A.16．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知函数为定义在R上的奇函数，函数．则（   ）A．2000B．1999C．4000D．3999【答案】D【分析】由题意得，采用倒叙相加法即可求解.【详解】函数为定义在R上的奇函数，函数，所以，设则，两式相加可得，解得，所以．故选：D.17．已知函数满足为奇函数，为偶函数，则下列一定成立的是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据给定条件，分析函数的性质，再逐项判断.【详解】函数的定义域为，由是偶函数，得，即，得函数的图象关于对称由为奇函数，得，得函数的图象关于点对称，所以，由，令，得，故A项正确；由函数的图象关于点对称，得，但无法判断，故B，C两项错误；由，令，得，由，令，得，得，则也无法判断，故D项错误．故选：A18．已知是定义在R上的奇函数，当且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】构造函数，其中，分析该函数的单调性与奇偶性，结合已知条件得出，然后将所求不等式转化为、，解之即可.【详解】构造函数，其中，则，故函数为偶函数，当、且时，都有成立，不妨设，则则，即，故函数在上为增函数，即该函数在上为减函数，因为，则，当时，由得，即，解得；当时，由得，即，解得.综上所述，不等式的解集为.故选：A.19．（25-26高一上·河北·期中）（多选题）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增，则（    ）A．B．C． D．【答案】BD【分析】利用对称性将自变量变换到区间内，再根据单调性比较大小即可得解.【详解】因为的图象关于直线对称，所以，，又因为在区间上单调递增，且，所以，所以，所以和正确；故选：BD20．（24-25高一上·浙江金华·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则 ．【答案】【分析】利用偶函数性质以及时的解析式，代入计算可得结果.【详解】由偶函数性质可得，又当时，，所以，即.故答案为：21．若是上的偶函数，且，比较大小： .（填“>”、“